湖南省衡阳市第六中学2022-2023学年高二上学期学业水平考试数学模拟卷(五)（Word版含答案）

湖南省衡阳市第六中学2022—2023学年高二数学学考模拟卷(五)
(时间:80分钟　满分:100分)
一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求,不选、多选、错选均不给分)
1.设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},则M∩N=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{7,9} B.{5,7,9} C.{3,5,7,9} D.{1,3,5,7,9}
2.函数f(x)=lg(x-1)+的定义域为(　　)
A.{x|1C.{x|1≤x≤2} D.{x|x≤2}
3.3个数1,3,5的方差是(　　)
A. B. C.2 D.
4.计算:+lg 100-ln e3=(　　)
A.-7 B.-3 C.1 D.7
5.不等式(2-x)(2x-3)>0的解集是(　　)
A.(-∞,)∪(2,+∞) B.R
C.(,2) D.
6.tan 15°=(　　)
A.2- B.2+
C.3-2 D.3+2
7.已知(1-i)2z=3+2i,则z=(　　)
A.-1-i B.-1+i C.-+i D.--i
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=,A=75°,B=60°,则b=(　　　)
A. B.2 C.4 D.3
9.如图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图,若由直方图得到的众数、中位数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)分别为a,b,c,则(　　)
A.b>a>c B.a>b>c
C.>b D.>a
10.函数y=的图象大致是(　　)
11.已知p:<1,q:x2+(a-1)x-a>0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-2,-1] B.[-2,-1] C.[-3,1] D.[-2,+∞)
12.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题:齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,齐王获胜的概率是(　　)
A. B. C. D.
13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A. B. C. D.
14.函数y=3sin(3x+)的图象可看成y=3sin 3x的图象按如下平移变换而得到的(　　)
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
15.已知平面向量a=(1,m),b=(0,2),若b⊥(3a-mb),则实数m=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
16.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一,其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现,如图,一个“圆柱容球”的几何图形,即圆柱容器里放了一个球,该球与圆柱上下底面都相切,四周碰边,在该图中,球的体积是圆柱体积的,并且球的表面积也是圆柱表面积的,若圆柱的表面积是6π.现在向圆柱和球的缝隙里注水,则最多可以注入的水的体积为(　　)
A. B.
C.π D.
17.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　　)
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
18.如图,在三棱锥P-ABC中,PB=BC=a,PA=AC=b(aA.α+∠PCA+∠PCB>π,2α<∠PAC+∠PBC
B.α+∠PCA+∠PCB<π,2α<∠PAC+∠PBC
C.α+∠PCA+∠PCB>π,2α>∠PAC+∠PBC
D.α+∠PCA+∠PCB<π,2α>∠PAC+∠PBC
二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分)
19.已知f(x)=则f(-1)=　　　　　　　;若f(a)=1,则实数a的值为　　　　　　　.
20.已知向量a,b满足a⊥b,且|a|=2,|a-2b|=4,则|b|=　　　　　　　.
21.某市A,B,C三个区共有高中学生20 000人,其中A区高中学生7 000人,现采用分层随机抽样的方法从这三个区所有高中学生中抽取一个容量为600人的样本进行学习兴趣调查,则A区应抽取　　　　　　　　人.
22.已知OPQ是半径为1,圆心角为的扇形,C是扇形弧上的动点,四边形ABCD是扇形的内接矩形,则AB+2AD的最大值为　　　　　　　　　　.
三、解答题(本大题共3小题,共31分)
23.(本小题满分10分)已知函数f(x)=cos(2x-)-2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间.
24.(本小题满分10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C是边长为2的菱形,AB=,∠CBB1=60°,且∠ABB1=∠ABC.
(1)证明:AB⊥CB1;
(2)若二面角A-CB1-B的平面角为60°,求直线CA1与平面ACB1所成角的正弦值.
25.(本小题满分11分)已知函数f(x)=x2+ax+1,g(x)=x-1.
