12.3角的平分线的性质
第1课时
角的平分线的性质
课前预习
预习新知
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分
1,用尺规作角的平分线，是以
为依据构
∠BAC,DE⊥AB于点E,DE=3cm,BC=7cm,
则BD等于
()
造全等三角形，再利用全等三角形的
相等来得到角的平分线。
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
2.角的平分线上的点到角的两边的距离
3.几何命题的证明步骤：(1)明确命题中的
;(2)根据题意，画出
并用
表示已知和求证；(3)经过分析，
1
(第5题图)
(第6题图》
找出由已知推出要证的结论的途径，写出
6.
如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分
过程.
∠ABC,CD=3cm,则点D到AB的距离为
当堂训练
巩固址础
cm.
知识点1用尺规作已知角的平分线的方法
7.(广东)如图，点D是△ABC的边AB上一点，
1,作∠AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度
且∠DCA=∠A.
为半径作弧，与OA,OB分别相交于点C,D,
(I)作∠BDC的平分线DE,交BC于点E(尺
然后分别以点C,D为圆心，适当的长度为半
规作图，保留痕迹，不写作法)；
径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长
(2)在(1)的条件下，试判断DE与AC的位置
度为
关系.
A.大于2CD
B.等于2CD
C.小于2CD
D.以上都不对
2.画出下列已知角的平分线（用尺规作图，保留
作图痕迹，不写作法).
8.(襄阳)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,D
B
是BC的中点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于
(第2题图】
(第3題图)
点F,求证：∠B=∠C.
3.如图，点O是直线AB上的一点，请用尺规过
点O作AB的垂线，
知识点2角平分线的性质及应用证明
4.(怀化)如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥
OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论
错误的是
D B
A.PC-PD
B.∠CPO=∠DOP
C.∠CPO=∠DPOD.OC=OD
27
课后作业
全面规扑
9.如图，在△ABC中，两外角平分线交于点P,
1.如图，OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足
PM⊥AC交AC的延长线于点M.若PM=
分别为A,B,下列结论不一定成立的是()
6cm,则点P到AB的距离为
A.PA=PB
B.PO平分∠APB
10.如图，BD平分∠ABC,AB=BC,点P在BD
C.OA=OB
D.AB垂直平分OP
上，PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N.
求证：PM=PN.
(第1题图)
(第2题图)
2.(遂宁)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分
线，DE⊥AB于点E,S△Ac=7,DE=2,AB=
4,则AC的长是
(
A.3
B.4
C.6
D.5
3.三角形中，到三边距离相等的点是
A,三条高线的交点
超越自我
B.三条中线的交点
■■■■■昌■县■口
11.感知：如图①，AD平分∠BAC,∠B+∠C=
C.三条角平分线的交点
180°，∠B=90°，易知：DB=DC.
D.三边垂直平分线的交点
探究：如图②，AD平分∠BAC,∠ABD+
4.(湖州)如图，AB∥CD,BP和CP分别平分
∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.
∠ACD=180°，∠ABD<90°.求证：
DB=DC.
若AD=8,则点P到BC的距离是()
应用：如图③，在四边形ABDC中，∠B=
A.8
B.6
C.4
D.2
45°，∠C=135°，DB=DC,DE⊥AB,
且BE=a,则AB-AC=(用含
a的式子表示).
B
(第4题图)
(第5题图)
5.如图，AD是△BAC的角平分线，AB=5cm,
AC=3cm,则S△ABD:S△Acm=
6.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC,
CD平分∠ACB,DE⊥BC于点E.若BC=
15cm,则△DEB的周长是
下
(第6题图)
(第7题图)
7.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4,
连接BD,BD⊥CD,∠ABD=∠CBD.若P是
BC边上一动点，则DP长的最小值为
8.(吉林)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分
∠BAC交BC于点D,已知AB=10cm,
CD=3cm,则△ABD的面积为
(第8题图)
(第9题图》
28第3深时三角形全等的判定（三）(ASA,AAS
课前预习：L.夹边角边角ASA2.对边角角边AAS
AC=4cm,AP=BP=号AB=6(cm),则点P的运动时间是6÷1=
中，DEDE:∴R△BED≌R1△CFD(HL).∴∠B=∠C
第十二章整合与提高
.D2.A3.C4.C5.5:36.15
考点专训：例1100°例2A例3证明：略.例4D
当堂
C AB-AB
ABC
BD AAS
点8的
4÷2=2(s),故不能成立.综上所述，运动
4后
8
9.6
m
i证D3平分ABC.7:4∠ABD
74
例5解：Sm=子X2X4=4.
∠ACD
∠DCE.在△ABC和
专题
三角形全等的判定策略
AR=CR
∠CBD.在△ABD和△CBD中，{∠ABD=∠CBD,,△ABD≌
优生特训：1.A
2.0
.C4.D5.角的内部到角的两边的距
ADEC中.
