苏教版（2019）必修第一册6.3 对数函数课件(共41张PPT)

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第6章
6.3
对数函数
学习目标
1.通过实例直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的数学模型.
2.能画出具体的对数函数的图象，探索并了解对数函数的性质.
3.能利用对数函数的性质比较两个对数式值的大小，能研究一些对数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性等.
4.知道指数函数y＝ax（a>0，a≠1）与对数函数y＝logax（a>0，a≠1）互为反函数.
核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算
新知学习
一、对数函数的概念
一般地，函数y＝logax（a>0，a≠1）叫作对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，+∞）.
【说明】（1）由指数式与对数式的关系，知对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是（0，+∞）.
（2）对数函数中底数的限制条件与指数函数中相同，为a>0，且a≠1.
（3）以10为底数的对数函数y＝lg x叫作常用对数函数，以e为底数的对数函数y＝ln x叫作自然对数函数.




二、对数函数的图象与性质
1.对数函数的图象与性质
一般地，对数函数y＝logax（a>0，a≠1）的图象和性质如下表：
底数 a>1 0图象
性 质 定义域 （0，+∞）
值域 R
定点 函数图象恒过点（1，0），即当x＝1时，y＝0
函数值 的正负 当x>1时，y>0； 当01时，y<0；
当00
单调性 在（0，+∞）上为增函数 在（0，+∞）上为减函数
【说明】（1）对于对数函数的图象和性质，若底数a不确定，则需要分01两种情况讨论，这点与指数函数相同.
（2）对数函数的图象都在y轴右侧的第一、四象限，过定点（1，0），且当x→0时，图象无限接近y轴.
（3）对数函数的图象可以向上、向下无限延伸，值域为R.
【巧记】 对数函数单调性的记忆口诀
对数函数有两种，底数大小要分清.底数若是大于1，图象从左往右增.
底数0到1之间，图象从左往右减.无论函数增和减，图象都过（1，0）点.
2.指数函数与对数函数的比较
名称 指数函数 对数函数
一般形式 y＝ax（a>0，a≠1） y＝logax（a>0，a≠1）
图象 y＝ax的图象与y＝logax的图象 关于直线y＝x对称 　　　 　
定义域 （-∞，+∞） （0，+∞）
值域 （0，+∞） （-∞，+∞）
函数值的变化情况
单调性 当a>1时，y＝ax，y＝logax在定义域内为增函数；当0示例　函数y＝log2x的定义域是［1，64），则值域是（　）
A. R B.［0，+∞） C.［0，6） D.［0，64）
【规律总结】对数值正负的规律
（1）当a>1时，由对数函数y＝logax是增函数知：若01，则logax>loga1＝0.
（2）当0loga1＝0；若x>1，则logax即对于区间（0，1）和（1，+∞），当a，x都在同一区间时，有logax>0；
当a，x分别在两个区间时，有logax<0.
可简记为：同区间为正，异区间为负.
C
【解析】 因为函数y＝log2x在（0，+∞）上是增函数，所以当x∈［1，64）时，y∈［0，6）.

3.底数的大小决定了对数函数图象的相对位置.
（1）上下比较：在直线x＝1的右侧，当a>1时，a越大，对数函数图象越靠近x轴；当0（2）左右比较：比较对数函数图象与直线y＝1交点横坐标的大小，交点的横坐标越大，对应的对数函数底数就越大.根据如图所示的图象，我们很容易验证此结论.
示例　如图所示的四条曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为　 　　　.（按从大到小的顺序排）
b>a>1>d>c
【解析】由题图，知对数函数y＝logax，y＝logbx的底数a>1，b>1，对数函数y＝logcx，y＝logdx的底数0a>1>d>c.
四、反函数
1.反函数的定义
一般地，设A，B分别为函数y＝f（x）的定义域和值域，如果由函数y＝f（x）可解得唯一x＝φ（y）也是一个函数（即对任意一个y∈B，都有唯一的x∈A与之对应），那么就称函数x＝φ（y）是函数y＝f（x）的反函数（inverse function），记作x＝f -1（y）.
根据指数式与对数式的互化，我们可以得到对数函数y＝logax（a>0，且a≠1，x∈（0，+∞））与指数函数y＝ax（a>0，且a≠1，x∈R）互为反函数.

