人教版（2019）数学选择性必修三 7.3离散型随机变量的数字特征课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
高二选择性必修三
离散型随机变量的数字特征
新课程标准 考向预测 1.离散型随机变量的数字特征 (1)通过具体实例，理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差)． (2)掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题． (3)通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题． 2.正态分布 (1)通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征． (2)了解正态分布的均值、方差及其含义. 命题角度 1.离散型随机变量的均值与方差
2.二项分布的均值与方差
3.均值与方差在决策中的应用
4.正态分布及其应用
核心素养 数据分析、数学建模
基础梳理
基础点一　离散型随机变量的期望与方差
1．离散型随机变量的均值
(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)＝____________________________为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的________.
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
平均水平
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝__________.
(3)若X服从两点分布，则E(X)＝__________.
(4)若X～B(n，p)，则E(X)＝__________.
aE(X)＋b
p
np
基础点一　离散型随机变量的期望与方差
1．离散型随机变量的均值
2．离散型随机变量的方差
(1) 设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则__________描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝ 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的______________.称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
[xi－E(X)]2
平均偏离程度
(2)D(aX＋b)＝__________.
(3)若X服从两点分布，则D(X)＝__________.
(4)若X～B(n，p)，则D(X)＝__________.
2．离散型随机变量的方差
a2D(X)
p(1－p)
np(1－p)
均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态；
D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小表明X的取值越集中在E(X)附近．统计中常用来描述X的分散程度．
知识点睛
随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量偏离均值的程度．它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
注意：E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．
知识点睛
基础小测
1．设随机变量X～B(8，p)，且D(X)＝1.28，则概率p＝(　　)
A．0.2 B．0.8
C．0.2或0.8 D．0.16
C
2．(多选题)已知ξ是离散型随机变量，则下列结论正确的是(　 　)
A．P(|ξ|≤ )≤P
B．(E(ξ))2≤E(ξ2)
C．D(ξ)＝D(1－ξ)
D．D(ξ2)＝D((1－ξ)2)
ABC
基础点二　正态分布
如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝ (x)dx(即x＝a，x＝b，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．
1．正态分布的定义及其表示
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，
σ越小，曲线越__________，表示总体的分布越集中；
σ越大，曲线越__________，表示总体的分布越________.
(1)曲线位于x轴__________，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线__________对称；
(3)曲线在__________处达到峰值；
(4)曲线与x轴之间的面积为__________；
2．正态曲线的特点
上方
x＝μ
x＝μ
1
“瘦高”
“矮胖”
分散
(1) P(μ－σ＜X ≤ μ＋σ)＝0.6826；
(2) P(μ－2σ＜X ≤ μ＋2σ)＝0.9544；
(3) P(μ－3σ＜X ≤ μ＋3σ)＝0.9974.