ACB=∠DCE.∴.△ABC≌
∠DAM即∠2在人ABD和
证明：
BD=BD
相等的点在角的平分线
6.(2,4)或(4,
CA=CD.
△CBD(SAS)
ADB
∠CDB.
用
又PM LAD,PNLCD,.PM
A(
明如
案不唯一
△DEC(AAS).∴AB=DE.4.证明：：AC=BD,∴AC+CD
AANM中.
B..AABDAANM(SAS)B=ANM
证明
,作
BAF-
BE=∠CDF
∠A=∠B
AD-AM.
BD十CD,即AD=BC,在△AED和△BFC中，{AD=BC,
ACD=18o°
FCD=18o°，./B
FCD.在△DFG
DER
AB上截取AF=AD.连接EF,”AE平
ADE
/D4B.·/D4
FAE.在△DAE和
△
EDe△BFC(ASA.∴DE=CF,5.B6.C7,B
.D
和△DEB中，
/ECD=/B..·.ADECS2ADEB(AAS),·.DB
AD-AF
DE-DE.
爆后作业
△FAE中，
∠DAE=∠FAE,∴.△DAE≌
ADB-
《第1题图
(第2题图
AE-AE
∴.∠ADB=∠AEC=90°.在△ADB和△AEC中，{AD=AE
AC=AB
ACD-
A=A
2.证明：如图，连接AD,在△ACD和△ABD中，
△DFC和△DEB中
FCD-D
AFAE(SAS).
∠ADE=∠AFE.:'AD∥BC,∠ADE
∠C
B,∴△DFC≌△DEB(AAS)
180
∠AFE
∠EFB
∠C.BE平分
DC=DR
∠AB
∠EBC.在△BEF
和△BEC
中
.AADB≌AAEC(ASA).,,AB=AC.又，'AD=AE..BE=CD
AB-AC.
∴.△ACD≌△ABD(SSS).∠1=
∠2，，DEAB,DFAC
AD-AD
∴.DF=DE,CF=BE.在Rt△ADF和R1△ADE中，
4,证明：(1)在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌
∠F=90°.再证△ADF≌△ADE(AAS),.DE=DF
DF-DE
∠EBC,△BEF≌△BEC(AAS).BF=BC.AD
A
=AE.
4
BD
BEICADE CRAADECHL).AF-AE.AB-AC (AET
AB
13
理由如
.·D5AC
DAE即
%,
AB=CD,
AD=
EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，AF=CE}
,∠B=∠C.在△ACM和△ABN中，
CAM-/BAN
4.解：AB∥CD..∠ABO=∠CD0.:OD⊥CD.∠CDO=g0
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),,BF=DE.在△BFO和△DEO中，
BFO=/DE0
.△ACM≌△ABN(ASA).∴.∠M-∠N.
.解，(1)·/EAC
.∠ABO=90°，即OB⊥AB.:相邻两平行线间的距离相等，
ABO
/CDO.
=90∠ACF十∠BCD=90
·∠EAC
BCD.义·AC
∴.OD=OB.在△ABO与△CD0中
D.
∴.△ABO≌
角的平分线的
BOF
=∠DOE,∴.△BFO≌△DEO(AAS).∴OE=OF,(2)结
角的两边的距阁
0。点
边的
BF-DE.
(2)△ACE≌△CBD.∴.BD=CE=BC
证明
DF,∴∠ACB
2.3oEc=90.
BE
理由如下
-CF.
.AE
F
CF
EF
△CDOCASA).∴CD=AB=20m
4
ODB
)可得
E
/D
在△ODB和△OEC中】
/ODB=/OEC.
AC=6(cm).6.(1)证明：∠ACB=90
/DFE.在AABC和ADEF中.
ACB=∠DFE,.△ABC2
第十三章轴对称
DOB-/EOC..AODBSAOEC(AAS)..OD=OE.Y OD
AB=DE.
13.1
.∠1+∠2=90°.：AM⊥MN,BN⊥MN,
轴对称
∴∠M=∠N=90°.，∠2+∠3=90
ADEF(AAS)..BC=EF..BC
CE
=EF一CB,即BE=C
45:
13.1.1轴对称
∴.∠1=
AD是△AB
的中线，∴CD
BD.
∠3.在△ACM和△CBN中，
BE⊥AD,CF
N.PE
课前预习：1.直线互相重
称轴（成轴》对称2.一个图北
ED
BED
∠3
的平分线上
两个图形
对称点
全等
4.对称轴垂直平分线
B-60AB
2.D
7.3
7.M125698.2
MN-BN-AM.GMN-AM+BN.
