人教A版选择性必修一 1.1.1 空间向量及其线性运算 课件（32张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教A版选择性必修一 1.1.1 空间向量及其线性运算 课件（32张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-11 08:49:40 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
新知引入
1
这是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力.
新知引入
1
思考：类比平面向量，你认为本章我们需要研究空间向量哪些内容
概念——运算——基本定理——坐标表示——应用
1.1.1 空间向量及其线性运算
新知探究
2
新知引入
1
教学目标：
（1）经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，发展
数学抽象素养；
（2）掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；
（3）掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；
（4）借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.
教学重点：空间向量的概念和线性运算及其应用
教学难点：空间向量的线性运算及其应用
新知探究
2
问题1 平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？
平面向量的概念 空间向量的概念
平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，
记作 或|a|.
空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，
记作 或|a|.
一、空间向量的有关概念
新知探究
2
问题2 如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？
平面向量的表示法 空间向量的表示法
(1)有向线段
(1)有向线段
A (起点)
B
(终点)
a
(2)字母 a，b，c，…
(3)坐标表示：a＝(x，y)
(2)字母 a，b，c，…
(3)坐标表示：a＝(x，y，z)
一、空间向量的有关概念
新知探究
2
问题3 在学习平面向量时，我们还学习了一些新的概念.你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？
平面向量的相关概念
零向量：
单位向量：
相等向量：
相反向量：
模为 0 的向量，记作 0 ；零向量的方向任意；
模为 1 的向量；
模和方向都相同的两个向量，记作 a＝b；
模相同，方向相反的两个向量，记作a＝－b ；
空间向量的相关概念
一、空间向量的有关概念
新知探究
2
问题3 在学习平面向量时，我们还学习了一些新的概念.你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？
平面向量的相关概念
空间向量的相关概念
共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b；
规定，零向量和任意向量共线.
共线向量：若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b；
规定，零向量和任意向量共线.
一、空间向量的有关概念
新知探究
2
√
√
√
×
×
×
×
一、空间向量的有关概念
新知探究
2
a
b
.
O
α
转化
平面向量的线性运算
空间向量的线性运算
空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量我们都可以通过平移使他们的起点重合. 因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量. 这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算，由此我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法，减法以及数乘运算.
问题4 空间向量的线性运算如何进行？
二、空间向量的线性运算和运算律
新知探究
2
(1)加减运算
三角形法则:
首尾相连
平行四边形法则：
共起点
减法法则：
共起点，
连终点，
指被减
问题4 空间向量的线性运算如何进行？
二、空间向量的线性运算和运算律
新知探究
2
问题4 空间向量的线性运算有哪些？
(1)加减运算
(2)数乘运算
实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
① |λa|＝|λ||a|；
②若λ > 0，λa与a的方向相同；
若λ < 0，λa与a的方向相反；
若λ＝0，λa＝0.
二、空间向量的线性运算和运算律
新知探究
2
问题5 空间向量线性运算的运算律有哪些？
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
①交换律： a + b＝b + a；
②结合律： a + (b + c)
＝(a + b) + c，
λ(μa)＝(λμ)a；
③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa，
λ(a+b)＝λa + λb.
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.
二、空间向量的线性运算和运算律
新知探究
2
问题5 空间向量线性运算的运算律有哪些？
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
①交换律： a + b＝b + a；
②结合律： a + (b + c)
＝(a + b) + c，
λ(μa)＝(λμ)a；
③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa，
λ(a+b)＝λa + λb.
你能证明这些运算律吗？证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？
二、空间向量的线性运算和运算律
新知探究
2
想一想：如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，分别标出 ,
表示的向量. 从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
可以发现， . 一般地，对于三个不共面的向量 ， ， ，以任意点O为起点， ， ， ，为邻边作平行六面体，则 ， ， 的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.
二、空间向量的线性运算和运算律
新知探究
2
二、空间向量的线性运算和运算律
新知探究
2
2.(多选)如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列各式运算结果为 的是( )
二、空间向量的线性运算和运算律
3.如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设 ＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1) ；(2) ；(3) ＋.
(3)因为M是AA1的中点，所以 ＝ ＋ ＝ ＋
－a＋（a+b+c)＝a＋b＋c，
又 ＝＋＝＋＝＋＝c＋a，
所以＋＝(a＋b＋c)＋(c＋a)＝a＋b＋c.
新知探究
2
新知探究
2
思考：对任意两个空间向量 与 ，如果 ， 与 有什么位置关系？反过来， 与 有什么位置关系时， ？
平面向量共线的充要条件
对任意两个平面向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .
对任意两个空间向量 a， b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .
三、共线定理、共面定理及其应用
空间向量共线的充要条件
新知探究
2
共线定理：对任意两个空间向量 a， b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .
三、共线定理、共面定理及其应用
新知探究
2
如图，O是直线 l上一点，在直线 l上取非零向量 a，
则对于直线l上任意一点P，由数乘的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 λ，使得 .
