人教版（2019）数学选择性必修三8.1.2样本相关系数课件(共33张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版（2019）数学选择性必修三8.1.2样本相关系数课件(共33张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-11 10:41:28 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
8.1.2 样本相关系数
高二
选择性必修三
本节目标
1. 结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.
2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.
预习课本96～102，思考并完成以下问题
(1)什么是样本相关系数？
(2) 相关系数有哪些性质？
(3) 样本相关系数与标准化数据向量夹角有什么关系？
课前预习
课前小测
(1)回归分析中，若r＝±1说明x，y之间具有完全的线性关系．( )
(2)若r＝0，则说明成对样本数据间是函数关系．( )
(3)样本相关系数r的范围是r∈(－∞，＋∞)．( )
1．判断
√
若r＝0，则说明成对样本数据间没有线性相关关系．
×
样本相关系数的范围是[－1，1]．
×
2．下面对相关系数r描述正确的是( )
A．r>0表明两个变量负相关
B．r>1表明两个变量正相关
C．r只能大于零
D. 越接近于0，两个变量相关关系越弱
两个变量之间的相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强， r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关．
r＞0表明两个变量正相关
×
r∈[－1，1]
×
r∈[－1，1]
×
√
D
3．(多选题)下面的各图中，散点图与相关系数r符合的是 ( )
因为相关系数r的绝对值越接近1，线性相关程度越高，且r＞0时正相关，r＜0时负相关.
ACD
√
×
√
√
新知探究
新课导入
散点图可以说明变量间有无线性相关关系，但无法量化两个变量之间的相关程度的大小，更不能精确地说明成对样本数据之间关系的密切程度，那么我们如何才能寻找到这样一个合适的量来对样本数据的相关程度进行定量分析呢？
1．相关系数r的计算
注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量.
sx＝ ，sy＝
假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，
对数据作进一步的“标准化”处理，用
分别除xi－和yi－ (i＝1，2，…，n， 和分别为x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值)，得， ，…，，
1．相关系数r的计算
则变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：
r＝ (x1′y1′＋x2′y2′＋…＋xn′yn′)
为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为(x1′，y1′)，(x2′，y2′)，…，(xn′，yn′)，
＝ .
2．相关系数r的性质
(1)当r>0时，称成对样本数据_____相关；
当r<0时，成对样本数据_____相关；
当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系．
正
负
当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越_____；
当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越_____．
(2)样本相关系数r的取值范围为___________．
[－1，1]
强
弱
3．样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系
r＝ x′·y′＝ |x′||y′|cos θ＝cos θ
(其中x′＝(x1′，x2′，…，xn′)，y′＝(y1′，y2′，…，yn′)，|x′|＝|y′|＝，θ为向量x′和向量y′的夹角)．
思考
？
当|r|=1时，成对样本数据之间具有怎样的关系呢？
当|r|=1时，表明成对样本数据(xi , yi)都落在某直线上，这时成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系.
提示
样本相关系数r有时也称样本线性相关系数，|r|刻画了样本点集中于某条直线的程度.当r=0时，只表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系.
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
[例1] 现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x(分)与入学后第一次考试的数学成绩y(分)如下：
学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108
y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71
题型一 线性相关性的检验
请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性相关关系？
＝ (120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，
＝ (84＋64＋…＋57＋71)＝68，
所以相关系数为r＝ ≈0.7506.
由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有线性相关关系．
＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73796.
＝842＋642＋…＋572＋712＝47384，
＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584，
学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108
y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71
总结提升
利用相关系数r判断线性相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据较大，常常需要借助计算器．
1. 假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
跟踪训练
已知 ＝90， ＝140.78， ＝112.3.
(1)求，；
(2)对x，y进行线性相关性检验．
1. 假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
已知 ＝90， ＝140.78， ＝112.3.
(1)求，；
＝ ＝4.
＝ ＝4.
1. 假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
已知 ＝90， ＝140.78， ＝112.3.
(2)对x，y进行线性相关性检验．
－5＝112.3－5×4×5＝12.3，
所以x与y之间具有很强的线性相关关系．
所以r＝ ≈0.979.
－52＝140.78－125＝15.78，
－52＝90－5×42＝10，
[例2] 维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据．
甲醛浓度x 18 20 22 24 26 28 30
缩醛化度(y) 26.86 28.35 28.75 28.87 29.75 30.00 30.36
题型二 判断线性相关的强弱
求样本相关系数r并判断它们的相关程度.
解：列表如下
i xi yi xiyi
1 18 26.86 324 721.4596 483.48
2 20 28.35 400 803.7225 567
3 22 28.75 484 826.5625 632.5
4 24 28.87 576 833.4769 692.88
5 26 29.75 676 885.0625 773.5
6 28 30.00 784 900 840
7 30 30.36 900 921.7296 910.80
∑ 168 202.94 4144 5892.0136 4 900.16
由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的正线性相关关系．
r＝
＝ ＝24， ＝ ，
＝
≈0.96.
