人教A版选择性必修一 1.1.2 空间向量的数量积运算 课件（25张PPT）

(共25张PPT)
1.1.2 空间向量的数量积运算
新知探究
2
新知引入
1
教学目标：
（1）通过类比的思想，理解和掌握空间向量数量积的定义、性质以及运算律；（2）掌握空间向量投影及投影向量，理解空间向量数量积的几何意义；
（3）基本掌握空间向量数量积运算解决空间距离、夹角问题.进一步体会空间向量解决立体几何问题的思想与方法.
教学重点：空间向量的数量积极概念以及空间向量投影
教学难点：空间向量的投影以及数量积的分配律；用空间向量表示所涉及的几何元素.
平面向量及其线性运算
空间向量及其线性运算
推 广
平面向量的数量积运算
空间向量的数量积运算
推 广
新知引入
1
思考 学习平面向量时，是如何研究它的数量积运算的？
夹角
数量积的定义
运算律
应用
新知引入
1
一.两个向量的夹角
定义：已知两个非零向量
在空间任取一点O，
则∠AOB叫做向量
的夹角，
记法：
作
范围：
新知探究
2
一.两个向量的夹角
新知探究
2
思考 1
=
思考 2
在正 ABC中，
60°
120°
60°
口诀：
首首尾尾是夹角
首尾相接找补角
一.两个向量的夹角
新知探究
2
练习1.判断
(1)在锐角▲ABC中，向量 与 的夹角等于向量 与 的夹角.
(2)对于非零向量a，b，=. ( )
练习2.在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（ ）
A
√
新知探究
2
零向量与任意向量的数量积为 .
0
实数
二.空间向量的数量积
新知探究
2
投影向量
新知探究
2
二.空间向量的数量积
新知探究
2
二.空间向量的数量积
1.如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉 ，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2)).
新知探究
2
二.空间向量的数量积
2.如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到 ，向量 称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a， 的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
请类比平面向量的数量积运算，思考下面两个问题：
问题1.如果空间向量 是两个非零向量，它们的数量积有哪些性质呢？
问题2.空间向量数量积的运算律有哪些？
二.空间向量的数量积
问题1.如果空间向量 是两个非零向量，它们的数量积有哪些性质呢？
>0
<0
问题2.空间向量数量积的运算律有哪些？
数乘向量与向量
数量积的结合律
交换律
分配律
平面向量数量积的运算律
问题2.空间向量数量积的运算律有哪些？
数乘向量与向量
数量积的结合律
交换律
分配律
空间向量数量积的运算律
思考辨析？
非零向量 数量积运算
数量积运算 可约吗？
可除吗？
可结合吗？
不约
不除
不结合
误区
练习3.判断 是锐角的充要条件是
练习4.
①已知i,j,k是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,则a·b=______
②已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝____.
③已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝_____.
-2
课堂练习
3
22
60。
空间向量数量积的应用
(1)求线段长度(距离)：把所求线段看成一个向量的模，并用其它已知向量表示它，再用数量积运算求该向量的模；
(2)求夹角：
cos ＝
(3)证明垂直：
a⊥b a · b＝0.
课堂练习
3
A
B
C
D
练习5.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，求 的值．
课堂练习
3
变式.本例中条件不变，N是AA1中点，求 的值．
课堂练习
3
课堂练习
3
l
m
n
g
由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来,因此，立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法加以解决．
练习6.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
证:在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，
所以AD2＋BD2＝AB2，
③
课堂练习
3
课堂小结
4