24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
（第3课时）
一、教学目标
【知识与技能】
理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.
【过程与方法】
利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念.
【情感态度与价值观】
经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力.
二、课型
新授课
三、课时
第3课时，共3课时。
四、教学重难点
【教学重点】
切线长定理及其应用.
【教学难点】
内切圆、内心的概念及运用.
五、课前准备
课件、图片、圆规、直尺等.
六、教学过程
（一）导入新课
同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？（出示课件2）
（二）探索新知
探究一 切线长定理及应用
教师问：上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？（出示课件4）
学生思考，尝试作图并解答．
出示课件5:出示定义:
切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．
教师问：切线长与切线的区别在哪里？
学生思考后师生共同总结：
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
教师问：PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．OB是☉O的一条半径吗？PB是☉O的切线吗？PA、PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？（出示课件6）
学生思考后，尝试利用图形轴对称性解释.
教师归纳：（出示课件7）
切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
几何语言:
∵PA、PB分别切☉O于A、B，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
出示课件8：已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
学生观察分析，合作交流后师生共同解答.
证明：∵PA切☉O于点A，
∴OA⊥PA.
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
教师问：若连接两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论 并给出证明.（出示课件9）
学生操作后观察得：OP垂直平分AB.
师生共同证明如下.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点,
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB.
教师问：若延长PO交⊙O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么新的结论 并给出证明.（出示课件10）
学生操作后观察得：CA=CB.
师生共同证明如下.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
∴PC=PC.
∴△PCA≌△PCB，
∴AC=BC.
出示课件11：例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H.
求证：AB+CD=AD+BC.
学生独立思考后师生共同解决如下.
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H，
∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
∴AB+CD=AD+BC.
巩固练习：（出示课件12）
PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
（1）若AP=4,则OP= ;
（2）若∠BPA=60°,则OP= .
学生自主思考后口答：⑴5；⑵6.
出示课件13：例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．
教师分析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA、OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．
师生共同解答.（出示课件14）
解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.
∵AP、AQ为⊙O的切线，
∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.
又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.
在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，
即铁环的半径为
巩固练习：（出示课件15）
如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D、E两点,经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为 cm(AD学生思考后独立解决.
解析：设圆心为O,连接OD、OE,x2-25x+150=0,(x-10)(x-15)=0,
解得x1=10,x2=15,∵AD设半径为r,又AB=AD+BE=25,∴(AD+r)2+(BE+r)2=AB2,
∴(10+r)2+(15+r)2=252,解得r=5.
探究二 三角形的内切圆及作法
出示课件16：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
教师问：如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？（出示课件17）
学生答：最大的圆与三角形三边都相切.
教师问：如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？(1)如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？（出示课件18）
学生答：圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.
教师问：(2)在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？
学生答：圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.
教师问：为什么？
学生答：三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.
出示课件19：做一做
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
引导学生分析作图的关键，师生共同作图如下：
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
教师归纳总结：（出示课件20）
1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
如图，☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.
出示课件21：例 已知:△ABC(如图),
(1)求作△ABC的内切圆☉I(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不要求证明).
(2)在题(1)已经作好的图中,若∠BAC=88°,求∠BIC的度数.
学生观察思考交流后，师生共同解答.（出示课件22，23）
解析：(1)①以A为圆心、任意长为半径画圆,分别交AC、AB于点H、G;
②分别以H、G为圆心,以大于HG的长为半径画圆,两圆相交于K点,连接AK,则AK即为∠BAC的平分线;
③同理作出∠ABC的平分线BF,交AK于点I,则I即为△ABC内切圆的圆心;
④过I作IM⊥BC于M,以I为圆心,IM为半径画圆,则☉I即为所求圆.
(2)∵∠BAC=88°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°,
∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=×92°=46°,
∴∠BIC=180°-46°=134°.
巩固练习：（出示课件24）
△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积.（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC.）
学生思考交流后自主解决.
解：设AB=c，BC=a，AC=b.
则S△OBC=ar,S△OBA=cr,S△OAC=br,
S△ABC=S△OBC+S△OBA+S△OAC
=ar+cr+br
=r（a+c+b）
=lr.
探究三 三角形的内心的定义和性质
教师问：如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段IA，IB,IC有什么特点？（出示课件25）
学生答：线段IA，IB,IC分别是∠A，∠B，∠C的平分线.
教师问：如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？（出示课件26）
学生答：IE=IF=IG.
教师归纳：三角形内心的性质（出示课件27）
三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.
出示课件28：例 如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.
教师分析后学生独立解答.
解：连接IB，IC.
∵点I是△ABC的内心，
∴IB，IC分别是∠B，∠C的平分线，
在△IBC中，
巩固练习：（出示课件29）
如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB= .
