11.2与三角形有关的角
11.2.1
三角形的内角
第1课时三角形的内角（一）
课前预习
预习斯
如
课后作地
全面规升
1.三角形三个内角的和等于
1.下列说法正确的是
()
2.(1)(南宁)在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，
A.三角形的内角中最多有一个锐角
则∠C=
B.三角形的内角中最多有两个锐角
(2)在△ABC中，∠A=80°，则∠B+∠C
C,三角形的内角中最多有一个直角
D.三角形的内角都大于60
2.如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD
当堂训练
丸回基出
平分∠BAC,DE∥AB交AC于点E,则
知识点1三角形的内角和
∠ADE的大小是
()
A.45
B.54
C.40°
D.50
1.在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则
∠B的度数为
()
A.125°B.100°C.75
D.50°
2.已知三角形的三个内角的度数之比为2：3：4，
则这个三角形是
三角形.
(第2题图)
(第3题图)
知识点2_三角形内角和定理的应用
3.如图，AB∥CD,∠AEF=50°，CE交AB于点
3.如图，∠ACB=90°，DE过点C且DE∥AB
F,∠C=110°，则∠A=
若∠BCE=35°，则∠A=
4.(大庆)如图，已知在△ABC中，∠ABC,
∠ACB的平分线相交于点D.
(1)当∠A=60°，求∠BDC的度数；
35
(2)若不知∠A的度数，则∠BDC与∠A有怎
样的数量关系？
y
人45人0狐
(第3题图)
(第4題图)
4.如图，从A处观测铁塔顶部D处的仰角
∠CAD=45°，从B处观测铁塔顶部D处的仰
角∠CBD=60°，则∠ADB的度数为
5.如图，B处在A处的南偏西60°方向，C处在A
处的南偏东20°方向，C处在B处的正东方向.
求∠ACB的度数.
北
北
超越自我
5.
如图，将△ABC沿EF折叠，使点C落在点C
处，试探究∠1，∠2与∠C的数量关系，
第2课时三角形的内角（二）
课前预习
6.如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A,BD
预习新如
1,直角三角形可以用符号“
”表示，直角
是AC边上的高.求∠DBC的度数.
三角形ABC可以写成
2.直角三角形的两个锐角
3.有
的三角形是直角三角形.
当堂训练
巩固基础
知识点T真角三角形的性质
1.在一个直角三角形中，有一个锐角为60°，则另
一个锐角为
()
A.40°B.90°C.60°D.30°
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=30°，
则∠A=,∠B=
3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，
CD⊥AB于点D,则∠ACD
超越自我
■
知识点2直角三角形的判定
7.
如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠C>∠B,E为
4.具备下列条件的△ABC,不是直角三角形的是
AD延长线上一点，且EF⊥BC于点F.
(
(1)若∠B=40°，∠C=60°，试求∠DEF的
A.∠A+∠B=∠C
度数；
B∠A-∠B=∠C
(2)由(1)的解答过程，试探究∠DEF与∠B,
∠C的数量关系，并说明理由.
C∠A=∠B=2∠C
D.∠A=2(∠B+∠C)
课后作业V
全而找升
1.如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB,直尺与
OC垂直，则∠1等于
A.60°B.70
C.50°
D.40
3)
(第1题图)
(第2题图)
2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于
点D,DE⊥AC于点E,则图中与∠B相等的
角有个.
3.一个直角三角形两锐角的差是20°，则这两个
锐角的度数分别为
4.在△ABC中，∠A=60,∠B=号∠A,则
△ABC是
三角形
5.如图，已知∠AOD=30°，点C是射线OD上的
一个动点，在点C的运动过程中，△AOC恰好
是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为
6AABC中，由∠A
=180°知，
R
,(2)解：∠P与
∠D
∠B
12.2三角形全等的判定
参芳答案
903
1)在
理由如
4ns
∠4+2B
第1课时三角形全等的判定(
(SSS
0C2S90B72e二180-2B解C0C中：
十
∠2，.∠1=
D.:∠1∠2.∠3
前2相等边边边2全等之C
∠2=-
∠BAC=
-×80°=40°.，，∠FDE=∠1十∠B=40°十
11.3多边形及其内角和
第十一章三角形
40°=80.：EF⊥BC,∴.∠EFD=90°.∴∠DEF=90°-∠FDE
11.3.1多边形
11.1与三角形有关的线段
10°.(2)∠DEF与∠B,∠C的数量关系为∠DEF=(∠C
课前预习：1，首尾顺次
多边形2.不相邻对角线3.mm3到
E-A
AB=AC,.△ABE≌△ACD(SSS).∴.∠AEB=∠ADC.4.SSS
111.1
角形的边
4.相等相等
BE=CD.
