第十三章
轴对称
13.1
轴对称
13.1.1
轴对称
课前预习
须习新知
知识点2轴对称的性质
1.如果一个平面图形沿一条
折叠，直线两
4.七巧板是一种传统智力游戏，是中国古代劳动
旁的部分能够
,这个图形就叫做轴
人民的发明，用七巧板可拼出许多有趣的图
对称图形，这条直线就是它的
这时，我
形.如图，在这些用七巧板拼成的图形中，可以
们也说这个图形关于这条直线
看作轴对称图形的（不考虑拼接线）有()》
2.把
沿着某一条直线折叠，如果它
能够与另
重合，那么就说这
关于这条直线（成轴）对称，这条
格直名四
直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，
A.5个
B.4个
叫做
C.3个
D.2个
3.成轴对称的两个图形
5.(南充)如图，直线MN是四边形AMBN的对
4.
如果两个图形关于某条直线对称，那么
称轴，P是直线MN上的点，下列判断错误的
是任何一对对应点所连线段的
是
()
当堂训练
巩固丛础
A.AM=BM
B.AP=BN
知识点1轴对称图形和轴对称的概念
C.∠MAP=∠MBPD.∠ANM=∠BNM
1.(重庆)下列图形中是轴对称图形的是
(）
2.(青海)下列图形，对称轴的数量小于3的是
(第5题图)
(第6题图)
6,如图，直线m是多边形ABCDE的对称轴，其
中∠A=110°，∠B=130°，则∠BCD的度数是
7.如图，是一个风筝的图案，它是轴对称图形，已
3.下列说法错误的是
知∠B=30°，则∠E的大小为
A.关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B.轴对称图形至少有一条对称轴
C.两个全等三角形一定关于某条直线对称
D.角是关于它的平分线所在的直线对称的
图形
33
课后作业
7.一辆汽车的牌照在路面水面的倒影为
全面规升
1.下列图形中，对称轴最多的是
州cl,则该车的牌照号码是
A.等边三角形
B.正方形
8.如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使
C.正八边形
D.圆
点C与点C'重合，若AB=2,AD=3,则CD
2.(凉山)如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能
的长为
将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须
保证∠1的度数为
()
A.30°
B.45°
C.60
D.75
9.如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点
汽2
A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕.
(1)求证：△FGC≌△EBC;
(2)若AB=8,AD=4,求四边形ECGF(阴影
(第2题图)
(第3题图)
部分)的面积.
3.如图，已知∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，
分别作点P关于直线OA,OB的对称点P,,
P,连接OP,OP,OP2,则下列结论正确的是
()
A.OP1⊥OP2,OP≠OP
B.OP1=OP2,OP1与OP2不垂直
C.OP1≠OP2,OP与OP2不垂直
D.OP1⊥OP2,OP=OP2
4.下列说法正确的是
()
A.如果图形甲和图形乙关于直线MN对称，
则图形甲是轴对称图形
B.任何一个图形都有对称轴，有的图形不止
一条对称轴
C.平面上两个大小、形状完全一样的图形一
定关于某直线对称
D.如果△ABC和△EFG成轴对称，那么它
超越自我
们的面积一定相等
10.如图是由三个小正方形组成的图形，请你在
5.如图，在正三角形网格中，已有两个小正三角
图中补画一个小正方形，使补画后的图形为
形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一
轴对称图形.
个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有
种
:3
B
50
(第5题图)
(第6题图)
6.如图，△ABC和△A'BC关于直线1对称，则
∠B的度数是
34第3深时三角形全等的判定（三）(ASA,AAS
课前预习：L.夹边角边角ASA2.对边角角边AAS
AC=4cm,AP=BP=号AB=6(cm),则点P的运动时间是6÷1=
中，DEDE:∴R△BED≌R1△CFD(HL).∴∠B=∠C
第十二章整合与提高
.D2.A3.C4.C5.5:36.15
考点专训：例1100°例2A例3证明：略.例4D
当堂
C AB-AB
ABC
BD AAS
点8的
4÷2=2(s),故不能成立.综上所述，运动
4后
8
9.6
m
i证D3平分ABC.7:4∠ABD
74
例5解：Sm=子X2X4=4.
∠ACD
∠DCE.在△ABC和
专题
三角形全等的判定策略
AR=CR
∠CBD.在△ABD和△CBD中，{∠ABD=∠CBD,,△ABD≌
优生特训：1.A
2.0
.C4.D5.角的内部到角的两边的距
ADEC中.
ACB=∠DCE.∴.△ABC≌
∠DAM即∠2在人ABD和
证明：
BD=BD
相等的点在角的平分线
6.(2,4)或(4,
CA=CD.
