人教A版选择性必修一 1.2 空间向量基本定理 课件（26张PPT）

(共26张PPT)
1.2 空间向量基本定理
教学目标
0
1. 教学内容
空间向量基本定理及其相关概念（基底、基向量、单位正交基、正交分解）和定理的简单应用.
2. 教学目标
1.了解空间向量基本定理及其意义.
2.掌握空间向量得正交分解，会用基底法表示空间向量.
3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想，培养学生数学运算、直观想象的核心素养.
3. 教学重点与难点
教学重点：空间向量基本定理的理解及简单应用.
教学难点：空间向量基本定理的证明思路的发现，基底的恰当选择.
复习回顾
1
平面向量基本定理：
　　如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
新知探究
2
问题1 平面中的任意向量可以由两个不共线向量的线性运算来表示，那么空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表示呢？
问题2 为了表示空间中的向量，至少需要几个向量来表示？两个不共线的向量还够用吗？
新知探究
2
问题3 任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？
三个向量共面
三个向量不共面
a
b
c
？
新知探究
2
p
i
j
k
P
Q
O
α
三个相互垂直的向量
新知探究
2
xi
p
i
j
k
P
Q
O
yj
zk
α
我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量．
三个相互垂直的向量
新知探究
2
xi
p
i
j
k
P
Q
yj
zk
α
我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量．
O
三个相互垂直的向量
新知探究
2
问题4 如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？
a
b
c
p
新知探究
2
问题4 如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？
a
b
c
O
P
α
p
a
c
b
B
C
A
Q
问题4 如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？
Q
α
a
b
c
O
P
p
a
c
b
B
C
A
新知探究
2
问题4 如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？
O
Q
P
p
a
c
b
B
C
A
α
a
b
c
新知探究
2
问题4 如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？
xa
O
Q
P
p
a
c
b
yb
zc
B
C
A
α
a
b
c
新知探究
2
问题4 如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？
xa
O
Q
P
p
a
c
b
yb
zc
B
C
A
α
a
b
c
新知探究
2
问题5 你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，
使a＝λ1e1＋λ2e2．
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，
那么对任意一个空间向量 p，
存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，
使得 p＝xa＋yb＋zc．
新知探究
2
新知探究
2
那么，所有空间向量组成的集合就是
{ p | p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
空间向量基本定理
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量．
空间的基底有多少个，需要满足什么条件？
给我一个基底，
我还你一个空间！
新知探究
2
空间向量基本定理
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
a
i
j
k
P
Q
O
导学案P82【诊断分析】
典型例题
3
一、空间的基底
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
典型例题
3
跟踪训练　(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
B
解析　因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面.
如图，
可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故选B.
典型例题
3

O
A
B
C
M
N
P
例2
典型例题
3
如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，
AD＝4， AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60 ° ，
∠DAA1＝60 ° ，M，N 分别为D1C1，C1B1的中点．
求证 MN⊥AC1．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
例3
典型例题
3
立体几何问题
①适当选取基底
向量
运算
②用基向量表示相关向量
③将相关向量的问题转化为基向量的问题
向量问题
向量问题的解
立体几何问题的解
转化
向量方法
理论基础：空间向量基本定理
用向量方法解决立体几何问题的路径
转化
典型例题
3
例4 如图，正方体 ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为C'D'， A'D'， D'D的中点．
（1）求证：EF∥AC ;
（2）求 CE 与 AG 所成角的余弦值．
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
E
F
G
A
跟踪训练
典型例题
3
课堂小结
4
1.空间向量基本定理；
2.基底法表示空间向量；
3.空间向量基本定理的应用（平行垂直关系证明；求两直线夹角;距离）.
感谢倾听！