苏教版（2019）必修第一册7.3 三角函数的图象和性质-7.3.3 函数y＝Asin （ωx+φ）课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
第7章
7.3
三角函数的图象和性质
7.3.3 函数y＝Asin （ωx+φ）
学习目标
1.了解函数y＝Asin （ωx+φ）的物理意义，能画出函数y＝Asin （ωx+φ）的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.
2.能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y＝Asin （ωx+φ）的图象，并认识函数y＝sin x与y＝Asin （ωx+φ）的联系.
核心素养：直观想象、数学运算
新知学习
一　匀速圆周运动的数学模型
1匀速圆周运动的现实背景——筒车运动模型
假定在水流量稳定的情况下，筒车（如图）上的每一个盛水筒
都做匀速圆周运动，具有周期性，因而可以用三角函数模型刻
画它们的运动规律.
2与盛水筒运动相关的量
如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过t s后，盛水筒M从
点P0运动到点P.由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面
的高度H，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，
筒车的半径r，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置P0以及
所经过的时间t.
3与盛水筒运动相关的量之间的关系
如图7-3-18以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系.设t＝0时，盛水筒M位于点P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过t s后运动到点P（x，y）.于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωt+φ，并且有
y＝rsin（ωt+φ）.①
所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是
H＝rsin（ωt+φ）+h.②
函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律.由于h是常量，我们可以只研究函数①的性质.
学法指导 函数y＝Asin（ωx+φ）的研究思路
1.通过对筒车的研究，我们得到了形如y＝Asin（ωx+φ）（其中A>0，ω>0）的函数，显然，这个函数由参数
A，ω，φ确定.因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性
质，进而就可以把握盛水筒的运动规律.
2.函数y＝sin x就是函数y＝Asin（ωx +φ）在A＝1，ω＝1，φ＝0时的特殊情形.我们可借助函数y＝sin x的图象
与性质研究参数A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx+φ）的影响.
3.采用控制变量法依次研究φ，A，ω对函数y＝Asin（ωx+φ）的影响.
二　A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx+φ）图象的影响
1φ对函数y＝sin（x+φ）图象的影响
一般地，函数y＝sin（x+φ）的图象可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有的点向左（当φ>0时）或向右（当φ<0时）平移|φ|个单位长度而得到的.




D
提示
平移变换：“左加右减”：x→x+φ（φ> 0），图象向左平移，x→x+φ（φ<0）图象向右平移.
注：左（右）平移是对x本身而言的，若x的系数不是1，应先换算系数，再左（右）平移.
2 A（A>0且A≠1）对函数y＝Asin x图象的影响
一般地，函数y＝Asin x（A>0且A≠1）的图象，可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变）而得到的.




伸长
2





三　函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与y＝sin x图象间的关系
函数y＝sin x的图象变换到y＝Asin（ωx+φ）的图象的步骤及流程图









ωx+φ 0 π 2π
x
y＝sin（ωx+φ） 0 1 0 -1 0
y＝Asin（ωx+φ） 0 A 0 -A 0



【解】 列表如下：
x
0 π 2π
y 0 2 0 -2 0
描点、连线，并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象.
典例剖析


t π 2π
x
y 1 2 0 -2 0 1




【方法总结】对于函数y＝Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0，φ≠0，k≠0），其图象的基本变换有如下几种.
（1）纵向伸缩变换：由A的变化引起的，A>1时伸长，A<1时缩短.
（2）横向伸缩变换：由ω的变化引起的，ω>1时缩短，ω<1时伸长.
（3）横向平移变换：由φ的变化引起的，φ>0时左移，φ<0时右移.
（4）纵向平移变换：由k的变化引起的，k>0时上移，k<0时下移.


【方法总结】
若需变换的函数不同名，先化成同名函数，再进行变换.化成同名函数一般要利用诱导公式，而平移方向的
判断可依据“左加右减”的原则进行.
B
三、由三角函数的图象求函数解析式
1确定对称中心在x轴上的图象对应的解析式
例 4 如图所示，它是函数y＝Asin（ωx +φ）（A>0，ω>0，-π<φ<π）的图象，则该函数的解析式为　　 　　.







C




A
随堂小测
D
　　　　
D
A

ABD
ABC

　　　　
BC
AB

　　　　

谢 谢！