2.反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.
若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象关于直线y＝x对称.
（2）若函数y＝f（x）图象上有一点（a，b），则（b，a）必在其反函数的图象上；反之，若点（b，a）在反函数的图象上，则（a，b）必在其原函数的图象上.
（3）反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域.
（4）互为反函数的两个函数的单调性相同.
示例　函数y＝ln x+1（x>0）的反函数为（　）
A. y＝ex+1（x∈R） B. y＝ex-1（x∈R） C. y＝ex+1（x>1） D. y＝ex-1（x>1）
【解题必备】求反函数的步骤
（1）求出函数y＝f（x）的值域；（2）由y＝f（x）解出x＝f -1（y）；
（3）把x＝f -1（y）改写成y＝f -1（x），并写出函数的定义域（原函数的值域）.
B
【解析】 ∵ ln x＝y-1，∴ x＝ey-1.在原函数中，由x>0知y＝ln x+ 1∈R.
故y＝ln x+1（x>0）的反函数为y＝ex-1（x∈R）.
五、对数型复合函数的单调性
对数型复合函数一般分为两类：y＝f（logax）型和y＝logaf（x）型.
（1）对于对数型复合函数y＝f（logax）（a>0，a≠1）的单调性，一般用复合法判定，即令t＝logax，则只需研究t＝logax及y＝f（t）的单调性即可.
（2）对于对数型复合函数y＝logaf（x）（a>0，a≠1）的单调性，首先由f（x）>0确定函数的定义域，然后判断t＝f（x）在定义域上的单调性，最后结合底数a>1或0函数y＝logat（a>0，a≠1）的单调性 函数y＝logaf（x）（a>0，a≠1）的单调性
当a>1时， 函数y＝logat在（0，+∞）上是增函数 当a>1时，若t＝f（x）在（m，n）上是增函数，则y＝logaf（x）在（m，n）上是增函数；
若t＝f（x）在（p，q）上是减函数，则y＝logaf（x）在（p，q）上是减函数
当0若t＝f（x）在（p，q）上是减函数，则y＝logaf（x）在（p，q）上是增函数
示例　求函数f（x）＝log2（x2-2x）的单调区间.
【方法技巧】用换元法求复合函数的单调区间
求复合函数的单调区间的关键是分清内外两层函数，常采用换元法求解，忽略新元的取值范围是解题中的易错点.
【解】 函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（2，+∞）.
设t＝x2-2x.
当x∈（-∞，0）时，t＝x2-2x为减函数，则f（x）在（-∞，0）上为减函数；
当x∈（2，+∞）时，t＝x2-2x为增函数，则f（x）在（2，+∞）上为增函数.

典例剖析
D
A

【类题通法】对数（型）函数定义域的求法
1.求对数（型）函数的定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要注意：
（1）真数大于0；（2）底数大于0且不等于1.
2.y＝loga f（x）（a>0，且a≠1）型函数的定义域就是f（x）>0的解集.
3.y＝f（logax）型函数的定义域保证f（x）的解析式有意义，保证真数大于0.
二、对数型函数的图象及应用
1.对数型函数图象过定点问题
例 2 函数y＝loga（x+1）+1（a>0且a≠1）的图象恒过点（　）
A.（0，1） B.（0，2） C.（-1，1） D.（-1，2）
A
【方法技巧】解答函数y＝m+loga f（x）（a>0且a≠1）的图象恒过定点的问题时，只需令f（x）＝1求出x，即得定点（x，m）.
【解析】 要求函数y＝loga（x+1）+1（a>0且a≠1）的图象恒过的点，只需令x+1＝1，则x＝0，y＝1，所以该点的坐标为（0，1）.
　　　
2.对数型函数图象的判定与识别
例 3 已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga（-x）的图象只能是（　）
　
　
　
A　　　 　 B　　　　 C　　　 　 　D
【解析】（方法1）若0若a>1，则函数y＝ax是增函数且过点（0，1），而函数y＝loga（-x）是减函数且过点（-1，0），只有B中图象符合.
（方法2）首先指数函数y＝ax的图象只可能在x轴上方区域，函数y＝loga（-x）的图象只可能在y轴左侧区域，从而排除A，C；再看单调性，y＝ax与y＝loga（-x）的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合.
B
　　　
　
　
　
【方法技巧】给出函数解析式，判断函数的图象，首先应考虑所给函数对应的基本初等函数是哪一个，其次找出函数图象经过的特殊点，考虑函数的性质（定义域、单调性、奇偶性等），最后综合得出函数的图象.此类题目经常以选择题的形式出现，常用排除法.
3.对数型函数图象的变换
例 4 作出函数y＝|log2（x+1）|+2的图象.
（1） （2） （3） （4）　 　　　　　
【分析】充分利用图象变换，即利用平移变换、翻折变换等作图.
【解】第一步：作出y＝log2x的图象（如图（1））；
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得到y＝log2（x+1）的图象（如图（2））；
第三步：将y＝log2（x+1）在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方，得到y＝|log2（x+1）|的图象（如图（3））；
第四步：将y＝|log2（x+1）|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，得到y＝|log2（x+1）|+2的图象（如图（4））.
【类题通法】函数图象的变换规律
（1）一般地，函数y＝f（x+a）+b（a，b为实数）的图象是由函数y＝f（x）的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
（2）含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f（|x-a|）的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f（x）|的图象与y＝f（x）的图象在f（x）≥0的部分相同，在f（x）<0的部分关于x轴对称.