课前预习：1.三角形2.等腰三角
三边都不相等的三角形
∠B).理由如下：∠1-∠2-7∠BAC-号(180°-∠B-∠C)
当堂训练：1.C2.D3.三角形24.95.206.A
5.20°6.证明：：BE=CF,BE+EC=CF+CE,即BC=EF.在
小王
7.(1)不正确，长方形(2)不正确，三角形(3)正确
当堂训练：1.C2.8△ABC,△EBC.△FBC.△DBC
△EBC和
.∠FDE=∠B+∠1=90+∠B-
-∠C.EF⊥BC,
课后作业：
△EBD FC3.G
2
4.0
.B5.E
15
等边
2B4,角形数等边致去
52.
△ABC和△DEF中，AC
,∴.△ABC≌△DEF(SSS.∴∠B
324
C-
89解：两条边长分别为9和
为x,则9
,∴./EFD=90°，∴，/DEF=90°-/FDE=90°
一7<
∠DEF..AB∥DE.
7。证明：在△ABE和△ACD中。
(9o+2∠B-∠C）=(∠C-∠B.
2从32多边形的内角和
AB=AC.
果前习：1
0
AE=AD,∴.△ABE≌△ACD(SSS)..∠1=∠BAE,∠2=
11.
当堂训练：1，D2.C3.124.B5.六6.十八7.9
课后作业：1.D2.C3.D4.C5.C6.C7.D8.5≤x<7.5
内角3.大于
课后作业：1，D2.C3.D4.B5.96.300
.240
9.0210.011.解：(1)6cm,6cm.
(2》5cm,5ch
12.解：(6-3)0，-4≥0且(6
在四边形
·60
+2
AR-CD
A+60°=360
多形的边意为
)设多边形
在△ABE和△CDF中，{BE=DF,∴，△ABE≌
2
∠C-70°.又：∠ABC是△DBE的外角，∠ABC-∠D+∠
≥3，且n为正整数)，则有1125°
A上=CF
1
.∠1=70°-25°=45°.8.证明：AE平分∠DAC,.∠DAE
180°.8.25△CDF(SS
或12
.AE/CE
2.又∠1+∠3=180
,∠2+∠4=180°
13.解：在△ABP中..AP十BP
AB.同理B卫
∠DAC.:∠DAC=∠B+∠C∠B=∠C.∠DAC=2∠B,即
内角和.
(2)由(1)可知少加的一个内角为(9-2)×180
-1125
BC.AP+PC>AC..2(PA+PB+PC)AB+BC+AC.PA
135°，所以少加的那个内角为135
课后作业：1.D
e.c
3.C4.13°5.①②③①
6.解：如图所示
PB+PC>(AB+AC+BC).
∠B=∠DAC.∴∠DAE=∠B..AE∥BC
第十一
整合与提高
考点专训：例1D例2解：(1)30
2)12,
11.1.2
三角形的高、中线与角平分线
9.解：这个零件不合格，如图，廷长CD交AB于点
E.则∠BDC
/B+∠1,0
C+
A
：不符
11.1.
角形的稳定性
e
课前预习：1，所在直线
角形
BDC=∠A+∠B+∠C=144°≠148°，故这个零
DCA -65
尚对
边甲
角形的中线
的角平分线
C角形的稳定性
DCA=18032
65°=83°85
7.(1)证明：：BF=CE,.BF十FC=FC十CE,即BC=EF.在
当
用开
,30
∴模板不符合规定，例4解：∠AEC=T0
AB=DE.
△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(SSS)
92
作业，1.B2.23.1cm24.135成45°5.四边形
例5
180°-∠BAC=140.:AE平分∠FAC,∠CAE=立∠FAC=
优生特训：，C2.D
3.B4.C
(2)解：AB∥DE,AC∥DF.理由如下
稳定性6.97.(1)ABCD(2)解：：SE=
AE·CD
70°.：.∠ACD=∠CAE+∠E=120
cm
能系为
DEF,ACB=DFE..ABDE,AC∥DE.
8,证明，AB
2∠BFD.证明如下：：BE是高：BEA二90.∠BFD=AFE
BAC=
∠DAE
DE·AB,AB-A
CD 5X3
6.解：(1)∠BOC=90°
2∠A.(2)∠BOC与∠A
公
-.8.解：(1)由S么x
的关系为∠BOC=∠A.理由如下：：B0平分
90°-∠1.：AD平分∠BAC,∴.∠1=号∠BAC=(180-∠ABC
C.
≌△
AB·AC=号BC·AD,得AD=AB,AC_6X8
4.8(cm).
∠C)=90°-
7(∠ABC+∠C)..∠BFD
90°
9.证明：(1)如图，连接AC,易证△ABC2△CDA,∠BAC
10
∠ABC,∠2∠ABC.CO平分∠ACD,
/DCA...AB∥CD.
(2)由(1)知.AB∥CD,.∠APC=∠DCP.
(2)片AE是中线，SAE=号5=
X7AB·AC=
90°-，（∠ABC+∠C=(∠ABC+∠C),即∠ABC+∠C
∴∠1=2∠ACD.∴∠1-∠2=2∠ACD-∠ABC.又'∠1=
+AE+CE·△ABE的周
2∠BFD.(2)当∠BAC为饨角时，∠BFD,∠ABC,∠C的关系仍
cm.