3．正态分布的三个常用数据
基础小测
1．已知随机变量ξ服从正态分布N(4，62)，P(ξ≤5)＝0.89，则P(ξ≤3)＝(　　)
A．0.89 B．0.78 C．0.22 D．0.11
D
2．(2019吉林长春外国语学校期中)设随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a＝(　　)
A． B． C．5 D．3
A
考点突破
考点一　离散型随机变量的期望(高考热度：★★)
[例1] (2019北京卷，17)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额/元 支付方式　　　 (0，1000] (1000，2000] 大于2000
仅使用A 18人 9人 3人
仅使用B 10人 14人 1人
(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率．
(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望．
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
[例1] (2019北京卷，17)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额/元 支付方式　　　 (0，1000] (1000，2000] 大于2000
仅使用A 18人 9人 3人
仅使用B 10人 14人 1人
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．
(2)求ξ取每个值的概率．
(3)写出ξ的分布列．
(4)由均值的定义求E(ξ)．
求离散型随机变量ξ的均值的步骤
方法总结
考点微练
从1000名3～10岁儿童中随机抽取100名，他们的身高都在90～150之间，将他们的身高(单位：cm)分成六组[90，100)，[100，110)，…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，已知第二组[100，110)与第三组[110，120)的频数之和等于第四组[120，130)的频数，观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求所给频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和；
(2)估计身高处于[120，130)内与[110，120)内的频率之差；
(3)用分层抽样的方法从这100人中身高不小于130 cm的儿童中抽取一个容量为12的样本，将该样本看成一个总体，从中任取3人，记这3人身高小于140 cm的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
考点二　离散型随机变量的期望与方差的应用(高考热度：★★)
[例2] (2019广东梅州高三3月一模)某学校为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：
B餐厅分数频数分布表 分数区间 频数
[0，10) 2
[10，20) 3
[20，30) 5
[30，40) 15
[40，50) 40
[50，60] 35
定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：
分数 [0，30) [30，50) [50，60]
满意度指数 0 1 2
A餐厅分数频率分布直方图
(1)在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数．
(2)以频率估计概率，从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率．
(3)如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．
(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算．
(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差公式计算，则更为简单．
(3)在实际问题中，若两个随机变量ξ1，ξ2，有E(ξ1)＝E(ξ2)或E(ξ1)与E(ξ2)较为接近时，就需要用D(ξ1)与D(ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度．即一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案．
离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题策略
解题技法
考点微练
(2019广东肇庆高三二模)某产品年末搞促销活动，由顾客投掷4枚相同的、质地均匀的硬币，若正面向上的硬币多于反面向上的硬币，则称该次投掷“顾客胜利”．顾客每买一件产品可以参加3次投掷活动，并且在投掷硬币之前，可以选择以下两种促销方案之一，获得一定数目的代金券．
方案一：顾客每投掷一次，若该次投掷“顾客胜利”，则顾客获得代金券万元，否则该次投掷不获奖；
方案二：顾客获得的代金券金额和参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数关系如表：
获得代金券金额/万元 0
“顾客胜利”次数 0 1 2 3
(1)求顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率；
(2)若某公司采购员小翁为公司采购很多件该产品，请从统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案？
考点三　正态分布(高考热度：★★)
[例3] (2019山东青岛一模)某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量(单位：毫克)，质量值落在(175，225]内的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本频率分布直方图．
产品质量/毫克 频数
(165，175] 3
(175，185] 9
(185，195] 19
(195，205] 35
(205，215] 22
(215，225] 7
(225，235] 5
(1)由以上统计数据完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？
甲流水线 乙流水线 总计
合格品
不合格品
总计
附：
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K2＝ ，其中n＝a＋b＋c＋d.
(2)由乙流水线的频率分布直方图可以认为乙流水线生产的产品质量指标z服从正态分布N(200，12.22)，求质量指标z落在(187.8，224.4)上的概率．
附：P(μ－σ＜z≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜z≤μ＋2σ)＝0.9544.
变式 若以频率作为概率，从甲流水线任取两件产品，求至少有一件产品是合格品的概率．
同源变式
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．
正态分布下2类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.
解题技法
1．已知随机变量X～N(2，1)，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为(　　)
考点微练
附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.
A．0.1359 B．0.7282
C．0.8641 D．0.93205
D
2．(2019江西红色七校高三第二次联考)当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．成都2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图，且规定计分规则如下表：
每分钟跳绳个数 [155，165) [165，175) [175，185) [185，＋∞)
得分 17 18 19 20
(1)现从样本的100名学生中，任意选取2人，求2人得分之和不大于35分的概率．
(2)若该校初三年级所有学生的每分钟跳绳个数X服从正态分布N(μ，σ2)，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差s2≈169(各组数据用中点值代替)．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10，现利用所得正态分布模型：
(i)预计全年级恰有2000名学生，正式测试每分钟跳182个以上的人数(结果精确到1)；
(ii)若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ，求随机变量的分布列和期望．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，
P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.
通过本节课，你学会了什么？