(1)若函数y=|g(x+m)|为偶函数,求实数m的值;
(2)存在实数x∈[,3],使得不等式f(x)≥g(x)成立,求实数a的取值范围;
(3)若方程|f(x)|=g(x)在(0,+∞)上有且仅有两个不相等的实根,求实数a的取值范围.
答案及部分解析
1.B　N=(,+∞),故M∩N={5,7,9},
故选B.
2.A　由题意使函数表达式有意义,即解得13.D　由题得3个数的平均数为3,所以s2=[(1-3)2+(3-3)2+(5-3)2]=.故选D.
4.C　原式=+lg 102-3ln e=2+2-3=1.
故选C.
5.C　原不等式可化为(x-2)(2x-3)<0,解得6.A　tan 15°=tan(45°-30°)==2-.
7.B　因为(1-i)2z=-2iz=3+2i,
有z==-1+i.
故选B.
8.A　在△ABC中,A=75°,B=60°,
故C=180°-A-B=45°,
由正弦定理可得,即,所以b=.故选A.
9.B　由频率分布直方图可知:众数a==75;
中位数应落在70~80区间内,则有0.01×10+0.015×10+0.015×10+0.03×(b-70)=0.5,解得b==73;
平均数c=0.01×10×+0.015×10×+0.015×10×+0.03×10×+0.025×10×+0.005×10×=71,所以a>b>c,故选B.
10.A　由函数定义域知2x-2≠0,即x≠1,排除B,C;当x<0时,y=<0,排除D.故选A.
11.A　不等式<1等价于-1<0,即<0,解得x>2或x<1,所以p为(-∞,1)∪(2,+∞).
不等式x2+(a-1)x-a>0可以化为(x-1)(x+a)>0,
当-a≤1时,解得x>1或x<-a,
即q为(-∞,-a)∪(1,+∞),此时a=-1;
当-a>1时,不等式的解集是(-∞,1)∪(-a,+∞),
此时-a<2,
即-2综上可知,a的取值范围为(-2,-1].
12.A　现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,基本事件总数n=3×3=9,齐王的马获胜包含的基本事件有m=6(种),∴齐王获胜的概率P=.
13.D　
如图,连接BC1,PC1,PB,因为AD1∥BC1,
所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角,
因为BB1⊥平面A1B1C1D1,所以BB1⊥PC1,又PC1⊥B1D1,BB1∩B1D1=B1,所以PC1⊥平面PBB1,所以PC1⊥PB.
设正方体棱长为2,则BC1=2,PC1=D1B1=,
sin∠PBC1=,所以∠PBC1=.
故选D.
14.A　y=3sin(3x+）=3sin 3（x+）,所以函数y=3sin（3x+）的图象可看成y=3sin 3x的图象向左平移个单位长度得到的.故A正确.
15.B　因为b⊥(3a-mb),所以b·(3a-mb)=0,即3a·b=mb2,又因为a=(1,m),b=(0,2),故3×2m=4m,解得m=0.故选B.
16.B　设球的半径为r,则由题意可得球的表面积为4πr2=×6π,
所以r=1,所以圆柱的底面半径为1,高为2,
所以最多可以注入的水的体积为π×12×2-π×13=.
故选B.
17.B　P(甲)=,P(乙)=,P(丙)=,
P(丁)=,
P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙),P(甲丁)==P(甲)P(丁),
P(乙丙)=≠P(乙)P(丙),P(丙丁)=0≠P(丁)P(丙),
故选B.
18.C　如图(1),取PC中点D,连接AD,BD,
由PB=BC=a,PA=AC易知BD⊥PC,AD⊥PC,
故可得PC⊥平面ABD,
作PM⊥AB于点M,由△ABP≌△ABC,可得CM⊥AB,
∴∠PMC=α,又PM=CM=h∠PAC+∠PBC,α+∠PCA+∠PCB>+∠PCA+∠PCB=+∠PCB++∠PCA=π,故选C.