我们把与向量 a平行的非零向量称为直线 l的方向向量.
直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
注意：(1)方向向量一定是非零向量
(2)一条直线的所有方向向量都互相平行
三、共线定理、共面定理及其应用
新知探究
2
如图，如果表示向量 的有向线段 所在的直线OA与直线l 平行或重合，那么称向量 平行于直线l . 如果直线OA平行于平面α 或在平面α 内，那么称向量 平行于平面α .
平行于同一个平面的向量叫做共面向量.
三、共线定理、共面定理及其应用
新知探究
2
问题6 任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，任意三个向量是否共面呢？
a
b
α
c
p
可能共面，也可能不共面
.
O
三、共线定理、共面定理及其应用
新知探究
2
问题6 如何判断三个向量是否共面？
若向量 a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量 p，存在唯一的有序实数对 (x，y) ，使得： p＝xa +yb.
向量a、b、p什么关系？
平面向量基本定理：
三、共线定理、共面定理及其应用
新知探究
2
问题6 如何判断三个向量是否共面？
若向量 a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量 p，存在唯一的有序实数对 (x，y) ，使得： p＝xa +yb.
平面向量基本定理：
空间向量共面的充要条件：两个向量 a，b不共线，那么向量 p与向量 a ，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使得： p＝xa +yb.
三、共线定理、共面定理及其应用
新知探究
2
共面向量定理推论：
O
A
C
B
P
①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使
②P、A、B、C四点共面的充要条件是对空间任意一点O，
三、共线定理、共面定理及其应用
课堂练习
3
4.若非零空间向量不共线，则使与共线的值为________.
课堂练习
3
例1 如图,已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使
求证：E，F，G，H四点共面
课堂练习
3
证明:
·
追问：最终的结果你还有没有其他的表示方法？能得到什么结论？
课堂练习
3
5.在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】空间的四点M、A、B、C四点共面，只需满足，且即可，对于A，中0，故此时四点M、A、B、C四点不共面；
对于B，中，此时四点M、A、B、C四点不共面；
对于C，，，即，此时四点M、A、B、C四点共面；
对于D，，则，此时,四点M、A、B、C四点不共面；故选：C
课堂练习
3
6.下列命题正确的个数为（ ）
①若p与a，b共面，则p=xa+yb(x，y∈R)；
②若p=xa+yb(x，y∈R)，则p与a，b共面；
③若a，b共线，则a与b所在直线平行
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
B
课堂小结
4
新知引入
1
这是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力.
新知引入
1
思考：类比平面向量，你认为本章我们需要研究空间向量哪些内容
概念——运算——基本定理——坐标表示——应用
1.1.1 空间向量及其线性运算
新知探究
2
新知引入
1
教学目标：
（1）经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，发展
数学抽象素养；
（2）掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；
（3）掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；
（4）借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.
教学重点：空间向量的概念和线性运算及其应用
教学难点：空间向量的线性运算及其应用
新知探究
2
问题1 平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？
平面向量的概念 空间向量的概念
平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，
记作 或|a|.
空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，
记作 或|a|.
一、空间向量的有关概念
新知探究
2
问题2 如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？
平面向量的表示法 空间向量的表示法
(1)有向线段
(1)有向线段
A (起点)
B
(终点)
a
(2)字母 a，b，c，…
(3)坐标表示：a＝(x，y)
(2)字母 a，b，c，…
(3)坐标表示：a＝(x，y，z)
一、空间向量的有关概念
新知探究
2
问题3 在学习平面向量时，我们还学习了一些新的概念.你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？
平面向量的相关概念
零向量：
单位向量：
相等向量：
相反向量：
模为 0 的向量，记作 0 ；零向量的方向任意；
模为 1 的向量；
模和方向都相同的两个向量，记作 a＝b；
模相同，方向相反的两个向量，记作a＝－b ；
空间向量的相关概念
一、空间向量的有关概念
新知探究
2
问题3 在学习平面向量时，我们还学习了一些新的概念.你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？
平面向量的相关概念
空间向量的相关概念
共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b；
规定，零向量和任意向量共线.
共线向量：若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b；
规定，零向量和任意向量共线.
一、空间向量的有关概念
新知探究
2
√
√
√
×
×
×
×
一、空间向量的有关概念
新知探究
2
a
b
.
O
α
转化
平面向量的线性运算
空间向量的线性运算
空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量我们都可以通过平移使他们的起点重合. 因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量. 这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算，由此我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法，减法以及数乘运算.
