苏教版（2019）必修第一册5.4　函数的奇偶性课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
第5章
5.4
函数的奇偶性
学习目标
1.理解函数的奇偶性的含义及其几何表达，会判断函数的奇偶性，能证明一些简单函数的奇偶性.
2.学会应用函数的图象理解与研究函数的性质.
核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算
新知学习
一、奇、偶函数的定义
设函数y＝f（x）的定义域为A.
如果对于任意的x∈A，都有-x∈A，并且f（-x）＝f（x），那么称函数y＝f（x）是偶函数；
如果对于任意的x∈A，都有-x∈A，并且f（-x）＝-f（x），那么称函数y＝f（x）是奇函数.
如果函数f（x）是奇函数或偶函数，那么我们称函数f（x）具有奇偶性.
【解读】 利用定义判断函数的奇偶性
（1）确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称.
（2）①若定义域不关于原点对称，则函数f（x）为非奇非偶函数.
②若定义域关于原点对称，则需再判断f（-x）与f（x）的关系.
若f（-x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数；若f（-x）＝-f（x），则函数f（x）为奇函数；
若f（-x）≠±f（x），则函数f（x）为非奇非偶函数；若f（-x）＝±f（x），则函数f（x）既是奇函数又是偶函数.

D
B

二、函数奇偶性的图象特征
（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
（2）如果一个函数的图象关于原点对称，那么它是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，
那么它是偶函数.
（3）如果f（x）为奇函数，点（x，f（x））在其图象上，那么点（-x，f（-x）），
即点（-x，-f（x））也在f（x）的图象上；
如果f（x）为偶函数，点（x，f（x））在其图象上，那么点（-x，f（-x）），
即点（-x，f（x））也在f（x）的图象上.
示例　　已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式x·f（x）<0的解集为　　 　　.
【解析】∵ x·f（x）<0，∴ 当x>0时，f（x）<0，结合函数的图象可得1当x<0时，f（x）>0，根据奇函数的图象关于原点对称，可得-2∴ 不等式x·f（x）<0的解集为（-2，-1）∪（1，2）.
（-2，-1）∪（1，2）
示例　　奇函数f（x）的定义域为［-5，5］，若当x∈［0，5］时，f（x）的图象如图所示，
则不等式f（x）<0的解集是　　 　　.
【解析】由于奇函数的图象关于原点对称，故函数f（x）在定义域［-5，5］上的图象如图所示.
由图象知不等式f（x）<0的解集是（-2，0）∪（2，5］.
（-2，0）∪（2，5］
三、奇、偶函数的运算性质与复合函数的奇偶性
1.奇、偶函数的运算性质
对于定义域的交集不是空集的具有奇偶性的两个函数.
（1）两个奇函数的和仍为奇函数，即奇+奇＝奇.
（2）两个偶函数的和仍为偶函数，即偶+偶＝偶.
（3）两个奇函数的积为偶函数，即奇×奇＝偶.
（4）两个偶函数的积为偶函数，即偶×偶＝偶.
（5）一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数，即奇×偶＝奇.
2.复合函数的奇偶性
设非零函数f（x），g（x）的定义域分别是F，G，若F＝G，则有下列结论：
f（x） g（x） f（x）+g（x） f（x）-g（x） f（x）g（x） f（g（x））
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
【解析】对于A，f（-x）＝f（x）＝1，故A正确；
对于B，定义域不关于原点对称，一定是非奇非偶函数，故B不正确；
对于C，H（-x）＝f（-x）g（-x）＝-f（x）g（x）＝-H（x），故C正确；
对于D，f（|-x|）＝f（|x|），则函数y＝f（|x|）是偶函数，其图象关于y轴对称，故D正确.
示例　［多选题］下列四个命题中正确的是（　 ）
A. f（x）＝1是偶函数
B. g（x）＝x3，x∈（-1，1］是偶函数
C.若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）＝f（x）g（x）一定是奇函数
D.函数y＝f（|x|）的图象关于y轴对称
ACD
典例剖析





