（人教A版必修5）高中数学必修五课件：第三章《不等式章末归纳整合》

课件28张PPT。章 末 归 纳 整 合知识网络1．不等式的基本性质
不等式的性质是不等式理论的基础，在应用不等式性质进行论证时，要注意每一个性质的条件，不要盲目乱用或错用性质，特别是乘法性质容易用错，要在记忆基础上加强训练，提高应用的灵活性．
2．一元二次不等式的解法及其应用
要点归纳一元二次不等式的解集可以通过两种方法求解，第一种方法是结合该一元二次不等式所对应的二次函数图象给出，第二种方法是将原不等式转化求与它同解的一元一次不等式组的交集去解决．
第一种方法意在让我们通过函数图象了解一元二次不等式与相应的一元二次函数、一元二次方程的联系，充分注重数形结合，得出一般的一元二次不等式解集，它适用于任何一元二次不等式．对于这种方法一定要有深刻的认识与体会，要从图象上真正把握其内在的本质，自己找出不等式解所对应的区间．
(2)最大(小)值定理：两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值．
要通过自己的思考与尝试加深对均值不等式最大(小)值定理的正确理解，在使用均值不等式与最大(小)值定理求某些函数的最值时，要特别注意定理成立的条件是否具备，如均值不等式中的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可．
(3)利用基本不等式求实际问题中最值的一般步骤
①认真分析理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大值或最小值(有时还需要进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数，凑出“正数”、“定值”、“相等”三个条件)；
④给出问题的答案．
4．二元一次不等式(组)表示平面的区域与线性规划
(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线(画成虚线)．Ax＋By＋C≥0在平面直角坐标系中所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线(画成实线)．(2)确定二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中所表示的平面区域的判断方法：
由于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)来说，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线某一侧取一个特殊点(x0，y0)，以Ax0＋By0＋C的正负情况便可判断Ax＋By＋C>0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．
(3)二元一次不等式组表示的平面区域，就是这个不等式组的各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．
(4)解决线性规划问题最大的困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．主要障碍有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍及题目本身文字过长等因素，解题时要认真分析理解题意，能够抓住问题本质特征，要根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题，然后利用图解法求出最优解，作为突破这个难点的关键．对于寻找整点最优解的问题，还可以利用计算机辅助解决．
题型一　一元二次不等式的解法
解一元二次不等式一定要注意，二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系，二次函数图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程的根，二次函数图象在x轴上方，表示函数值大于0，这时x的范围就是不等式ax2＋bx＋c>0的解集；二次函数图象在x轴下方，表示函数值小于0，这时x的范围就是ax2＋bx＋c<0的解，解不等式是应该把二次函数图象画出来，用数形结合的思想方法解题．
要点整合【例1】 解不等式－1由①得x(x＋2)>0，所以x<－2或x>0；
由②得(x＋3)(x－1)≤0, 所以－3≤x≤1.
方法点评：(1)本例中端点值能否取到易搞错，“＝”号易漏掉．(2)利用转化思想及数轴可以准确地找出不等式的解集．
题型二　简单线性规划在实际问题中的应用
(1)解线性规划问题的关键步骤是画图，所以作图要尽可能地准确，图上操作尽可能的规范．(2)因为作图存在误差，若图上的最优点并不明显易辨，可求出可能是最优解的点的坐标，然后逐一检查、确定最优解．
在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
【例2】 某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A，B两种规格金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A，B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？
作直线l：2x＋3y＝0，把直线向右上方平移，
答：两种金属板各取5张时，用料面积最省．
方法点评：本题属于给定一项任务，问怎样统筹安排才能使完成这项任务的人力、物力资源量最小的题型．解答这类问题的方法是：根据题意列出不等式组(约束条件)，确定目标函数，然后由约束条件找出可行域，最后利用目标函数的平移，在可行域内求出使目标函数达到最值的点，从而求出问题的最优解．
题型三　基本不等式与最值
应用基本不等式求最大(小)值，关键在于“一正二定三相等”．也就是：(1)一正：各项必须为正．(2)二定：要求积的最大值，则其和必须是定值；要求和的最小值，则其积必须是定值．(3)三相等：必须验证等号是否成立．
【例3】 已知：3a2＋2b2＝5，试求：y＝(2a2＋1)(b2＋2)的最大值．
【例4】 某农场有一废弃的猪圈，留有一面旧墙长12 m，现准备在该地区重新建一个猪圈．平面图为矩形，面积为112 m2，预计：(1)修复1 m旧墙的费用是建造1 m新墙费用的25%，(2)拆去1 m旧墙用以改造建成1 m新墙的费用是建1 m新墙的50%，(3)为安装圈门，要在围墙的适当处留出1 m的空缺．试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小．
设建造1 m新墙需a元，则这里建造围墙的总造价
因此修复的旧墙约为11.3 m，拆除改建成新墙的旧墙约为0.7 m，这样建造的总造价最小．
方法点评：在使用极值定理求函数的最大或最小值时，要注意以下几点：①x，y都是正数；②积xy(或和x＋y)为定值；③x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足(积)(或和)为定值．