A

【规律方法】（1）指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数.
（2）互为反函数的两个函数的定义域、值域相反.
（3）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.
A
【解析】 由y＝f（x）是y＝ax的反函数，可知f（x）＝logax（a>0，a≠1）.
再由f（2）＝1，可知loga2＝1，所以a＝2，即f（x）＝log2x.


【类题通法】对数式比较大小的三种类型和求解方法
（1）底数相同时，利用对数函数单调性比较大小.
（2）底数与真数均不相同时，借助中间值0或1比较大小.
（3）真数相同时，可利用换底公式换成同底对数式，再比较大小，但要注意对数值的正负.
2.解对数不等式
例 8 （1）解不等式：loga（2x-5）>loga（x-1）.
（2）已知log0.7（2x）
【类题通法】常见的对数不等式的三种类型及解法
（1）形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，那么需分a>1与0（2）形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解；
（3）形如logax>logbx的不等式，可利用图象求解.
五、对数型复合函数问题
1.对数型复合函数的单调性问题
例 9 （1）函数f（x）＝log2（x2+2x-3）的单调递增区间为（　）
A.（-1，+∞） B.（1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-3）
（2）已知函数f（x）＝log2（3-ax）在［0，1］上是减函数，则a的取值范围是（　）
A.（0，1） B.（1，3） C.（0，1）∪（1，3） D.（0，3）
D
B

【方法技巧】对数型复合函数的单调性的求解方法
对数型复合函数一般可分为两类：
一类是外层函数为对数函数，即y＝loga f（x）；另一类是内层函数为对数函数，即y＝f（logax）.
（1）对于y＝loga f（x）型的函数的单调性，有以下结论：函数y＝loga f（x）的单调性与函数u＝f（x）（f（x）>0）的单调性在a>1时相同，在0（2）研究y＝f（logax）型复合函数的单调性，一般用换元法，即令t＝logax，则只需研究t＝logax及y＝
f（t）的单调性即可.
2.对数型复合函数的值域与最值
例10 已知函数f（x）＝ln x+ln（a-x）的图象关于直线x＝1对称，则函数f（x）的值域为（　）
A.（0，2） B.［0，+∞） C.（-∞，2］ D.（-∞，0］
【方法技巧】（1）求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域（最值）时，一般是根据单调性求解，若需要换元，则需考虑新元的取值范围.
（2）对于形如y＝loga f（x）（a>0，a≠1）的复合函数，其值域的求解步骤如下：①求复合函数的定义域；②分解成y＝logau，u＝f（x）两个函数；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解即可.
D
【分析】 根据函数f（x）的图象关于直线x＝1对称可得f（1+x）＝f（1-x），由此可得a＝2，即f（x）＝ln x+ln（2-x），再结合函数的单调性和定义域求得值域.
【解析】∵ 函数f（x）＝ln x+ln（a-x）的图象关于直线x＝1对称，∴ f（1-x）＝f（1+x），
即ln（1-x）+ln（a-1+x）＝ln（1+x）+ln（a-1-x），∴ （1-x）（a-1+x）＝（1+x）（a-1-x），
整理得（a-2）x＝0，∴ a＝2，∴ f（x）＝ln x+ln（2-x），定义域为（0，2）.
又f（x）＝ln x+ln（2-x）＝ln（2x-x2），当0∴ 函数f（x）的值域为（-∞，0］.
3.对数型复合函数的奇偶性
例11 已知f（x）＝loga（1+x），g（x）＝loga（1- x）（a>0且a≠1）.
（1）求函数y＝f（x）-g（x）的定义域；
（2）判断函数y＝f（x）-g（x）的奇偶性.



随堂小测
B
　　　　
　　　　

A
　　　　
　　　　
B

　　　　
　　　　
ACD
BC
ABC

log2x

lg x
10. 已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）＝2x+1.
（1）求f（x），g（x）的解析式，并判断f（x）的单调性；
（2）已知m>0，且m≠1，不等式f（logm2）+f（-1）+2解：（1）由题可得f（-x）+g（-x）＝2-x+1，则-f（x）+g（x）＝2-x+1.又f（x）+g（x）＝2x+1，
所以f（x）＝2x-2-x，g（x）＝2x+2-x.
因为y＝2x在R上单调递增，y＝2-x在R上单调递减，所以函数f（x）在R上单调递增.
（2）f（logm2）+f（-1）+2因为函数f（x）单调递增，所以logm2<1＝logmm.
当0m，即0当m>1时，上式等价于22.
综上可知，m∈（0，1）∪（2，+∞）.
11. 设函数f（x）＝lg（ax-bx），其中a>0，b>0且a≠b.
（1）求f（x）的定义域；
（2）当a>1>b>0时，函数f（x）图象上是否存在不同两点，使过这两点的直线平行于x轴，并证明.

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