人教版（2019）数学选择性必修三6.2组合、组合数(1)课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
6.2 组合、组合数(1)
高二
选择性必修三
本节目标
1．理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系．
2．理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．
3．会解决一些简单的组合问题．
预习课本P21～25，思考并完成以下问题
1．组合的概念是什么？
2．什么是组合数？组合数公式是怎样的？
3．组合数有怎样的性质？
课前预习
课前小测
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是.(　　)
(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得个积．(　　)
(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．(　　)
(4) ＝5×4×3＝60.(　　)
×
√
√
×
2．若＝10，则n的值为(　　)
A．10　　　　B．5　　　　C．3　　　　D．4
B
＝10
n＝5或n＝-4(舍)
3．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有(　　)
A．504种 B．729种
C．84种 D．27种
C
=
=3×4×7
3
4
=84
4．计算＋ ＋ ＋ ＝________.
210
＋ ＋ ＋
= + + +
= + + +
=
新知探究
1．组合的概念
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
n个不同的元素
取出
m(m≤n)个元素
与元素的顺序无关
2．组合数的概念、公式、性质
组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 表示法 组合数 公式 乘积式
阶乘式
性质 ＝，＝＋ 备注 n，m∈N*且m≤n，②规定：＝1
3．排列与组合的联系与区别
区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．
联系：二者都是从n个不同的元素中取m(n≥m)个元素．
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　组合的概念
[例1] 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？
(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
(3)3人去干5种不同的工作，每人干1种，有多少种分工方法？
(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？
[例1] 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？
与元素顺序无关，故是组合问题．
(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．
(3)3人去干5种不同的工作，每人干1种，有多少种分工方法？
因为一种分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．
(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？
因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪个人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．
总结提升
根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．
跟踪训练
1．判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数：
(1)规定10人相互通一次电话，共通多少次电话？
(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？
(3)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？
(4)从10个人中选出3个代表去开会，有多少种选法？
(5)从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
1．判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数：
(1)规定10人相互通一次电话，共通多少次电话？
是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为＝45.
(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？
是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为＝45.
(3)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？
是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的，排列数为 ＝90.
(4)从10个人中选出3个代表去开会，有多少种选法？
是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为＝120.
(5)从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为＝720.
题型二　 有关组合数的计算与证明
[例2] (1)计算： － · ；
(2)已知－ ＝ ，求＋ .
[例2] (1)计算： － · ；
原式＝ －
＝ －7×6×5
＝210－210
＝0
[例2] (2)已知－ ＝ ，求＋ .
原等式可化简为 ＝ ，
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝84.
即＝ ，
∴1－＝ ，
即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.
而0≤m≤5，∴m＝2.
[例3] 求和： ＋ ＋ ＋…＋ .
原式＝ ＋(－)＋(－)＋…＋(－)
＝
＝166650
法一
[例3] 求和： ＋ ＋ ＋…＋ .
法二
原式＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋
＝ ＋ ＋ ＋…＋
＝ ＋ ＋…＋
＝…
＝
＝
＝166650
[例3] 求和： ＋ ＋ ＋…＋ .
法三
原式＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋
＝ ＋ ＋ ＋…＋
＝ ＋ ＋…＋
＝…
＝
＝166 650.
总结提升
在利用组合数公式进行计算、化简时，要灵活运用组合数的性质．一般地，计算时，若m比较大，可利用性质①，不计算而改为计算，在计算组合数之和时，常利用性质②.
跟踪训练
2．(1)求函数f(n)＝ ＋的定义域；
∴ ≤n≤ ，又n∈N*，∴n＝10.
由题意知，原式中的自然数n必须满足不等式组
①
②
由①得≤n<38，由②得0即f(n)定义域为{10}．
跟踪训练
2． (2)解不等式： < < .
又由题设知3≤n≤11，∴n＝3,4,5,6.
由题设不等式，得
化简得n－2<13－n且n－1<12－n，解得n< ，
∴原不等式的解集为{3,4,5,6}.
题型三　简单的组合问题
[例4] 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是＝ ＝56.
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是＝ ＝21.
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是＝ ＝35.
总结提升
(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；
(1)弄清要做的这件事是什么事；
(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．
解答简单的组合问题的思考方法
跟踪训练
3．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即＝ ＝45种．
从6名男教师中选2名的选法有种，
从4名女教师中选2名的选法有种，
根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法·＝ · ＝90种．
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
随堂检测
1．下面几个问题中属于组合问题的是(　　)
①由1,2,3,4构成的双元素集合；
②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；
③由1,2,3构成两位数的方法；
④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．
A．①③ B．②④ C．①② D．①②④
√
√
×
与顺序有关
与顺序有关
×
C
2． ＋ ＋ ＋ ＋…＋ 的值为(　　)
A． B．
C． D．
原式＝(＋ ) ＋ ＋ ＋…＋
＝(＋ )＋ ＋…＋
＝(＋ )＋…＋
＝ ＝
＝
D
3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为(　　)
A. 14 B．24 C．36 D．40
从6人中任选4人的选法种数为＝15，
其中没有女生的选法有1种，
故至少有1名女生的选法种数为15－1＝14.
A
4．已知{a，b} A {a，b，c，d}，满足这个关系式的集合A有________个．
满足条件的集合有
{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}，
共4个．
4
5．若＝ ，求n的值．
由＝ ，得
＝ ·，
即＝ ，解得n＝－1(舍)或n＝4.
故n＝4.
本课小结
1．本节课的重点是组合的概念、组合数公式及其性质、简单的组合应用问题，难点是组合数的性质及应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)组合概念的理解，见例1；
(2)组合数公式及性质的应用，见例2、例3；
(3)会解决简单的组合应用题，见例4.
3．本节课的易错点是利用组合数性质＝解题时，易误认为一定有x＝y，从而导致解题错误．事实上，
＝
通过本节课，你学会了什么？