13.4课题学习
最短路径问题
课前预习
2.如图，点P关于OA,OB的对称点分别为C,
领习斯知
1.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，
D,连接CD交OA于点M,交OB于点N,若
CD=l8cm,则△PMN的周长为
最短.
3.如图，P,Q分别是△ABC的边AB,AC上的点，
2.如图，点A和点B分别位于直线！的两侧，在
在BC上求作一点R,使△PQR的周长最小.
直线l上找一点P,使PA十PB最小.
3
且
。坊
(第2题图)
(第3题图)
3.如图，点A和点B位于直线l的同侧，在直线
上求作一点P,使PA十PB最小.
当堂训练
4.如图，小河EF边有两个村庄A,B,要在河边
巩固基础
建一个自来水厂分别向A村与B村供水（两
知识点最短路径问题
村管道不存在共用部分).
1.如图，直线（是一条河，P,Q两地在河的同侧，
(1)若要使厂址到A,B两村的距离相等，则应
欲在1上的某点M处修建一个水泵站，向P,
选择在哪儿建厂？请画出图形，用点P,表
Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实
示厂址；
线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是
(2)若要使厂址到A,B两村的水管最短，则应
选择在哪儿建厂？请画出图形，用点P2表
示厂址
B
8
2.如图，四边形OABC为正方形，
点A,C分别在x轴，y轴的正半
轴上，点D在OA上，在OB上求
作一点P,使得PD十PA最小，D1
则可连接
A.AC
B.BD
C.CD
D.不确定
课后作业
全面提升
1,如图，已知点D,E分别是等边三角形ABC中
超越自我
BC,AB边的中点，AD=5,点F是AD边上的
5.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=
动点，则BF十EF的最小值为
()
∠D=90°，在BC,CD上分别找一点M,N,使
A.7.5
B.5
△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的
C.4
D.不能确定
度数为
(第1题图)
(第2题图)
48
专题四
证明线段相等的策略与方法归纳
类型1利用全等三角形的性质证明线段相等
类型2利用线段垂直平分线的性质与判定、角
1.如图，在△ABC中，点E,D分别在AB,BC边
平分线的性质证明线段相等
上，且BE=BD,∠BAD=∠BCE,AD交CE
3.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的
于点F.求证：EF=DF
垂直平分线MN交于点M,过点M作MD⊥
AB,ME⊥BC,垂足分别为D,E.
求证：AD=CE.
4.如图，D,E分别是AB,AC的中点，CD⊥AB
于点D,BE⊥AC于点E.求证：AB=AC.
2.(齐齐哈尔)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点
D,BD=AD,DG=DC,E,F分别是BG,AC
的中点.求证：DE=DF,DE⊥DF.
类型3利用等腰三角形的性质与判定证明线段
相等
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,
D为BC的中点，CE⊥AD于点E,BF∥AC
交CE的延长线于点F,
(1)求证：△ACD≌△CBF;
(2)连接DF,求证：AB垂直平分DF.
49A解：公浇高的直分b
ADD同理CE
7.解：如图所
课后作业：1.B
3.A
4.20
BC的长
AD-10.
D.ED-
,证明：D
180°-∠BAC=20(2)如图②，当△ABC中，AB=AC,∠BAC
证明，如图，连接PPC的长是的
0).B(5,0),C(5,2)
90时.CD⊥AB于点D.:∠ACD=50°，∠A=40°.AB=AC
(2)∠DAE=96°.
BC的垂直平分线.·点E在AD上
BE-CE.(2).AD L BC
∠B-∠ACB180
A-70,综上所述，△ABC各角度数分别
·/4=00
/1
=009··BB1A·/B=00
为140°，20°，20或40°，70°，70.
R△PNB中，{PPB“R△PMC≌R△PNB(IH)
AFE..∠2+∠C=90.∠1=∠2.在Rt△ABF中，∠BAC
:.BN=CM
45°，∴.∠ABF=45.∠BAC=∠ABF.∴AF=BF.在△AEF和
2
第2课时线段的垂直平分线的有关作图
1
ABCF中.
∠AFE
BEC=90AAEFABCF(AAS)
菊预习茶对应线对称铺直平分线两组两组对应点直线
AF-BF
g结
1)连接AA4'(2)作线段AA'的垂直平分
线，则直线即为所求
第7题图)
第8题图)
8.解：(1)如图所示，A(0,4),B(2,2
9,解：(1)当这一边是底边时如图①，AB=AC,AD⊥BC于点D且
(2》如图所
·如图是直
如图②所示
AD=BC.AB=AC,AD⊥BC.∴BD=CD=BC,∠ADB
为所求，
)都符合题意
·AD=RD=D.·./B=/C=
CD⊥AB于点D.在Rt△ACD中，CD=AB=2AC,∴∠DAC
(第3题图)
8,证明：如图，连接CD
30°.∴∠BAC=150°；②当顶角为锐角时如图③，在Rt△ACD中，
如图所可
ACBCDAB..∠CDB=9o.
(1)90°(2)
(3)7
(2)作线
/4D=45°
·./B=180
B力=459
CD=7AB=7AC,∴∠A=30°，综上所述，顶角的度数为90°或
/B=/BCD·.CD=BD+·EDI DE.·/EDF=/E刀C+
150°或30.
∠CDF=90°.又∠CDF+∠BDF=90,∴.∠EDC=∠BDF.
,,△ECD≌△FBD(ASA).,,DE=DF
13.3等腰三角形
13.3.2
等边三角形
13.3.1等腰三角
课前预习：1，三边都相等的三角
2.(1)
边都相等(2)三个内
等殷三角
性质
角都相等，且都等于60°3.(1)三个角都相等(2)有一个角是60
顶角
,料边的一
第3题图
3.D4.20
5.证明
3,解：1)作线段MN的垂直平分线m
AOB的平分线
底边上的高
线合<
c是边角
(第9题图)
6 C
GEF=
《第10题图)
10.解：如图，在△ABC中，AB=AC,AD=CD,设AD=CD-x.