学生自主思考后独立解答.
解析：∵点P是△ABC的内心,
∴PB平分∠ABC,PA平分∠BAC,PC平分∠ACB,
∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.
出示课件30，师生共同总结深化认知.
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1.OA=OB=OC； 2.外心不一定在三角形的内部
内心：三角形内切圆的圆心 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； 3.内心在三角形内部
（三）课堂练习（出示课件31-36）
1.如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（ ）
A．3 B． C．6 D．
2.如图，菱形ABOC的边AB、AC分别与⊙O相切于点D、E．若点D是AB的中点，则∠DOE= ．
3.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,∠APB=40°,则∠APO= ,PB= .
4.如图，已知点O是△ABC的内心，且∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BOC= .
5.如图，在△ABC中，点I是内心，
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=_____.
（2）若∠A=80°，则∠BIC=_____度.
（3）若∠BIC=100°，则∠A=_____度.
（4）试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？
6.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
7.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.
参考答案：
1.D解析：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=，
∴光盘的直径为．
2.60°解析：连接OA，
∵四边形ABOC是菱形，
∴BA=BO，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵点D是AB的中点，
∴直线OD是线段AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB，
∴∠AOD=∠AOB=30°，
同理，∠AOE=30°，
∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60° ．
3.20°；4
4.110°
5.解：⑴120°；⑵130；⑶20；⑷
6.证明：连接OD，
∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠B=90°.
在Rt△OCD和Rt△OCB中，OD＝OB ，OC＝OC ,
∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），
∴∠DOC=∠BOC.
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC.
7.证明：连接BI.
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD.
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．
（四）课堂小结
这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？
（五）课前预习
预习下节课（24.3第1课时）的相关内容.
七、课后作业
配套练习册内容
八、板书设计：
九、教学反思：
本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
（第1课时）
一、教学目标
【知识与技能】
掌握直线和圆的三种位置关系及其数量间的关系，掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法.
【过程与方法】
通过生活中的实例，探求直线和圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想.
【情感态度与价值观】
在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时，共3课时。
四、教学重难点
【教学重点】
直线与圆的三种位置关系及其数量关系.
【教学难点】
通过数量关系判断直线与圆的位置关系.
五、课前准备
课件、图片、圆规、直尺等.
六、教学过程
（一）导入新课
如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？我们把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？（出示课件2）
解决这个问题要研究直线和圆的位置关系．（板书课题）
（二）探索新知
探究一 用公共点个数判断直线与圆的位置关系
教师问：如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？（出示课件4）
学生交流，回答问题：有三种位置关系.
教师问：如图，在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在钥匙环移动的过程中，它与直线l的公共点的个数吗？（出示课件5）
学生交流，回答问题：0个，1个，2个.
教师问：请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？（出示课件6）
学生交流，回答问题：公共点个数最少时0个，公共点个数最多时2个.
出示课件7：教师展示切割钢管过程，学生观察并填表.
出示课件8：填一填：（教师引导学生构建并填写表格，帮助学生理清知识脉络）
直线与圆的位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0个 1个 2个
公共点名称 切点 交点
直线名称 切线
教师归纳：（出示课件9）
直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.
练一练：判断正误.（出示课件10）
（1）直线与圆最多有两个公共点.
（2）若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.
（3）若A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切.
（4）若C为⊙O外一点，则过点C的直线与⊙O相交或相离.
（5）直线a和⊙O有公共点，则直线a与⊙O相交.
学生独立思考后口答：⑴√⑵×⑶×⑷×⑸×
探究二 用数量关系判断直线与圆的位置关系
教师问：同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？（出示课件11）
学生讨论，归纳总结答案，并由学生代表回答问题.
教师问：怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？（出示课件12）
学生讨论，归纳总结答案后教师归纳：根据直线和圆相交、相切、相离的定义：
直线和⊙O相交 d＜r；
直线和⊙O相离 d＞r；
直线和⊙O相切 d = r.
教师演示：根据直线和圆相切的定义，经过点A用直尺近似地画出⊙O的切线.（出示课件13）
学生根据教师演示进行操作.
教师归纳：（出示课件14）
直线和⊙O相交 d＜r 两个
直线和⊙O相离 d＞r 0个
直线和⊙O相切 d=r 1个
位置关系 数量关系 公共点个数
出示课件15-17：例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
(1)r=2cm；(2)r=2.4cm；(3)r=3cm．
教师分析：要了解AB与⊙C的位置关系，只要知道圆心C到AB的距离d与r的关系．已知r，只需求出C到AB的距离d.
师生共同解决如下：
解：过C作CD⊥AB，垂足为D.
在△ABC中，AB=5（cm）.
根据三角形的面积公式有.
∴
即圆心C到AB的距离d=2.4cm.
