人教版（2019）数学选择性必修三综合复习：导数的简单应用课件(共39张PPT)

(共39张PPT)
导数的简单应用
高二
选择性必修三
本节目录
导数的几何意义及运算
1
利用导数研究函数的单调性
2
利用导数研究函数极值、最值
3
考向一　导数的几何意义及运算
经典再现
[例1] (课标全国Ⅲ,6,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则(　 　)
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
∵y'=aex+ln x+1, y'|x=1=ae+1,
∴2=ae+1,∴a=e-1.故切点坐标为(1,1),
将切点坐标(1,1)代入y=2x+b,
得1=2+b,∴b=-1.
D
[例2] (课标全国Ⅰ,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( 　)
A.y=-2x B.y=-x　
C.y=2x D.y=x
∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,
∴a-1=0,解得a=1,
∴f(x)=x3+x,
∴f '(x)=3x2+1,
∴f '(0)=1,
故曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.
D
[例3] (课标全国Ⅰ,13,5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为　　 .
∵y'=3(x2+3x+1)ex,
∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k=y'|x=0=3,∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3x.
y=3x
总结提升
1.在点P处的切线方程的求法
设切点P(x0,y0),然后根据以下三个方面列方程:
①切点在曲线上,即y0=f(x0);
②切线斜率等于函数在切点处的导数,即切线斜率k=f '(x0);
③切点在切线上,即切线方程为y-y0=k(x-x0).
2.过点P的切线方程的求法
先设切点Q(x0,y0),然后根据过点P且切点为Q的切线方程的求法求解.
求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.
易错提醒
对点训练
1. (河南林州一中调研)已知函数f(x)的导函数为f '(x), 且满足关系式f(x)=x2+3xf '(2)-ln x, 则f '(2)的值为(　　)
A. B.- C. D.-
∵f(x)=x2+3x f '(2)-ln x,
∴f '(x)=2x+3f '(2)- ,
令x=2,得f '(2)=4+3f '(2)- , 解得f '(2)= .
B
2. (广西五市联考)已知e为自然对数的底数,曲线y=aex+x在点(1,ae+1)处的切线与直线2ex-y-1=0平行,则实数a=(　 　)
A. B. 　
C. D.
∵y'=aex+1,
∴曲线在点(1,ae+1)处的切线斜率为y'|x=1=ae+1,
又该切线与2ex-y-1=0平行,
∴ae+1=2e, 解得a=.
B
考向二　利用导数研究函数的单调性
经典再现
[例4] (课标全国Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)·ex-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
[例4] (课标全国Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)·ex-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
f(x)的定义域为(-∞,+∞),
f '(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).
若a≤0,则f '(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递减.
若a>0,则由f '(x)=0得x=-ln a.
当x∈(-∞,-ln a)时, f '(x)<0;当x∈(-ln a,+∞)时, f '(x)>0.
所以f(x)在(-∞,-ln a)单调递减,在(-ln a,+∞)单调递增.
[例4] (课标全国Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)·ex-x.
(2)若f(x)有两个零点, 求a的取值范围.
若a≤0,由(1)知, f(x)至多有一个零点.
若a>0,由(1)知,当x=-ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(-ln a)=1- +ln a.
①当a=1时,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一个零点;
②当a∈(1,+∞)时,由于1- +ln a>0,即f(-ln a)>0, 故f(x)没有零点;
③当a∈(0,1)时,1- +ln a<0,即f(-ln a)<0.
又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,故f(x)在(-∞,-ln a)有一个零点.
设正整数n0满足n0>ln ,则f(n0)= (a +a-2)-n0> -n0> -n0>0.
由于ln >-ln a,因此f(x)在(-ln a,+∞)内有一个零点.
综上, a的取值范围为(0,1).
(1)导数符号.
①f '(x)≥0,②f '(x)≤0,③不确定,令f '(x)=0,有以下两种情况:根不在定义域内,根在定义域内,当存在多个根时,需比较大小;
(2)二次项系数、判别式.
y=ax2+bx+c,①a=0,②a≠0时,有以下两种情况:Δ≤0,Δ>0;
(3)①分母=0,②分母≠0;
(4)参数符号;
(5)分段函数.
总结提升
分类讨论的常见情况
总结提升
(1)可导函数f(x)在区间(a,b)上单调,实际上就是在该区间上f '(x)≥0(或f '(x)≤0)恒成立,得到关于参数的不等式,从而转化为求函数的最值问题,进而求出参数的取值范围;
(2)可导函数f(x)在区间(a,b)上存在单调区间,实际上就是f '(x)>0(或f '(x)<0)在该区间上存在解集,从而转化为不等式问题,进而求出参数的取值范围;
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I上含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围.