当相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关关系越强，
当相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关关系越弱．
总结提升
2. 以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大小x(m2)的数据．
房屋大小x/m2 115 110 80 135 105
销售价格y/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)画出数据的散点图；
跟踪训练
0
80
90
100
110
120
130
140
10
20
30
房屋大小/ m2
销售价格/ 万元
2. 以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大小x(m2)的数据．
房屋大小x/m2 115 110 80 135 105
销售价格y/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(2)求相关系数r，并作出评价．
跟踪训练
(2)列表如下：
i xi yi xiyi
1 115 24.8 13225 615.04 2852
2 110 21.6 12100 466.56 2376
3 80 18.4 6400 338.56 1472
4 135 29.2 18225 852.64 3942
5 105 22 11025 484 2310
∑ 545 116 60975 2756.8 12952
＝ ＝109， ＝ ＝23.2，
由此可知，新房屋的销售价格和房屋的大小之间有很强的正线性相关关系.
r＝
＝
＝ ≈0.96，
随堂检测
1．两个变量之间的相关程度越低，则其线性相关系数的数值( )
A．越小 B．越接近1
C．越接近0 D．越接近－1
C
当相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关关系越强，
当相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关关系越弱．
2．给定y与x的一组样本数据，求得相关系数r＝－0.690，则( )
A．y与x线性不相关 B．y与x正线性相关
C．y与x负线性相关 D．以上都不对
因为r＝－0.690<0，所以y与x负线性相关
C
3．(多选题)下列说法正确的是( )
A．变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的或负的
C．如果r＝±1，说明x与y之间完全线性相关
D．线性相关系数r∈(－1，1)
相关系数|r|≤1
×
ABC
√
√
√
4．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
已知记忆力x和判断力y是线性相关的，求相关系数r.
解 列表如下
i xi yi xiyi
1 6 2 36 4 12
2 8 3 64 9 24
3 10 5 100 25 50
4 12 6 144 36 72
∑ 36 16 344 74 158
＝ ＝9， ＝ ＝4，
∴r＝
＝
≈0.99.
本课小结
1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养．
2．判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就可利用线性相关系数来判断．
3．|r|越接近1，它们的散点图越接近一条直线，两个变量之间的相关关系越强．
通过本节课，你学会了什么？
8.1.2 样本相关系数
高二
选择性必修三
本节目标
1. 结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.
2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.
预习课本96～102，思考并完成以下问题
(1)什么是样本相关系数？
(2) 相关系数有哪些性质？
(3) 样本相关系数与标准化数据向量夹角有什么关系？
课前预习
课前小测
(1)回归分析中，若r＝±1说明x，y之间具有完全的线性关系．( )
(2)若r＝0，则说明成对样本数据间是函数关系．( )
(3)样本相关系数r的范围是r∈(－∞，＋∞)．( )
1．判断
√
若r＝0，则说明成对样本数据间没有线性相关关系．
×
样本相关系数的范围是[－1，1]．
×
2．下面对相关系数r描述正确的是( )
A．r>0表明两个变量负相关
B．r>1表明两个变量正相关
C．r只能大于零
D. 越接近于0，两个变量相关关系越弱
两个变量之间的相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强， r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关．
r＞0表明两个变量正相关
×
r∈[－1，1]
×
r∈[－1，1]
×
√
D
3．(多选题)下面的各图中，散点图与相关系数r符合的是 ( )
因为相关系数r的绝对值越接近1，线性相关程度越高，且r＞0时正相关，r＜0时负相关.
ACD
√
×
√
√
新知探究
新课导入
散点图可以说明变量间有无线性相关关系，但无法量化两个变量之间的相关程度的大小，更不能精确地说明成对样本数据之间关系的密切程度，那么我们如何才能寻找到这样一个合适的量来对样本数据的相关程度进行定量分析呢？
1．相关系数r的计算
注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量.
sx＝ ，sy＝
假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，
对数据作进一步的“标准化”处理，用
分别除xi－和yi－ (i＝1，2，…，n， 和分别为x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值)，得， ，…，，
1．相关系数r的计算
则变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：
r＝ (x1′y1′＋x2′y2′＋…＋xn′yn′)
为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为(x1′，y1′)，(x2′，y2′)，…，(xn′，yn′)，
＝ .
