第十一章
整合与提高
考点专训l
考点4三角形的外角
考点1三角形的三边关系
例4（常德）如图，在△ABC中，∠B=40°，
例1（大连）下列长度的三条线段能组成三角形
△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线相交
的是
(
于点E,求∠AEC的度数，
【点拨】要求∠AEC,根据三角形的
A.1,2,3
B.1,w2,3
内角和定理求出∠1十∠2即可.已
C.3,4,8
D.4,5,6
知AE,CE分别平分∠DAC,∠ACF
【点拨】根据三角形的三边关系，三角形两边的和
大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否
可知∠1十∠2=3（∠DAC十
大于第三边即可.
∠ACF),根据三角形的外角性质知∠DAC=
考点2三角形的三线（高、中线、角平分线）
∠B+∠ACB,∠ACF=∠B+∠BAC,故∠1+
例2如图，△ABC的边BC上的高为AF,中线
为AD,AC边上的高为BG.已知AF=6,BC=
∠2=（∠B+∠BAC+∠B+∠ACB)可求.
10.BG=5.
(1)求△ABC的面积：
(2)求AC的长；
(3)△ABD和△ACD的面积有何关系？
考点5多边形的内角和外角
例5（徐州）若正多边形的一个内角等于140°，
则这个正多边形的边数为
【点拨】由一个正多边形的每一个内角都为140°，
可知其一个外角为40°，由正多边形的每个外角
等于360
,求得.
优生特训
考点3三角形的内角和定理
1.下列说法中错误的是
(
例3如图，按规定，一块模板中AB,CD的延长线
A.一个三角形中至少有一个角不小于60
应相交成85°角.因交点不在模板上，不便测量，工人
B.三角形的中线不可能在三角形的外部
师傅连接AC,测得∠BAC=32°，∠DCA=65°，此
C.直角三角形只有一条高
时AB,CD的延长线相交所成的角是否符合规
D.三角形的中线把三角形的面积等分
定？为什么？
2.
如图，已知1∥12，∠A=40°，∠1=60°，则∠2
的度数为
()
A.40°B.60°
C.80°
D.100
(第2题图》
(第3題图)
3.如图，在△ABC中，D,E分别为BC,AD的中
点，且S△ABc=4,则S阴影为
(
A.2
B.1
C.
D.1
4
13
4.如图，∠CBD,∠ADE为△ABD的两个外角，
13.如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE
∠CBD=70°，∠ADE=149°，则∠A的度数是
平分∠ACB,CD⊥AB于点D,DF⊥CE.求
()
∠CDF的度数.
A.28°
B.31°
C.39°
D.42°
0
、149
H0”和
B
(第4题图)
〔第5题图)
5.如图，在四边形ABCD中，∠A十∠D=a,
∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于
点P,则∠P等于
()
A.90-20
B.90°+1
C.
D.360°-a
14.如图，在锐角△ABC中，AD是角平分线，BE
6.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固
为高，BE交AD于点F
定，这里所运用的几何原理是
()
(1)试判断∠ABC,∠C,∠BFD之间的等量
A.三角形的稳定性B.两点之间线段最短
关系，并证明；
C.两点确定一条直线D.垂线段最短
(2)若∠BAC是钝角，其他条件不变，(1)中
结论是否成立？若不成立，又有怎样的关
系？并证明.
(第6题图)
(第7题图)
7.(宜昌)如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，
如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四
种剪法中，符合要求的是
①
②
③
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
8.如图，CE平分∠ACD,F为CA延长线上一
点，FG∥CE交AB于点G,∠ACD=100°，
∠AGF=20°，则∠B的度数为
5
(第8题图)
(第9题图)
9.如图，正方形ABCD中截去∠A,∠C后，
∠1+∠2+∠3+∠4=
10.已知a,b,c是三角形的三边长，化简|a一b十c十
a-b-c=
11.(广东)等腰三角形的两边长分别为3cm,
7cm,则该三角形的周长为
12.十边形的外角和为
,如果十边形的
各个内角都相等，那么它的一个内角
为
14AABC中，由∠A
=180°知，
R
,(2)解：∠P与
∠D
∠B
12.2三角形全等的判定
参芳答案
903
1)在
理由如
4ns
∠4+2B
第1课时三角形全等的判定(
(SSS
0C2S90B72e二180-2B解C0C中：
十
∠2，.∠1=
D.:∠1∠2.∠3
前2相等边边边2全等之C
∠2=-
∠BAC=
-×80°=40°.，，∠FDE=∠1十∠B=40°十
11.3多边形及其内角和
第十一章三角形
40°=80.：EF⊥BC,∴.∠EFD=90°.∴∠DEF=90°-∠FDE
11.3.1多边形
11.1与三角形有关的线段
10°.(2)∠DEF与∠B,∠C的数量关系为∠DEF=(∠C
课前预习：1，首尾顺次
多边形2.不相邻对角线3.mm3到
E-A
AB=AC,.△ABE≌△ACD(SSS).∴.∠AEB=∠ADC.4.SSS
111.1
角形的边
4.相等相等
BE=CD.
