人教版（2019）数学选择性必修三6.3.1二项式定理课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
6.3.1 二项式定理
高二
选择性必修三
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．识记二项式定理及其特征，能用通项公式解决与二项展开式有关的简单问题．
3．通过对二项式定理的研究，体会特殊到一般的规律．
本节目标
提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
提
出
问
题
问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．
问题2：上述两个等式的右侧有何特点？
提示：(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；
(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.
新知探究
提
出
问
题
问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？
提示：(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．
都选a
一个选b，其余三个选a
两个选b，其余两个选a
一个选a，其余三个选b
都选b
a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
(a＋b)4
如何展开
提
出
问
题
问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？
……
都选a
一个选b，其余三个选a
……
都选b
(a＋b)n
+ +…+
(a＋b)n=+ +…+
导
入
新
知
二项式定理 公式(a＋b)n＝+ +…+ +…+，称为二项式定理
二项式系数 (k＝0,1，…，n)
通项 Tk＋1＝
二项式定理的特例 (1＋x)n＝1＋x＋…＋xk＋…＋xn
化解疑难
a，b不能随便交换
通项公式表示展开式的第k＋1项，二项式系数为
b的次数与二项式系数的组合数的上标相同
a按降幂排列，b按升幂排列
a和b的次数之和为n
(a＋b)n二项展开式
易错总结
题
型
一
二项式定理的正用
逆用
例1　(1)求(x＋2y)4的展开式．
(2)化简：(x＋1)n－(x＋1)n－1＋(x＋1)n－2－…＋(－1)k(x＋1)n－k＋…＋(－1)n.
典例精析
例1　(1)求(x＋2y)4的展开式．
(x＋2y)4＝x4＋x3(2y)＋x2(2y)2＋
x(2y)3＋(2y)4
＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4.
公式正用
例1　(2)化简：(x＋1)n－(x＋1)n－1＋(x＋1)n－2－…＋(－1)k(x＋1)n－k＋…＋(－1)n.
公式逆用
原式＝(x＋1)n＋(x＋1)n－1(－1)＋(x＋1)n－2(－1)2＋…＋(x＋1)n－k(－1)k＋…＋(－1)n
＝[(x＋1)＋(－1)]n
＝xn.
注意分析多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢
各项的次数等于n
a的次数由n降至0
b的次数由0升至n
有n+1项
类题通法
(a＋b)n二项展开式
(1)求的展开式．
直接套公式
法一
活学活用
＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
先化简，再套公式
(1)求的展开式．
活学活用
法二
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
原式＝(x－1)5＋(x－1)4＋(x－1)3＋(x－1)2＋(x－1)＋－
＝[(x－1)＋1]5－1
＝x5－1.
题
型
二
求二项展开式中的特定项
例2　(1)在的展开式中，系数是有理数的项共有(　　)
A．4项　　　　 B．5项 C．6项 D．7项
(2)设二项式的展开式中常数项为A，则A＝________.
典例精析
例2　(1)在的展开式中，系数是有理数的项共有(　　)
A．4项　　　　 B．5项 C．6项 D．7项
系数为有理数
与为有理数
k能被2整除，且20－k能被3整除
k＝2,8,14,20
A
0≤k≤20
例2 (2)设二项式的展开式中常数项为A，则A＝_______.
令＝0，得k＝3，
所以A＝－＝－10.
－10
解题策略总结
常数项隐含条件是字母指数为0
有理项一般未知数指数是整数的项
通项公式中的5个量，知4个便可求第5个
类题通法
已知在的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
通项公式
k＝5时，有＝0
n＝10
活学活用
已知在的展开式中，第6项为常数项．
(2)求展开式中所有的有理项．
通项公式
令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，即k＝5－r.
∵k∈Z，∴r应为偶数．
于是r可取2,0,－2，即k可取2,5,8.
故第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为
(－3)2x2，(－3)5，(－3)8x－2.
题
型
三
求二项式系数与项的系数
例3　在的展开式中，求：
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；
(2)倒数第3项．
典例精析
例3　在的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；
(2)倒数第3项．
(1) T5＝·(2x2)8－4·＝ ·24·，
第5项的二项式系数是＝70，
第5项的系数是·24＝1120.
(2) 展开式中的倒数第3项即为第7项，
T7＝ ·(2x2)8－6· ＝112x2.
利用通项公式求解
方法技巧
总结
展开式的倒数第3项就是展开式的第3项
注意区分二项式系数与指定某一项的系数
类题通法
(1)若展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
令6－3k＝0
k＝2
常数项是a
常数项为60
a=60
a＝4
4
活学活用
(2) (四川高考)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________(用数字作答)．
含x2y3的项
k＝3
T4＝x2y3＝10x2y3
10
D
1．在(x－)10的展开式中，含x6的项的系数是(　　)
A．－27　　　　　　B．27
C．－9 D．9
随堂检测
2．在的展开式中常数项是(　　)
A．－28 B．－7 C．7 D．28
当＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·＝7.
C
3．在的展开式中，中间项是________．
n＝6
中间项是第4项
＝·(－1)3·23·x3
T4＝－160x3
－160x3
4. 的展开式中，第4项的二项式系数是______，第4项的系数是________．
第4项的二项式系数为＝84，项的系数为
84
5．求的展开式的第三项的系数和常数项．
第三项的系数为 =
令15－5k＝0得k＝3
常数项为