人教版（2019）数学选择性必修三6_3_2二项式系数的性质课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
6.3.2 二项式系数的性质
高二
选择性必修三
1．了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题．
2．了解二项式系数的性质并能简单应用．
3．掌握“赋值法”并会灵活应用．
本节目标
提
出
问
题
(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：
问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．
新知探究
提
出
问
题
(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：
问题2：计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？
提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.
提
出
问
题
(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：
问题3：二项式系数的最大值有何规律？
提示：n＝2,4,6时，中间一项最大，n＝3,5时中间两项最大．
导
入
新
知
性质 内容
对称性 与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.
增减性与最大值 如果二项式的幂指数n是偶数，展开式中间项的二项式系数最大．
如果n为奇数，展开式中间两项的二项式系数相等且同时取得最大值．
二项式系数的和 二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即＋＋＋…＋＝2n.
奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1，
即＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n－1.
化解疑难
解题技巧
总结
求展开式的某一项，
某一项的二项式系数，
某一项的系数
是三类不同的问题，要注意区别
求二项式系数最大的项时
要特别注意n的奇偶性
题
型
一
与杨辉三角有关的问题
例1　如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指数字组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值．
典例精析
例1　如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指数字组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值．
将各项还原为二项展开式的系数
=(2＋3＋4＋…＋10)＋
=
＝274
观察
多角度观察
找规律
找出每一行、行与行间的数据规律
解决“杨辉三角”
问题的一般思路
类题通法
如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
第0行　 1
第1行　 1　1
第2行　 1　2　1
第3行　 1　3　3　1
第4行　 1　4　6　4　1
第5行　 1　5　10　10　5　1
　…　　　　 　　　 …
第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3
∶＝2∶3
n＝34
活学活用
题
型
二
求二项展开式系数和
例2　设(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 求：
(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值；
(2)a1＋a3＋a5的值；
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|的值.
典例精析
例2　设(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 求：
(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值；
(2)a1＋a3＋a5的值；
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|的值.
记f(x)＝(1－2x)5
(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝f(1)－f(0)＝－2.
(2)f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，
f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，
所以a1＋a3＋a5＝[f(1)－f(－1)]＝(－1－35)＝－122.
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝f(-1)－f(0)＝35－1＝242.
注意观察所求代数式与已知等式的关系
令x＝1可得所有项系数之和
令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差
令x＝0可得常数项
解决二项式系数问题
的常用方法
赋值法
类题通法
若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
(1)求a1＋a2＋…＋a10；
令f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10
a0＝f(0)＝25＝32
a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f(1)＝0
a1＋a2＋…＋a10＝－32
活学活用
若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
(2)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.
(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10)
＝f(1)·f(－1)
＝0.
注意灵活运用
平方差公式
题
型
三
二项式系数的性质
例3　已知的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
典例精析
例3　已知的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
展开式共6项
(1＋3)n＝22n
2n
n＝5
二项式系数最大的项为第三、四两项
例3　已知的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.
(2)求展开式中系数最大的项．
设第k＋1项系数最大
k＝4
系数最大的项
系数最大项
二项式系数最大的项
n为奇数，中间两项
n为偶数，中间一项
一般采用解不等式的方法求得
易错总结
类题通法
在的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项；
二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．
活学活用
在的展开式中，
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
设第k＋1项系数最大
k＝5或6
1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是(　　)
A．n，n＋1　　　　 B．n－1，n
C．n＋1，n＋2 　　　　 D．n＋2，n＋3
C
该式展开共2n＋2项
中间有两项：第n＋1项与第n＋2项
所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项
随堂检测
2．已知＋2＋22＋…＋2n＝729，则＋ ＋ 的值等于(　　)
A．64 B．32 C．63 D．31
(1＋2)n＝3n＝729
n＝6
B
3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．
(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为＋＋…＋＝210.
令(x＋3y)n中x＝y＝1
4n＝210
n＝5
5
4．如图是一个类似“杨辉三角”的递推式，则其第n行的首尾两个数均为________．
1
3　3
5　6　5
7　11　11　7
9　18　22　18　9
…
由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.
2n－1
5．求(1－x)8的展开式中，
(1)二项式系数最大的项；
n=8
二项式系数最大的项是第5项
5．求(1－x)8的展开式中，
(2)系数最小的项．
负项中确定最小者
第4项和第6项系数相等且最小