△CBD(SAS)
ADB
∠CDB.
用
又PM LAD,PNLCD,.PM
A(
明如
案不唯一
△DEC(AAS).∴AB=DE.4.证明：：AC=BD,∴AC+CD
AANM中.
B..AABDAANM(SAS)B=ANM
证明
,作
BAF-
BE=∠CDF
∠A=∠B
AD-AM.
BD十CD,即AD=BC,在△AED和△BFC中，{AD=BC,
ACD=18o°
FCD=18o°，./B
FCD.在△DFG
DER
AB上截取AF=AD.连接EF,”AE平
ADE
/D4B.·/D4
FAE.在△DAE和
△
EDe△BFC(ASA.∴DE=CF,5.B6.C7,B
.D
和△DEB中，
/ECD=/B..·.ADECS2ADEB(AAS),·.DB
AD-AF
DE-DE.
爆后作业
△FAE中，
∠DAE=∠FAE,∴.△DAE≌
ADB-
《第1题图
(第2题图
AE-AE
∴.∠ADB=∠AEC=90°.在△ADB和△AEC中，{AD=AE
AC=AB
ACD-
A=A
2.证明：如图，连接AD,在△ACD和△ABD中，
△DFC和△DEB中
FCD-D
AFAE(SAS).
∠ADE=∠AFE.:'AD∥BC,∠ADE
∠C
B,∴△DFC≌△DEB(AAS)
180
∠AFE
∠EFB
∠C.BE平分
DC=DR
∠AB
∠EBC.在△BEF
和△BEC
中
.AADB≌AAEC(ASA).,,AB=AC.又，'AD=AE..BE=CD
AB-AC.
∴.△ACD≌△ABD(SSS).∠1=
∠2，，DEAB,DFAC
AD-AD
∴.DF=DE,CF=BE.在Rt△ADF和R1△ADE中，
4,证明：(1)在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌
∠F=90°.再证△ADF≌△ADE(AAS),.DE=DF
DF-DE
∠EBC,△BEF≌△BEC(AAS).BF=BC.AD
A
=AE.
4
BD
BEICADE CRAADECHL).AF-AE.AB-AC (AET
AB
13
理由如
.·D5AC
DAE即
%,
AB=CD,
AD=
EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，AF=CE}
,∠B=∠C.在△ACM和△ABN中，
CAM-/BAN
4.解：AB∥CD..∠ABO=∠CD0.:OD⊥CD.∠CDO=g0
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),,BF=DE.在△BFO和△DEO中，
BFO=/DE0
.△ACM≌△ABN(ASA).∴.∠M-∠N.
.解，(1)·/EAC
.∠ABO=90°，即OB⊥AB.:相邻两平行线间的距离相等，
ABO
/CDO.
=90∠ACF十∠BCD=90
·∠EAC
BCD.义·AC
∴.OD=OB.在△ABO与△CD0中
D.
∴.△ABO≌
角的平分线的
BOF
=∠DOE,∴.△BFO≌△DEO(AAS).∴OE=OF,(2)结
角的两边的距阁
0。点
边的
BF-DE.
(2)△ACE≌△CBD.∴.BD=CE=BC
证明
DF,∴∠ACB
2.3oEc=90.
BE
理由如下
-CF.
.AE
F
CF
EF
△CDOCASA).∴CD=AB=20m
4
ODB
)可得
E
/D
在△ODB和△OEC中】
/ODB=/OEC.
AC=6(cm).6.(1)证明：∠ACB=90
/DFE.在AABC和ADEF中.
ACB=∠DFE,.△ABC2
第十三章轴对称
DOB-/EOC..AODBSAOEC(AAS)..OD=OE.Y OD
AB=DE.
13.1
.∠1+∠2=90°.：AM⊥MN,BN⊥MN,
轴对称
∴∠M=∠N=90°.，∠2+∠3=90
ADEF(AAS)..BC=EF..BC
CE
=EF一CB,即BE=C
45:
13.1.1轴对称
∴.∠1=
AD是△AB
的中线，∴CD
BD.
∠3.在△ACM和△CBN中，
BE⊥AD,CF
N.PE
课前预习：1.直线互相重
称轴（成轴》对称2.一个图北
ED
BED
∠3
的平分线上
两个图形
对称点
全等
4.对称轴垂直平分线
B-60AB
2.D
7.3
7.M125698.2
MN-BN-AM.GMN-AM+BN.