由函数的单调性求参数的方法
对点训练
1. (福建厦门质检)函数y= x2-ln x的单调递减区间为(　　)
A.(-1,1) B.(0,1]
C.(1,+∞) D.(0,2)
函数的定义域为(0,+∞),
由y'=x- ≤0得0所以函数的单调递减区间为(0,1].
B
2. (安徽江南十校联考)设函数f(x)= x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是 (　 　)
A.(1,2] B.[4,+∞)
C.(-∞,2] D.(0,3]
易知函数f(x)的定义域是(0,+∞), f '(x)=x- ,
由f '(x)≤0解得0由，解得1A
3. (河北武邑中学调研)已知函数f(x)=ex-ax(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若a=1,函数g(x)=(x-m)f(x)-ex+x2+x在(2,+∞)上为增函数,求实数m的取值范围.
3. (河北武邑中学调研)已知函数f(x)=ex-ax(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
由题意可知,函数f(x)的定义域为R, f '(x)=ex-a.
①若a≤0,则f '(x)>0,
∴f(x)在R上为增函数.
②若a>0,则由f '(x)=0得x=ln a,
当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0,
∴f(x)在(-∞,ln a)上为减函数,
当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0,
∴f(x)在(ln a,+∞)上为增函数.
3. (河北武邑中学调研)已知函数f(x)=ex-ax(a∈R,e为自然对数的底数).
(2)若a=1,函数g(x)=(x-m)f(x)-ex+x2+x在(2,+∞)上为增函数,求实数m的取值范围.
若a=1, 则g(x)=(x-m)(ex-x)-ex+x2+x.
∵g(x)在(2,+∞)上为增函数, ∴g'(x)=xex-mex+m+1≥0在(2,+∞)上恒成立,
即m≤ 在(2,+∞)上恒成立.
令h(x)= , x∈(2,+∞), 则h'(x)= = .
令L(x)=ex-x-2, 则L'(x)=ex-1>0,
∴L(x)在(2,+∞)上为增函数, L(x)>L(2)=e2-4>0,
∴在(2,+∞)上,h'(x)>0,h(x)为增函数,
∴h(x)>h(2)= , ∴m≤ ,
即实数m的取值范围是.
考向三　利用导数研究极值、最值
命题角度一　求函数的极值、最值
[例5] (课标全国Ⅲ文,20,12分)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当0经典再现
[例5] (课标全国Ⅲ文,20,12分)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.
(1)讨论f(x)的单调性;
f '(x)=6x2-2ax=2x(3x-a). 令f '(x)=0,得x=0或x= .
若a>0,则当x∈(-∞,0)∪ 时, f '(x)>0;
当x∈ 时, f '(x)<0.
故f(x)在(-∞,0), 单调递增,在单调递减;
若a=0, 则f(x)在(-∞,+∞)单调递增;
若a<0,则当x∈ ∪(0,+∞)时, f '(x)>0;
当x∈ 时, f '(x)<0.
故f(x)在,(0,+∞)单调递增,在单调递减.
[例5] (课标全国Ⅲ文,20,12分)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.
(2)当0当0所以f(x)在[0,1]的最小值为f =- +2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.
于是m=- +2,M= ，所以M-m=
当0当2≤a<3时, 单调递增,所以M-m的取值范围是.
综上, M-m的取值范围是.
(1)求定义域;
(2)求导;
(3)令f '(x)=0;
(4)列表,检查f '(x)在方程根左、右值的符号;
(5)得出结论.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
求可导函数f(x)的极值的步骤
总结提升
注意: 只有极大值无极小值时,要指出“无极小值”.
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;
(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以用待定系数法求解后必须检验.
已知函数极值求参数时需注意的问题
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将f(x)的各极值与f(a), f(b)比较,得出f(x)在[a,b]上的最值.
总结提升
求可导函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤
1.(内蒙古赤峰模拟)设函数f(x)在定义域R上可导,其导函数为f '(x),若函数y=(1-x)f '(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　 　)
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
对点训练
由题图知,当x<-2时, f '(x)>0; 当x=-2时, f '(x)=0; 当-2当x=1时, f '(x)不确定;当12时, f '(x)>0.所以f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
D
2. (陕西五校联考)已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数.
(1)当a=-1时,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.
2. (陕西五校联考)已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数.
(1)当a=-1时,求f(x)的最大值;
f(x)的定义域为(0,+∞),
当a=-1时, f(x)=-x+ln x, f '(x)=-1+ = ,令f '(x)=0,得x=1.
当00; 当x>1时, f '(x)<0,
∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,
f(x)max=f(1)=-1.
∴当a=-1时, f(x)在(0,+∞)上的最大值为f(1), f(1)=-1.