所以(1)当r=2cm时,有d>r,因此⊙C和AB相离.
（2） （3）
（2）当r=2.4cm时,有d=r，因此⊙C和AB相切.
（3）当r=3cm时，有d巩固练习：（出示课件18-20）
1.Rt△ABC,∠C=90°AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与直线AB没有公共点？
学生独立思考后独立解答.
解：当0cm＜r＜2.4cm或r＞4cm时,⊙C与线段AB没有公共点.
2.Rt△ABC,∠C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB有一个公共点？当半径r为何值时，圆C与线段AB有两个公共点？
学生独立思考后独立解答.
解：当r=2.4cm或3cm＜r≤4cm时,⊙C与线段AB有一个公共点.
当2.4cm＜r≤3cm时,⊙C与线段AB有两公共点.
3.圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是
（1）4.5cm ；（2）6.5cm；（3）8cm；
那么直线与圆分别是什么位置关系？有几个公共点？
学生独立思考后一生板演.
解：如图所示.
（1）圆心距d=4.5cm＜r=6.5cm时，直线与圆相交，有两个公共点；
（2）圆心距d=6.5cm=r=6.5cm时，直线与圆相切，有一个公共点；
（3）圆心距d=8cm＞r=6.5cm时，直线与圆相离，没有公共点.
出示课件21：例2 如图，Rt△ABC的斜边AB=10cm,∠A=30°.
学生独立思考后师生共同解答.
解：过点C作边AB上的高CD.
∵∠A=30°，AB=10cm,
在Rt△BCD中，有
当半径为时，AB与☉C相切.
巩固练习：（出示课件22）
如图，已知∠AOB=30°，M为OB上一点，且 OM=5cm，以M为圆心、r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？
(1)r=2cm；(2)r=4cm；(3)r=2.5cm.
学生思考后自主解答.
解：(1)相离；(2)相交；(3)相切.
（三）课堂练习（出示课件23-29）
1.已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2.已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为________．
3.看图判断直线l与☉O的位置关系？
4.直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有（ ）
A.r<5 B.r>5 C.r=5 D.r≥5
5.☉O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5，则直线l与☉O______.
6.☉O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与☉O的位置关系是（ ）
A.相交或相切 B.相交或相离
C.相切或相离 D.上三种情况都有可能
7.如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点．若点M的坐标是(－4，－2)，则点N的坐标为( )
A．(－1，－2) B．(1，2)
C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)
8.已知☉O的半径r=7cm,直线l1//l2,且l1与☉O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.
参考答案：
1.B
2.
3.解:⑴相离；⑵相交；⑶相切；⑷相交；⑸相交.
4.B
5.相离
6.A
7.A
8.解：（1）l2与l1在圆的同一侧：m=9-7=2cm；
（2）l2与l1在圆的两侧：m=9+7=16cm.
（四）课堂小结
本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流 .
（五）课前预习
预习下节课（24.2.2第2课时）的相关内容.
七、课后作业
配套练习册内容
八、板书设计：
九、教学反思：
本节课从生活中的常见情况引出了直线和圆的位置关系，并且从两个不同方面去判定直线与圆的三种关系，让学生讨论并归纳总结常用的直线和圆位置关系的判定方法，让学生领会该判定方法的实质是看直线到圆心的距离与半径的大小.对于该判定方法，学生一般能够熟记图形，以数形结合的方法理解并记忆.24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
（第2课时）
一、教学目标
【知识与技能】
能判定一条直线是否为一条切线，会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题。
【过程与方法】
经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成学生既能自主探究，又能合作探究的良好学习习惯.
【情感态度与价值观】
体验切线在实际生活中的应用，感受数学就在我们身边，感受证明过程的严谨性及结论的正确性.
二、课型
新授课
三、课时
第2课时，共3课时。
四、教学重难点
【教学重点】
切线的判定定理及性质定理的探究和运用.
【教学难点】
切线的判定定理和性质的应用.
五、课前准备
课件、图片、圆规、直尺等.
六、教学过程
（一）导入新课
教师问：转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？（出示课件2）
学生问：都是沿着圆的切线的方向飞出的．
（二）探索新知
探究一 切线的判定方法
教师问：如图，在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系 （出示课件4）
学生答：这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径．
由d=r得到直线l是⊙O的切线．
教师问：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？（出示课件5）
教师作图，学生观察并思考：
（1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系
（2）二者位置有什么关系？为什么？
出示课件6：教师归纳:
切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
应用格式:
∵OA为⊙O的半径，BC⊥OA于A，
∴BC为⊙O的切线.
教师问：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？（出示课件7）
学生观察交流后口答：(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
教师强调：在切线的判定定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
教师归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：（出示课件8）
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
出示课件9：例1 如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，且AB=AC.