问题4 空间向量的线性运算如何进行？
二、空间向量的线性运算和运算律
新知探究
2
(1)加减运算
三角形法则:
首尾相连
平行四边形法则：
共起点
减法法则：
共起点，
连终点，
指被减
问题4 空间向量的线性运算如何进行？
二、空间向量的线性运算和运算律
新知探究
2
问题4 空间向量的线性运算有哪些？
(1)加减运算
(2)数乘运算
实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
① |λa|＝|λ||a|；
②若λ > 0，λa与a的方向相同；
若λ < 0，λa与a的方向相反；
若λ＝0，λa＝0.
二、空间向量的线性运算和运算律
新知探究
2
问题5 空间向量线性运算的运算律有哪些？
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
①交换律： a + b＝b + a；
②结合律： a + (b + c)
＝(a + b) + c，
λ(μa)＝(λμ)a；
③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa，
λ(a+b)＝λa + λb.
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.
二、空间向量的线性运算和运算律
新知探究
2
问题5 空间向量线性运算的运算律有哪些？
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
①交换律： a + b＝b + a；
②结合律： a + (b + c)
＝(a + b) + c，
λ(μa)＝(λμ)a；
③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa，
λ(a+b)＝λa + λb.
你能证明这些运算律吗？证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？
二、空间向量的线性运算和运算律
新知探究
2
想一想：如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，分别标出 ,
表示的向量. 从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
可以发现， . 一般地，对于三个不共面的向量 ， ， ，以任意点O为起点， ， ， ，为邻边作平行六面体，则 ， ， 的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.
二、空间向量的线性运算和运算律
新知探究
2
二、空间向量的线性运算和运算律
新知探究
2
2.(多选)如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列各式运算结果为 的是( )
二、空间向量的线性运算和运算律
3.如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设 ＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1) ；(2) ；(3) ＋.
(3)因为M是AA1的中点，所以 ＝ ＋ ＝ ＋
－a＋（a+b+c)＝a＋b＋c，
又 ＝＋＝＋＝＋＝c＋a，
所以＋＝(a＋b＋c)＋(c＋a)＝a＋b＋c.
新知探究
2
新知探究
2
思考：对任意两个空间向量 与 ，如果 ， 与 有什么位置关系？反过来， 与 有什么位置关系时， ？
平面向量共线的充要条件
对任意两个平面向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .
对任意两个空间向量 a， b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .
三、共线定理、共面定理及其应用
空间向量共线的充要条件
新知探究
2
共线定理：对任意两个空间向量 a， b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .
三、共线定理、共面定理及其应用
新知探究
2
如图，O是直线 l上一点，在直线 l上取非零向量 a，
则对于直线l上任意一点P，由数乘的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 λ，使得 .
我们把与向量 a平行的非零向量称为直线 l的方向向量.
直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
注意：(1)方向向量一定是非零向量
(2)一条直线的所有方向向量都互相平行
三、共线定理、共面定理及其应用
新知探究
2
如图，如果表示向量 的有向线段 所在的直线OA与直线l 平行或重合，那么称向量 平行于直线l . 如果直线OA平行于平面α 或在平面α 内，那么称向量 平行于平面α .
平行于同一个平面的向量叫做共面向量.
三、共线定理、共面定理及其应用
新知探究
2
问题6 任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，任意三个向量是否共面呢？
a
b
α
c
p
可能共面，也可能不共面
.
O
三、共线定理、共面定理及其应用
新知探究
2
问题6 如何判断三个向量是否共面？
若向量 a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量 p，存在唯一的有序实数对 (x，y) ，使得： p＝xa +yb.
向量a、b、p什么关系？
平面向量基本定理：
三、共线定理、共面定理及其应用
新知探究
2
问题6 如何判断三个向量是否共面？
若向量 a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量 p，存在唯一的有序实数对 (x，y) ，使得： p＝xa +yb.
平面向量基本定理：
空间向量共面的充要条件：两个向量 a，b不共线，那么向量 p与向量 a ，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使得： p＝xa +yb.
三、共线定理、共面定理及其应用
新知探究
2
共面向量定理推论：
O
A
C
B
P
①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使
②P、A、B、C四点共面的充要条件是对空间任意一点O，
三、共线定理、共面定理及其应用
课堂练习
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4.若非零空间向量不共线，则使与共线的值为________.
课堂练习
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例1 如图,已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使
求证：E，F，G，H四点共面
课堂练习
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证明:
·
追问：最终的结果你还有没有其他的表示方法？能得到什么结论？
课堂练习
3
5.在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】空间的四点M、A、B、C四点共面，只需满足，且即可，对于A，中0，故此时四点M、A、B、C四点不共面；
对于B，中，此时四点M、A、B、C四点不共面；
对于C，，，即，此时四点M、A、B、C四点共面；
对于D，，则，此时,四点M、A、B、C四点不共面；故选：C
课堂练习
3
6.下列命题正确的个数为（ ）
①若p与a，b共面，则p=xa+yb(x，y∈R)；
②若p=xa+yb(x，y∈R)，则p与a，b共面；
③若a，b共线，则a与b所在直线平行
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
B
课堂小结
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