【解】 （方法1）函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称.
当x>0时，-x<0，∴ f（-x）＝（-x）［1-（-x）］＝-x（1+x）＝-f（x）.
当x<0时，-x>0，∴ f（-x）＝-x（1-x）＝-f（x）.
∴ 函数f（x）为奇函数.
（方法２）作出函数的图象，如图所示的实线部分，由图象可知，该函数为奇函数.
【方法总结】
判断分段函数奇偶性的方法
（1）一般根据函数奇偶性的定义，分段处理，先说明各段上f（-x）与f（x）的关系，再进一步说明在整个定义域内f（-x）与f（x）的关系，在此基础上才能判断函数的奇偶性，要特别注意：若x∈［a，b］，-x∈［-b，-a］，在求f（-x）时，需代入f（x）在区间［-b，-a］上的解析式.
（2）分段函数的奇偶性也可通过函数图象的对称性加以判断.
例 3 （1）已知函数f（x），x∈R，若?a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b），求证：f（x）为奇函数.
（2）已知函数f（x），x∈R，若?x1，x2∈R，都有f（x1+x2）+f（x1-x2）＝2f（x1）·f（x2），
求证：f（x）为偶函数.
（3）设函数f（x）的定义域为（-l，l），证明：f（x）+f（-x）是偶函数，f（x）-f（-x）是奇函数.
【证明】（1）令a＝0，则f（b）＝f（0）+f（b），∴ f（0）＝0.
令a＝-x，b＝x，则f（0）＝f（-x）+f（x），∴ f（-x）＝-f（x）.∴ f（x）是奇函数.
（2）令x1＝0，x2＝x，得f（x）+f（-x）＝2f（0）f（x）.①
令x2＝0，x1＝x，得f（x）+f（x）＝2f（0）f（x）.②
由①②得f（x）+f（-x）＝f（x）+f（x），即f（-x）＝f（x），∴ f（x）是偶函数.
（3）∵ x∈（-l，l），∴ -x∈（-l，l），即f（-x）的定义域也是（-l，l）.
设F（x）＝f（x）+f（-x），G（x）＝f（x）-f（-x），
则F（x）与G（x）的定义域也都是（-l，l），关于原点对称.
∵ F（-x）＝f（-x）+f（-（-x））＝f（-x）+f（x）＝F（x），
G（-x）＝f（-x）-f（-（-x））＝f（-x）-f（x）＝-［f（x）-f（-x）］＝-G（x），
∴ F（x）为偶函数，G（x）为奇函数，即f（x）+f（-x）是偶函数，f（x）-f（-x）是奇函数.
【方法总结】判断抽象函数的奇偶性，需利用函数奇偶性的定义，找准方向，巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑，找出f（-x）与f（x）的关系.赋值时，要根据解题目标来确定，一般可通过赋值-1，0或1来达到解题目的.
【解析】 （1）（方法1）设g（x）＝f（x）+4，则g（x）＝ax3+bx在R上为奇函数，
∴ g（-2）＝f（-2）+4＝2+4＝6，∴ g（2）＝-g（-2）＝-6.
又∵ g（2）＝f（2）+4，∴ f（2）＝-10.
（方法2）由f（-2）＝2，得-8a-2b-4＝2，即8a+2b＝-6，∴ f（2）＝8a+2b-4＝-10.
（2）F（x）＝af（x）+bg（x）+2在（0，+∞）上的最大值为5，且f（x），g（x）均为奇函数，
则F（x）-2＝af（x）+bg（x）为奇函数，且在（0，+∞）上的最大值为3.
根据奇函数的性质可知F（x）-2＝af（x）+bg（x）在（-∞，0）上的最小值为-3，
故F（x）＝af（x）+bg（x）+2在（-∞，0）上的最小值为-3+2＝-1.
二、函数奇偶性的简单应用
例4 （1）已知f（x）＝ax3+bx-4，其中a，b为常数，若f（-2）＝2，则f（2）等于（　）
A.-26 B.-18 C.10 D.-10
（2）已知f（x），g（x）均为奇函数，且F（x）＝af（x）+bg（x）+2在（0，+∞）上的最大值为5，
则在（-∞，0）上F（x）的最小值为　　　　.
D
-1
【方法总结】
利用函数奇偶性求值的方法
（1）未知的值不在已知的范围内，可利用奇偶性将未知的值或区间转化为已知的值或区间；
（2）有些函数虽然是非奇非偶函数，但观察表达式可以发现其间存在奇偶性的表达式，所以可用奇函数或偶函数表达出此函数，从而间接地求值.