∠BOC+∠2，∠ACD=∠ABC+∠A,∠BOC=∠A.
成市.类似干(1)证明路
9.解：由S
=SD十Sm,得AB·BC=AD·CF
7解：(1)
∠C∠ADE-APE的外角
CDE
AED-
10证明：方法
接AD.AB0
-DR.AD-DA
1AD·BE=号AD·(CF+BE).:△ABC的面积不变，且点D
∠EDC=∠C+∠EDC,即1o5
ABO=
DCO
方法
:如图，连接BC
∠EDC=45°+∠EDC解得∠CDE=30.(2)∠CDE=令∠BAD.
AC-
DB
△DC
由点B运动到点C,AD的长度逐渐变大，BE十CF的值逐渐
∠ACB,即
减小，
DC
第十二章
全等三角形
ZDBC-ZDCB
11.2与三角形有关的角
是AB即的外角
12.1全等三角形
11.2.1三角形的内角
∠C+∠CDE.∠B=∠C.∠ADE
2ABD.的外Ac2C
课前预习：1，重合2，重合顶点对应边对应角3.对应边
课煎预：118o22802角彩的内角《-）
∠C+∠CDE,即45+x-∠CDE=45+∠CDE.·.∠CDE=2x
相等
.全等
11802100
当堂训练：1.D2.C3.C
4.②①5.C
EC∠DC90,于是∠BAc
4.15
5.解：由题意知EAB
即∠CDE=∠BAD.
∠BAE十∠EAC
.ACE
6.67.证明：CE
∠FDB.在△ACE和△FDB中，
D/AE.DBA
60
专题一
三角形的内角和外角
8.解：(1)：△ABD≌△ACD,
/B-
BAC=90°
ACE
FDB,∴.△ACE≌△FDB(SAS).AE=FB,
DBA
/B=
∠C=45.
(2)AD⊥BC.理由：：△ABD≌△ACD
4
3.180
4.60°
5.D6.C
7.90
8.1659
9.
课后作业CA
1.C2,25
+∠2
)1165
∠BDA
CDA.
BDA十
CDA=180,.∠BDA=∠CDA
8,解：CD∥AB,CD=AB.证明如下：，CE=BF,∴CE-EF=BF
3.60°
2∠A
4.解：(1)BD平
13.
高
(BE=CF.
EF,即CF=BE.在△AEB和△DC中，
分∠ABC,∠1=气∠ABC.:CD平分∠ACB
EF=BC.EF-CE-BC
BEA
∠CPD
1o.1i.1)证明：：CF平分DCE,∠DCE=90°，∠DCF
里后作业，1D
∠CAE5,在△oiD中.Zc解在
2.C3.B4.B
8求4
670
AEB≌△DFC(SAS).∴AB=CD.∠B
.CD∥AB.
∴∠2=，∠ACB.∴∠1+∠2=号（∠ABC
∠ECF=÷∠DCE=45°.又，∠BAC=45°，.∠BAC=∠DCF
△ACE中，∠BEA
课后作业：1.B2.B3.C
4.90°
5.ACE SAS6.证明：在
∠O+∠D=65+∠D,.'.∠C+∠D=70°.".'AOAD≌△OBC
∠ACB)=7(180°-∠A)=60°.∴.∠BDC
∴.CF∥AB.
(2)解：由三角形内角和定理，可得
DFC-
180
∴∠C=∠D.∠C=7X70=35°.8.解：△ABC≌△DBE
△AE和△CE中./
AED
=∠BEC.'.△ADE≌△BCE(SAS)
180
A
2/CFE.∴.∠1+∠2
BAC
/E
∠E
/RDE-5
/RDA-
360°-2（∠CEF+∠CFE)=360°-2(180°-∠C)=360°-360°+
B+E
BDA=5
2∠C=2∠C.
△ADE中，由内角和定理，得5x+5x+5.x+3x=180°，x=10
CD绕点C按顺时针方向旋转9O后得CE,∴CD
CE
DCE
ADB=
0·∠C
30
ADB
90
ACB
90..
FCE
第2课时三角形的内角（二）
ACD
CB-CF
课前预习：L.Rt△Rt△ABC2.互余3.两个角互余
即D的度数为
D解
BCe△EE(sAc2解：电L知△BCR
E△FCE
.60
(2)
△ABD满足
BD/
DC=90.
13正
先证△BAF
ABE=
…直角
5.60或
ABC-2x.在
∠BDA
/BD4=00
00
∠ACF.∴∠COB=∠CAB=9
BEICF RE-CE
A
(第18题图
(第19题图
∠BDE=180-∠BDA=90°..∠BDE=∠AEC.∴.BD∥CE.
(2)解：∠BOC=60°.
八年级数学·RJ·上册·125