人教A版必修一 3.2.2 函数的奇偶性 课件（19张PPT）

(共19张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.2.2 函数的奇偶性
1.用奇偶性求解析式
教学目标：
2.理解奇偶性对单调性的影响，会比较大小、求最值，解不等式
重点难点： 1.根据函数奇偶性求函数的解析式
2.利用函数奇偶性与单调性比较大小
3.利用函数的单调性与奇偶性解不等式
一、复习函数奇偶性
1.偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
2.奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
关于奇偶函数的几点说明：
2.奇偶函数必须满足两个条件：(1)定义域必须关于原点对称；
（2）满足f(-x)=f(x)【偶】或者f(-x)=-f(x)【奇】。
性质2：偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。
1.如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性，函数的奇偶性是
函数的整体性质；
性质3：若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)也成立.若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)也成立.
3.奇函数的性质1：如果一个函数是奇函数，并且在0处有定义，必有f（0）=0
性质4：若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶
的函数有且只有一类（不唯一），即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集.
例1　(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式.
解　(1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
(2)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)＋g(x)＝ ,求函数f(x),g(x)的解析式.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.
由于f(x)是奇函数，故f(－x)＝－f(x)，所以 －f(x)＝x2+2x＋3，
得：f(x)＝－x2－2x－3.即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
例1　(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式.
(2)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)＋g(x)＝ ,求函数f(x),g(x)的解析式.
解（2）∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
解题反思
1.用奇偶性求解析式的步骤：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
2.已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解.
注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
【练1】(1)已知f(x)是R上的偶函数,当x∈(0,＋∞)时,f(x)＝x2＋x－1,当x∈(－∞,0)时,求f(x)的
解析式.
解:(1)设x<0，则－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式.
又f(x)在R上为偶函数，∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1.
(2)设x>0，则－x<0，则f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.
又f(x)是R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.
又∵函数的定义域为R，∴f(0)＝0，
三、利用函数奇偶性与单调性比较大小
【想一想】一个奇函数在(－2，－1)上单调递减,那么它在(1,2)上的单调性如何？
提示：奇函数在(1,2)上单调递减，偶函数在(1,2)上单调递增.
一个偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1,2)上的单调性如何？
重要结论
1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a区间上单调性　　　　　.
2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a区间上单调性　　.
（以上a，b符号相同）.
单调递增
一致(相同)
单调递减
相反
例2：已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)
的大小关系是
A.f(－0.5)C.f(0)√
解析：∵函数f(x)为奇函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在R上单调递增，∴f(－1)【比较大小的求解策略】
(1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小.
（2)若自变量不在同一个单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，
然后利用单调性比较大小.
【练2】设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x总有f(－x)＝f(x),当x∈[0，＋∞)时，
f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是
A.f(π)>f(－3)>f(－2) B.f(π)>f(－2)>f(－3)
C.f(π)√
解析:由偶函数与单调性的关系知,若x∈[0,＋∞)，f(x)单调递增,
则x∈(－∞,0]时， f(x)单调递减，
故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，
∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2).
四、利用函数的单调性与奇偶性解不等式
例3:设定义在[－2,2]上的奇函数f(x),在区间[0,2]上单调递减,若f(1－m)求实数m的取值范围.
解:因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减，所以f(x)在[－2,0]上单调递减,
从而f(x)在[－2,2]上单调递减,
【解题反思】利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类
(1)利用图象解不等式.
(2)转化为简单不等式求解.
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不
等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解.
特别提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域.
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【练3】已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式
f(1－x)＋f(1－2x)<0.
解:∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数,由f(1－x)＋f(1－2x)<0,得f(1－x)<－f(1－2x)，
即f(1－x)1.知识点：
(1)利用奇偶性求函数的解析式.
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式.
课堂小结
2.方法归纳：转化法、数形结合法.
3.易错点：解不等式易忽视函数的定义域.