例5 （1）已知函数f（x）为R上的偶函数，且当x<0时，f（x）＝x2-2x，则当x>0时，f（x）＝　　　 　.
（2）已知函数f（x）为R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝x2-2x+1，则f（x）＝　　 　.
x2+2x

【方法总结】
应用函数的奇偶性求函数f（x）解析式的一般方法
（1）“求谁设谁”，即求函数在哪个区间内的解析式，x就设在哪个区间内；
（2）将所设区间的x转化到已知区间，代入已知区间的函数解析式；
（3）利用f （x）的奇偶性求得f（x）的解析式.


1
-3
A
【方法总结】当定义域中含有参数时，可以根据奇、偶函数的定义域关于原点对称，直接求出参数的值；当解析式中含有参数时，可以根据奇、偶函数的定义列出等式f（-x）＝-f（x）或f（-x）＝f（x），由等式求出参数的值，有时也可以由特殊值或由函数的性质直接分析求解.
【解析】 因为f（x）满足f（x-4）＝-f（x），所以f（-4）＝-f（0）.
又f（x）在R上是奇函数，所以f（0）＝0，所以f（-4）＝-f（0）＝0，所以f（4）＝-f（-4）＝0.
由f（x）＝-f（-x）及f（x-4）＝-f（x），得f（3）＝-f（-3）＝-f（1-4）＝f（1）.
又f（x）在区间［0，2］上单调递增，所以f（1）>f（0），即f（1）>0，
所以f（-1）＝-f（1）<0，f（3）＝f（1）>0，于是f（-1）三、函数奇偶性的综合应用
例7 已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）＝-f（x），且在区间［0，2］上单调递增，则（　）
A. f（-1）C. f（3）D
【方法总结】
利用函数的奇偶性比较大小
比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，通过将其中某些函数值转化为其对称区间上的函数值，使它们在同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.

例8 （1）已知函数y＝f（x）在定义域［-1，1］上既是奇函数，又是减函数，若f（1-a2）+f（1-a）<0，
则实数a的取值范围是　　　　.
（2）已知定义域为R的函数f（x）在［1，+∞）上单调递增，且f（x+1）为偶函数，若f（3）＝1，则不等式f（2x+1）<1的解集为（　）
A.（-1，1） B.（-1，+∞） C.（-∞，1）　 D.（-∞，-1）∪（1，+∞）
A
［0，1）
（2）∵ f（x+1）是偶函数，∴ f（1-x）＝f（1+x），∴ f（x）的图象关于直线x＝1对称.
又∵ f（x）在［1，+∞）上单调递增，∴ f（x）在（-∞，1］上单调递减.
∵ f（3）＝1，∴ f（-1）＝f（3）＝1，∴ 当2x+1≤1时，f（2x+1）当2x+1≥1时，f（2x+1）【方法总结】
抽象不等式问题的解题步骤
（1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；
（2）由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应关系“f ”，转化为解不等式（组）的问题.
需要注意的是，在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成
“f（x）”的形式时，需转化为“f（x）”的形式，如f（x）为增函数，0＝f（1），f（x-1）<0，则f（x-1）注意偶函数f（x）中结论f（x）＝f（|x|）的灵活运用.

随堂小测
B
C
AC
C


A

8. 已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝-x2+ax.
（1）若a＝-2，求函数f（x）的解析式.
（2）若函数f（x）为R上的单调减函数，①求a的取值范围；
②若对任意实数m，f（m-1）+f（m2+t）<0恒成立，求实数t的取值范围.

谢 谢！