的交点和AC,DE的延长线的交点作直线
是
76
8.证明：如图.连接AD.:AB=AC.BD
EFG=60
求作的直线
CD,∴，AD平分∠BAC.DE⊥AB,DF⊥AC
是等边三角形.6.(1)5cm(2)a(3)27.88.：：△ABC
BC=则AB=AC=2,根据题意可列任十名.或
..DE=
DF.在Rt△BED和Rt△CFD中，
为等边三角形，∴∠B=∠C=60.:AB=8,AD=2,∴.BD=AB-
x十y
=1
AA
B5:R△BED≌△CFD(HL
5解得任或(由三角形三边关系这种
AD=6.在RABDE中./BDE=90°一/B=30°...BE=
BD=3.
况都成立
边长
为1
,10.7或8.8.11
BED
ACFD.
∴，CE=BC-BE=5.在R△CFE中，∠CEF=90
13.4
课题学习最短路径问题
B
5.50°
6.69或
/C=30
C,BM=CM,在
∴CF=CE=5.∴AF=AC-FC=
3.
13.2画轴对称图形
C,∴，△BDM≌△CEM(SAS
课后作业D.2,D275n5.6
7.解：：△ABC
课前预习：1.垂线段2.
-
En-
60
+RD
第1课时画对称图形
RM-CM
∠APE
ABP
课前预习：.(1)形
(2)对称点〔3)垂直平分2.对称
.DM=ME 8AD=DE=EB.A=
ABC
当堂训练：1.B2.C
太小、
:BD=BC,∠4
/BAP,,∴./APE
ABP+CBE
/C.设/2=
/3=x./1
/
.B
对称点
∠1=2x.∠4=∠A+∠3..∠C=∠4=2+
60
-3x..AB=AC.
·△BDC是等腰三角形，且∠BD(
课后作
18 cm
3解：如图，作点
B
120°，∠BCD=∠DBC=30°，△ABC是边长
,连
果后作
.(1)120
(2)90
∴.∠ABC=∠C=3x.在△ABC中，∠A+
∠AB
=180°
3的等边三角形，.∠ABC=
BAC=
BCA
R
5.解：①△AB,O(公共边为OA).A(0
.2x十3x+3x=180°.∴8.x=180°，2x=45°，即∠A的度数为45
4).B1(-3,0),O(0,0)
②△AB,O(OA为公
60
共边A0:,B3,4
和
③(AB
点A,连接A'B,交EF于P:即为所求（图
0,0》
(SA
咯).
5140°
0B
0,B
,△BD
∠CDN
专题四证明线段相等的策略与方法归纳
4.0.4
(OB为公共边)△OBA,O(0
0).B(3.0).A(3,一4)等，答案不唯
6
DE
N中，DF
△ABD
第2课时用坐标表示轴对称
L.证明：在△ABD和△CBE中，∠B
BD-RE
11
的周长是
2.
t.y)
2.坐标
△CBE(AAS).AB=CB.AB-BE=CB-BD,即AE=CD.在
点M,N关于
AD
1-
=26
第8题图
(第9题图
ACD和△BCE是等边三角
∠BAD=∠BCE.
n-6o
COp-s0
x轴对称，
a十6=0.解得{8
《2),点M.N关
9.解：(1)点D在BC的中点时，DE=DF.证明：如图①，连接AD,
△AEF和△CDF中，
/1=2
AAEFS ACDECAAS)
ECR./DCA+/DCE=
ECB+∠DCE,即ACE=DCB.在
D上AB,D
AE-CD.
y轴对称，
/2a
十60解得{g
一b+2b
1.(4a+b)22
(2)CG=DE十DP.证明：如图公，连接AD.
AC-Dc
..EF=DF
△ACE与△DCB中，
ACE-/DCB.AACE ADCB.
1
-2,
1),B0
如图所
:S△=S+SeAB·CG=号AB·DE
+AC
CE=CB
DF.AB-AC...CG-DE+D
CDN
课时
腰三角形的判定
ep2南a2CEP在
课前预器
边
∠CAM
=∠CDN,
5
△ACM与△DCN中，{AC
DC.
,,△ACM
∠OBD=
DB.
OB=OD
AOB
COD中
CM-
∠DCN
=60
△DCN
MC
McC∠DCA.MN A为等边三角形.
NC.
MC
2.证明
BC,∴.∠ADB
ADC=90°.在△ADC和△BDC
∠AOB=∠COD,∴△AOB≌△COD(SAS).∴.AB=CD.
MN∥AE
D-BD
专题三等腰三角形中的分类讨论思想
中
∠ADC=∠BDA,△ADC2△BDG(SAS)..BG=AC,
9.解：∠ACB=90°，∠B+∠BAC=90.°，CD LAB../CAD+
1.02A3D46.4成5.55.70.55°.55°成70°.70°.403
DC=DG.
∠ACD=90.∴∠ACD=∠B.:AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE=
6.错误7.70°或20°8.解：分两种情况：(1)如图①，当△ABC中
∠EAB.∠EAB+∠B
∠CEA,∠CAE+∠ACD
∠CFE
AB=AC,∠BAC>90°时，则∠ADC=90°.：∠ACD=50,
∠1=∠2.'E,F分别是BG,AC的中点.BE=BG,AF
∴∠CFE=∠CEF.∴.CF=CE∴，△CEF是等腰三角形.10.解：略.
∴∠BAC=∠ADC+∠ACD=140°.：AB=AC,.∠B=∠ACB
八年级数学·RJ·上册127