19.　1+　因为f(x)=
所以f(-1)=4-1=,若f(a)=1,
则①当a≥0时,f(a)=a2-2a=1,解得a=1+或a=1-(舍);
②当a<0时,f(a)=4a=1,解得a=0(舍).综上,a=1+.
20.　∵a⊥b,∴a·b=0,∵|a-2b|=4,
∴(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=|a|2+4|b|2=16.
∵|a|=2,∴4+4|b|2=16.∴|b|=.
21.210　由题意知A区高中生在样本中的比例为,∴A区应抽取的人数是×600=210.
22.　设∠COP=α（0<α<）,
由题得AD=BC=OC×sin α=sin α,OB=OC×cos α=cos α,
tan∠DOA=,所以AO=AD=sin α,
则AB=OB-OA=cos α-sin α,
所以AB+2AD=cos α-sin α+2sin α
=(2-)sin α+cos α
=sin(α+φ)=()sin(α+φ),
得tan φ=2+,所以φ=,
所以当α=时,AB+2AD取得最大值.
23.解 (1)由题意,
函数f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin（2x+）,
所以f(x)的最小正周期为T==π.
(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
由x∈[0,π],得f(x)在[0,π]上的单调递增区间为[0,]∪[,π].
24.(1)证明 因为BC=BB1,∠ABB1=∠ABC,
所以△ABB1与△ABC全等,所以AC=AB1.
设CB1∩BC1=O,连接AO,BO,O为BC1中点,
又因为CB1⊥AO,CB1⊥BO,AO∩BO=O,
所以CB1⊥平面AOB,
所以AB⊥CB1.
(2)解 方法一:由(1)知,∠AOB为二面角A-CB1-B的平面角,所以∠AOB=60°,且AO=BO=AB=,
设AC1∩CA1=E,过点E作EF⊥AO于F,连接CF,
因为CB1⊥平面AOB,CB1 平面ACB1,所以平面ACB1⊥平面ABC1,交线为AO,
又因为EF⊥AO,所以EF⊥平面ACB1,
所以∠ECF为直线CA1与平面ACB1所成角,
EF=,CE=,
sin∠ECF=,
所以直线CA1与平面ACB1所成角的正弦值为.
方法二:由(1)知,∠AOB为二面角A-CB1-B的平面角,所以∠AOB=60°,且AO=BO=AB=,
过点C1作C1H⊥AO于H,
因为CB1⊥平面AOB,CB1 平面ACB1,
所以平面ACB1⊥平面ABC1,交线为AO,
又因为C1H⊥AO,所以C1H⊥平面ACB1,
C1H长度即为点A1到平面ACB1的距离,
C1H=,CA1=,
记θ为直线CA1与平面ACB1所成角,
sin θ=,
所以CA1与平面ACB1所成角的正弦值为.
25.解 (1)因为函数y=|g(x+m)|为偶函数,即函数y=|x+m-1|为偶函数,所以|x+m-1|=|-x+m-1|,
所以x+m-1=-x+m-1或x+m-1=-(-x+m-1),解得m=1,
所以实数m的值为1.
(2)f(x)≥g(x),即x2+ax+1≥x-1,则(a-1)x≥-x2-2,因为x∈[,3],
所以a-1≥=-(x+),
令h(x)=-(x+),
则h(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
设0当00,
所以h(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,
因为h(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,
所以h(x)在(-,0)上单调递增,在(-∞,-)上单调递减,
因为x∈[,3],所以h(x)在[]上单调递增,在(,3]上单调递减,而h()=-()=-,h(3)=-(3+)=->-,
所以a-1≥h(x)min=h()=-,得a≥-.
实数a的取值范围为[-,+∞).
(3)①当a≥0时,|f(x)|在(0,+∞)上单调递增,此时方程|f(x)|=g(x)没有根;
②当a<0,1-≥0,即-2≤a<0时,因为x2+ax+1=x-1有两个正根,
所以得-2≤a<1-2;
③当a<-2时,设方程x2+ax+1=0的两个根为x1,x2(x1综上,实数a的取值范围为(-∞,1-2).