2．相关系数r的性质
(1)当r>0时，称成对样本数据_____相关；
当r<0时，成对样本数据_____相关；
当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系．
正
负
当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越_____；
当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越_____．
(2)样本相关系数r的取值范围为___________．
[－1，1]
强
弱
3．样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系
r＝ x′·y′＝ |x′||y′|cos θ＝cos θ
(其中x′＝(x1′，x2′，…，xn′)，y′＝(y1′，y2′，…，yn′)，|x′|＝|y′|＝，θ为向量x′和向量y′的夹角)．
思考
？
当|r|=1时，成对样本数据之间具有怎样的关系呢？
当|r|=1时，表明成对样本数据(xi , yi)都落在某直线上，这时成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系.
提示
样本相关系数r有时也称样本线性相关系数，|r|刻画了样本点集中于某条直线的程度.当r=0时，只表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系.
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
[例1] 现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x(分)与入学后第一次考试的数学成绩y(分)如下：
学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108
y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71
题型一 线性相关性的检验
请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性相关关系？
＝ (120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，
＝ (84＋64＋…＋57＋71)＝68，
所以相关系数为r＝ ≈0.7506.
由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有线性相关关系．
＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73796.
＝842＋642＋…＋572＋712＝47384，
＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584，
学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108
y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71
总结提升
利用相关系数r判断线性相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据较大，常常需要借助计算器．
1. 假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
跟踪训练
已知 ＝90， ＝140.78， ＝112.3.
(1)求，；
(2)对x，y进行线性相关性检验．
1. 假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
已知 ＝90， ＝140.78， ＝112.3.
(1)求，；
＝ ＝4.
＝ ＝4.
1. 假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
已知 ＝90， ＝140.78， ＝112.3.
(2)对x，y进行线性相关性检验．
－5＝112.3－5×4×5＝12.3，
所以x与y之间具有很强的线性相关关系．
所以r＝ ≈0.979.
－52＝140.78－125＝15.78，
－52＝90－5×42＝10，
[例2] 维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据．
甲醛浓度x 18 20 22 24 26 28 30
缩醛化度(y) 26.86 28.35 28.75 28.87 29.75 30.00 30.36
题型二 判断线性相关的强弱
求样本相关系数r并判断它们的相关程度.
解：列表如下
i xi yi xiyi
1 18 26.86 324 721.4596 483.48
2 20 28.35 400 803.7225 567
3 22 28.75 484 826.5625 632.5
4 24 28.87 576 833.4769 692.88
5 26 29.75 676 885.0625 773.5
6 28 30.00 784 900 840
7 30 30.36 900 921.7296 910.80
∑ 168 202.94 4144 5892.0136 4 900.16
由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的正线性相关关系．
r＝
＝ ＝24， ＝ ，
＝
≈0.96.
当相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关关系越强，
当相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关关系越弱．
总结提升
2. 以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大小x(m2)的数据．
房屋大小x/m2 115 110 80 135 105
销售价格y/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)画出数据的散点图；
跟踪训练
0
80
90
100
110
120
130
140
10
20
30
房屋大小/ m2
销售价格/ 万元
2. 以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大小x(m2)的数据．
房屋大小x/m2 115 110 80 135 105
销售价格y/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(2)求相关系数r，并作出评价．
跟踪训练
(2)列表如下：
i xi yi xiyi
1 115 24.8 13225 615.04 2852
2 110 21.6 12100 466.56 2376
3 80 18.4 6400 338.56 1472
4 135 29.2 18225 852.64 3942
5 105 22 11025 484 2310
∑ 545 116 60975 2756.8 12952
＝ ＝109， ＝ ＝23.2，
由此可知，新房屋的销售价格和房屋的大小之间有很强的正线性相关关系.
r＝
＝
＝ ≈0.96，
随堂检测
1．两个变量之间的相关程度越低，则其线性相关系数的数值( )
A．越小 B．越接近1
C．越接近0 D．越接近－1
C
当相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关关系越强，
当相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关关系越弱．
2．给定y与x的一组样本数据，求得相关系数r＝－0.690，则( )
A．y与x线性不相关 B．y与x正线性相关
C．y与x负线性相关 D．以上都不对
因为r＝－0.690<0，所以y与x负线性相关
C
3．(多选题)下列说法正确的是( )
A．变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的或负的
C．如果r＝±1，说明x与y之间完全线性相关
D．线性相关系数r∈(－1，1)
相关系数|r|≤1
×
ABC
√
√
√
4．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
已知记忆力x和判断力y是线性相关的，求相关系数r.
解 列表如下
i xi yi xiyi
1 6 2 36 4 12
2 8 3 64 9 24
3 10 5 100 25 50
4 12 6 144 36 72
∑ 36 16 344 74 158
＝ ＝9， ＝ ＝4，
∴r＝
＝
≈0.99.
本课小结
1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养．
2．判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就可利用线性相关系数来判断．
3．|r|越接近1，它们的散点图越接近一条直线，两个变量之间的相关关系越强．
通过本节课，你学会了什么？