2. (陕西五校联考)已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数. (2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.
f '(x)=a+ , x∈(0,e], ∈ .
若a≥- , 则f ' (x)≥0, f(x)在(0,e]上是增函数, ∴f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不符合题意.
若a<- , 令f '(x)>0,即a+ >0,结合x∈(0,e],解得0令f '(x)<0,即a+ <0,结合x∈(0,e],解得- ∴f(x)在上为增函数,在上为减函数,
∴f(x)max=f =-1+ln .
令-1+ln =-3,得ln =-2,即a=-e2.
∵-e2<- , ∴a=-e2符合题意. 综上,a的值为-e2.
命题角度二　与极值点个数有关的问题
经典再现
[例6] (课标全国Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)= -x+aln x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2, 证明: [例6] (课标全国Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)= -x+aln x.
(1)讨论f(x)的单调性;
f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=- -1+ =- .
(i)若a≤2,则f '(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时, f '(x)=0, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.
(ii)若a>2,令f '(x)=0,得x= 或x= .
当x∈ ∪ 时, f '(x)<0;
当x∈ 时, f '(x)>0.
所以f(x)在, 上单调递减,
在上单调递增.
[例6] (课标全国Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)= -x+aln x.
(2)若f(x)存在两个极值点x1, x2, 证明: 证明：由(1)知, f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.
由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,
所以x1x2=1,不妨设x11,
由于 =- -1+a =-2+a =-2+a ,
所以 设函数g(x)= -x+2ln x, 由(1)知,g(x)在(0,+∞)上单调递减,
又g(1)=0,从而当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,
所以-x2+2ln x2<0, 即 将函数f(x)极值的情况,转化为方程f '(x)=0实根的情况.含有两个以上极值点时,可借助单调性,代数关系,对称性等,将所求消元降次.
与极值点个数有关的问题的求法
总结提升
对点训练
1. (江西南昌调研)已知a为常数,函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点x1,x2(x1A. f(x1)>0, f(x2)>- B. f(x1)<0, f(x2)<-
C. f(x1)>0, f(x2)<- 　 D. f(x1)<0, f(x2)>-
D
由已知可得, f '(x)=ln x-2ax+1, f '(x)=0有两个不等实根x1,x2(x1由直线y=x是曲线y=1+ln x的一条切线,知0<2a<1,0由0∵当x10,∴f(x2)>f(1)=-a>- .
2. (湖南衡阳联考)已知函数f(x)=ln x+x2-ax(a>0).
(1)讨论f(x)在(0,1)上极值点的个数;
(2)若x1,x2(x1m恒成立,求实数m的取值范围.
2. (湖南衡阳联考)已知函数f(x)=ln x+x2-ax(a>0).
(1)讨论f(x)在(0,1)上极值点的个数;
f '(x)= +2x-a= ,x∈(0,1),a>0,
设g(x)=2x2-ax+1, x∈(0,1), a>0, 则Δ=a2-8.
①若Δ≤0,即00, 此时f(x)在(0,1)上无极值点;
②若Δ>0,即a>2, 由g(x)=0,得x1= , x2= .
若22. (湖南衡阳联考)已知函数f(x)=ln x+x2-ax(a>0).
(1)讨论f(x)在(0,1)上极值点的个数;
此时f(x)在(0,1)上有两个极值点;
若a≥3, 则0 =1.
此时f(x)在(0,1)上只有一个极值点.
综上,若0若2若a≥3,则f(x)在(0,1)上只有一个极值点.
2. (湖南衡阳联考)已知函数f(x)=ln x+x2-ax(a>0).
(2)若x1,x2(x1m恒成立,求实数m的取值范围.
∵x1,x2(x1∴x1,x2是方程f '(x)=0在(0,1)内的两个不同的实根.
令f '(x)=0,得x1,x2是方程2x2-ax+1=0的两个不相等的实数根,
∴Δ=a2-8>0,a>2,x1+x2= >0, x1·x2= .
f(x1)-f(x2)=(ln x1+ -ax1)-(ln x2+ -ax2)=ln +(- )+a(x2-x1)=ln +(- )+2(x1+x2)(x2-x1)=ln + - =ln + · ,
2. (湖南衡阳联考)已知函数f(x)=ln x+x2-ax(a>0).
(2)若x1,x2(x1m恒成立,求实数m的取值范围.
令t= ∈(0,1),则f(x1)-f(x2)=ln t+ ,t∈(0,1),
令h(t)=ln t+ ,t∈(0,1),则h'(t)=- <0,
∴h(t)在(0,1)内单调递减,h(t)>h(1)=0,即f(x1)-f(x2)>0.
∴m≤0,即m的取值范围是(-∞,0].
通过本节课，你学会了什么？