求证：AC是☉O的切线.
教师分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
师生共同解答：
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°.
∵AB是☉O的直径，
∴ AC是☉O的切线.
巩固练习：（出示课件10）
如图所示，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD＝∠B＝30°，边BD交圆于点D.BD是⊙O的切线吗？为什么？
学生独立思考后板演：
解：BD是⊙O 的切线．
连接OD,∵OD＝OA，∠A＝30°，
∴∠DOB＝60°.
∵∠B＝30°，∴∠ODB＝90°.
∴BD是⊙O 的切线．
出示课件11：例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
学生思考交流后师生共同解答.
证明：连接OC(如图).
∵OA＝OB,CA＝CB,
∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.
∴AB⊥OC.
∵OC是⊙O的半径,
∴AB是⊙O的切线.
巩固练习：（出示课件12-13）
如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E. 求证：AC 是⊙O 的切线．
教师分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.
证明：连接OE，OA,过O作OF⊥AC.
∵⊙O与AB相切于E，
∴OE⊥AB.
又∵△ABC中，AB＝AC，
O是BC的中点．
∴AO平分∠BAC，
又OE⊥AB，OF⊥AC.
∴OE＝OF.
∵OE是⊙O半径，OF＝OE，OF⊥AC.
∴AC是⊙O的切线．
出示课件14：学生对比思考.
1.如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB
求证：直线AB是⊙O的切线.
学生答：连接OC.
2.如图，OA＝OB=5，AB＝8,⊙O的直径为6.
求证：直线AB是⊙O的切线.
学生答：作垂直.
教师归纳：（出示课件15）
证切线时辅助线的添加方法：
(1)有交点，连半径,证垂直;
(2)无交点，作垂直,证半径.
有切线时常用辅助线添加方法：
见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论：
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
探究二 切线的性质定理
教师问：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？（出示课件16）
学生思考后教师总结：
切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式：∵直线l是⊙O的切线，A是切点.
∴直线l⊥OA.
出示课件17-18，教师引导学生进行证明.
证法1：反证法.
证明：假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M.
则OM所以AB与CD垂直.
证法2：构造法.
作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点.连接OA,根据垂径定理，则CD⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．
教师总结：利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.（出示课件19）
出示课件20：例1 如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(2)若AP＝，求⊙O的半径．
教师分析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，
由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO；
(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.
师生共同解答：（出示课件21-22）
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，
又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO（ASA）.
(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP=，
∴AO＝1，
∴CB＝OP＝2，
∴OB＝1，
即⊙O的半径为1.
巩固练习：（出示课件23）
如图所示，点A是⊙O外一点，OA交⊙O于点B，AC是⊙O的切线，切点是C，且∠A＝30°，BC＝1.求⊙O的半径．
学生独立思考后自主解决.
解：连接OC.
∵AC是⊙O的切线，∴∠OCA＝90°.
又∵∠A＝30°，
∴∠COB＝60°，
∴△OBC是等边三角形．
∴OB＝BC＝1，即⊙O的半径为1.
（三）课堂练习（出示课件24-33）
1.如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF、CM．判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由.
2.判断下列命题是否正确.
（1）经过半径外端的直线是圆的切线.（ ）
（2）垂直于半径的直线是圆的切线.（ ）
（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（ ）
（4）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（ ）
（5）过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（ ）
3.如下图所示，A是☉O上一点，且AO=5, PO=13, AP=12,则PA与☉O的位置关系是 .
4.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
5.如图,⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
6.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E. 求证:PE是⊙O的切线.
7.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
8.已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.
（1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：①_________；② _____________.
（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.
参考答案：
1.解：CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，
∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，
∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，
∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线.
2.⑴×⑵×⑶√⑷√⑸√
3.相切
4.C
5.解：连接OB，则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,
OP=OA+PA=2+r.
在Rt△OBP中，OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.
解得r=3，即⊙O的半径为3.
6.证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB.
∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
7.证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线
AC上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与⊙O相切．
8.解：⑴①BA⊥EF；②∠CAE=∠B.
证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.
∴∠D+∠DAC=90 °,
∵∠D与∠B同对,
∴∠D=∠B,
又∵∠CAE=∠B,
∴∠D=∠CAE,
∴∠DAC+∠EAC=90°,
∴EF是☉O的切线.
（四）课堂小结
本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流 .
（五）课前预习
预习下节课（24.2.2第3课时）的相关内容.
七、课后作业
配套练习册内容
八、板书设计：
九、教学反思：
本节课从常见的生活情况入手，引入切线的概念，能激发学生的求知欲，接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线，又从另一侧面利用反证法，证明了切线的性质定理，这样，既证明了定理又复习了反证法.