1
CN.CM=BN.MN
/1+/3
RAC=60
(2)如图，(1)中的结论有变化，∠DFC
GCF
AD=BC
△FGC
(3)解：MN=AM-B
120°.同理可证△ABD≌△CAE,∠D
E
∠ABC=60
2解：由)知，DF=GF=BE,Sm
EBC=120.
EBC
AE+DF)·AD
8×4
克A
三角形会等的定（四）〔HI
∠E=120°.
第7题图》
(9题图
=16.10.解：如图所示，答案不唯一
前预习：一条直角边斜边、直
当堂训练：L.D2.C3.证明：：BE⊥ACCD⊥AB.∠CEB=
BECD.
∠BDC=90°.在Rt△CBE与Rt△BCD中，
.Rt△CBE≌
作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N.则Sms=号BF·DM
P
BC=CB,
Rt△BCD(HL.∴.
∠ABC
=∠ACB.4.(1)证明：在Rt△ACB和
CE·DN.又：SawE=SawF,BF·DM=CE·DN
13.1.2线段的垂直平分线的性质
R△BDA中，{BC
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL).
(2)20
CE=BF,DM=DN.AD平分∠BAC
第1
(第7题图)
梁时
线的性
与判定
B
第9题图)
:如图连接A先证人D
8.(1)①垂直
②BC=CD+CF
(2)解：CF⊥BC成立：BC
=CD-
后
D时
4.02
解：当D点移动到BC
证明
不产确精
平分∠1
00霸
是由
··AD的周长是14c
△CDF(HL)..BE
ADE
在4
BDE
和△CDF
中
AD-DC.
AC
14
又DE是BC
·Rn
A
AF
BAC
在△DAB与
DEB2DrC.
的垂直平
DC.:AD+DC=AD+BD=AB .ABAC=
8.证明：：AD,AF是两个纯角△ABC和△ABE的
△FAC中.{2BADP∠CAF,△DAB2AFAC(SAS.∠ABD
,△BDE≌△CDF(AAS).∴，DE=DF.
高../D=
/F=90°在RIAADC和RIAAFE
AR=AC
BD=CD.
5.D
7.D&证明.·AB=AC,·.占A在BC的垂直平分线
中，AD=AF
B.PAC分AC
B
∠ACF,DB=CF.,∠ACB=∠ABC=45°，.∠ABD=180°-45°
=OC,∴.点O也在BC的垂直平分线上.∴AO是BC的垂直平
,Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)..CD=EF.同理
分线.'.AOBC
(H).DB-FB.DB
35
ACB=
ABD-∠ACB=90,.CP
CD=FB-EF,即
(2证明：如图，连接AP.CP平
后作业：1.D
2.A
3.A4.100或20
5.40
6.010
DE
BC.DB
CF..CD
9.1》证明：由
DE ED
点B
1
AD垂直平
果后作业：l.C2
2解：1长AD,在
在
E的
BA,PD⊥AC,AP平分∠HAC.∴点P在∠HAC的平分线上
上.A
C+CD
ABC的周长
∠CBF=
∠ABE=9O,在Rt△ABE和R△CBF中】
22
ABCB:Rt△ABE≌R:△CBF(HL.(2)解：∠BAC
LAF-CE
12.3
角的平分线的性质
AD平分
2.DE AB.
DE
⊥AC,
∠ACB=180
∠BAC
第1课时角的
45°，∠ABC=90
ABC=
45
平分线的性质
平分ER
课前预习：1.SSS对应角2.相等3.已知和求证图形符号
,/AD=/AFD=0.在△AED和△AFD中，
EAB
BA
/AED=∠AFD
∠CAE
45
5,Rt△ABE
∠FCB
AD-AD.
FCB+∠ACB
当堂训练：1.A2.
4.E
图
第6题图
∴.△AED≌△AFD(AAS).∴AE=AF,DE=DF.∴点A,D都在线
第7题图
ADF(HL
7.(1)证明：如图，作ME⊥AD于点E.
/C=90,wM
DA.DM
段EF的垂直平分线上.AD垂直平分EF
PQB时.BP=AC=4
的甲
①当ACPA
5.B6.37.解(1)如图
(2)DE∥AC.证明
BAIMB-A
AP=AB-BP=12-4=8(cm),点P的运动时
8.证明：AD平分∠BACDEAB.DF
/1
间是4÷1=4(s),点Q的运动时间是8÷2=4(s),则
AC..DE-DF./BED
CFD=9
.,D是
BAD-
∠+∠3)90，pDA21+
∠3
当运动4s时，两个三角形全等；②当△CPA≌△QPB时，BQ
BC的中点，BD=CD.在Rt△BED和R1△CFD
g0./DMA=180
(3)解.CD+AB=AD.
八年级数学·RJ·上册·126