1
CN.CM=BN.MN
/1+/3
RAC=60
(2)如图，(1)中的结论有变化，∠DFC
GCF
AD=BC
△FGC
(3)解：MN=AM-B
120°.同理可证△ABD≌△CAE,∠D
E
∠ABC=60
2解：由)知，DF=GF=BE,Sm
EBC=120.
EBC
AE+DF)·AD
8×4
克A
三角形会等的定（四）〔HI
∠E=120°.
第7题图》
(9题图
=16.10.解：如图所示，答案不唯一
前预习：一条直角边斜边、直
当堂训练：L.D2.C3.证明：：BE⊥ACCD⊥AB.∠CEB=
BECD.
∠BDC=90°.在Rt△CBE与Rt△BCD中，
.Rt△CBE≌
作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N.则Sms=号BF·DM
P
BC=CB,
Rt△BCD(HL.∴.
∠ABC
=∠ACB.4.(1)证明：在Rt△ACB和
CE·DN.又：SawE=SawF,BF·DM=CE·DN
13.1.2线段的垂直平分线的性质
R△BDA中，{BC
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL).
(2)20
CE=BF,DM=DN.AD平分∠BAC
第1
(第7题图)
梁时
线的性
与判定
B
第9题图)
:如图连接A先证人D
8.(1)①垂直
②BC=CD+CF
(2)解：CF⊥BC成立：BC
=CD-
后
D时
4.02
解：当D点移动到BC
证明
不产确精
平分∠1
00霸
是由
··AD的周长是14c
△CDF(HL)..BE
ADE
在4
BDE
和△CDF
中
AD-DC.
AC
14
又DE是BC
·Rn
A
AF
BAC
在△DAB与
DEB2DrC.
的垂直平
DC.:AD+DC=AD+BD=AB .ABAC=
8.证明：：AD,AF是两个纯角△ABC和△ABE的
△FAC中.{2BADP∠CAF,△DAB2AFAC(SAS.∠ABD
,△BDE≌△CDF(AAS).∴，DE=DF.
高../D=
/F=90°在RIAADC和RIAAFE
AR=AC
BD=CD.
5.D
7.D&证明.·AB=AC,·.占A在BC的垂直平分线
中，AD=AF
B.PAC分AC
B
∠ACF,DB=CF.,∠ACB=∠ABC=45°，.∠ABD=180°-45°
=OC,∴.点O也在BC的垂直平分线上.∴AO是BC的垂直平
,Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)..CD=EF.同理
分线.'.AOBC
(H).DB-FB.DB
35
ACB=
ABD-∠ACB=90,.CP
CD=FB-EF,即
(2证明：如图，连接AP.CP平
后作业：1.D
2.A
3.A4.100或20
5.40
6.010
DE
BC.DB
CF..CD
9.1》证明：由
DE ED
点B
1
AD垂直平
果后作业：l.C2
2解：1长AD,在
在
E的
BA,PD⊥AC,AP平分∠HAC.∴点P在∠HAC的平分线上
上.A
C+CD
ABC的周长
∠CBF=
∠ABE=9O,在Rt△ABE和R△CBF中】
22
ABCB:Rt△ABE≌R:△CBF(HL.(2)解：∠BAC
LAF-CE
12.3
角的平分线的性质
AD平分
2.DE AB.
DE
⊥AC,
∠ACB=180
∠BAC
第1课时角的
45°，∠ABC=90
ABC=
45
平分线的性质
平分ER
课前预习：1.SSS对应角2.相等3.已知和求证图形符号
,/AD=/AFD=0.在△AED和△AFD中，
EAB
BA
/AED=∠AFD
∠CAE
45
5,Rt△ABE
∠FCB
AD-AD.
FCB+∠ACB
当堂训练：1.A2.
4.E
图
第6题图
∴.△AED≌△AFD(AAS).∴AE=AF,DE=DF.∴点A,D都在线
第7题图
ADF(HL
7.(1)证明：如图，作ME⊥AD于点E.
/C=90,wM
DA.DM
段EF的垂直平分线上.AD垂直平分EF
PQB时.BP=AC=4
的甲
①当ACPA
5.B6.37.解(1)如图
(2)DE∥AC.证明
BAIMB-A
AP=AB-BP=12-4=8(cm),点P的运动时
8.证明：AD平分∠BACDEAB.DF
/1
间是4÷1=4(s),点Q的运动时间是8÷2=4(s),则
AC..DE-DF./BED
CFD=9
.,D是
BAD-
∠+∠3)90，pDA21+
∠3
当运动4s时，两个三角形全等；②当△CPA≌△QPB时，BQ
BC的中点，BD=CD.在Rt△BED和R1△CFD
g0./DMA=180
(3)解.CD+AB=AD.
八年级数学·RJ·上册·126