课前预习：1.三角形2.等腰三角
三边都不相等的三角形
∠B).理由如下：∠1-∠2-7∠BAC-号(180°-∠B-∠C)
当堂训练：1.C2.D3.三角形24.95.206.A
5.20°6.证明：：BE=CF,BE+EC=CF+CE,即BC=EF.在
小王
7.(1)不正确，长方形(2)不正确，三角形(3)正确
当堂训练：1.C2.8△ABC,△EBC.△FBC.△DBC
△EBC和
.∠FDE=∠B+∠1=90+∠B-
-∠C.EF⊥BC,
课后作业：
△EBD FC3.G
2
4.0
.B5.E
15
等边
2B4,角形数等边致去
52.
△ABC和△DEF中，AC
,∴.△ABC≌△DEF(SSS.∴∠B
324
C-
89解：两条边长分别为9和
为x,则9
,∴./EFD=90°，∴，/DEF=90°-/FDE=90°
一7<
∠DEF..AB∥DE.
7。证明：在△ABE和△ACD中。
(9o+2∠B-∠C）=(∠C-∠B.
2从32多边形的内角和
AB=AC.
果前习：1
0
AE=AD,∴.△ABE≌△ACD(SSS)..∠1=∠BAE,∠2=
11.
当堂训练：1，D2.C3.124.B5.六6.十八7.9
课后作业：1.D2.C3.D4.C5.C6.C7.D8.5≤x<7.5
内角3.大于
课后作业：1，D2.C3.D4.B5.96.300
.240
9.0210.011.解：(1)6cm,6cm.
(2》5cm,5ch
12.解：(6-3)0，-4≥0且(6
在四边形
·60
+2
AR-CD
A+60°=360
多形的边意为
)设多边形
在△ABE和△CDF中，{BE=DF,∴，△ABE≌
2
∠C-70°.又：∠ABC是△DBE的外角，∠ABC-∠D+∠
≥3，且n为正整数)，则有1125°
A上=CF
1
.∠1=70°-25°=45°.8.证明：AE平分∠DAC,.∠DAE
180°.8.25△CDF(SS
或12
.AE/CE
2.又∠1+∠3=180
,∠2+∠4=180°
13.解：在△ABP中..AP十BP
AB.同理B卫
∠DAC.:∠DAC=∠B+∠C∠B=∠C.∠DAC=2∠B,即
内角和.
(2)由(1)可知少加的一个内角为(9-2)×180
-1125
BC.AP+PC>AC..2(PA+PB+PC)AB+BC+AC.PA
135°，所以少加的那个内角为135
课后作业：1.D
e.c
3.C4.13°5.①②③①
6.解：如图所示
PB+PC>(AB+AC+BC).
∠B=∠DAC.∴∠DAE=∠B..AE∥BC
第十一
整合与提高
考点专训：例1D例2解：(1)30
2)12,
11.1.2
三角形的高、中线与角平分线
9.解：这个零件不合格，如图，廷长CD交AB于点
E.则∠BDC
/B+∠1,0
C+
A
：不符
11.1.
角形的稳定性
e
课前预习：1，所在直线
角形
BDC=∠A+∠B+∠C=144°≠148°，故这个零
DCA -65
尚对
边甲
角形的中线
的角平分线
C角形的稳定性
DCA=18032
65°=83°85
7.(1)证明：：BF=CE,.BF十FC=FC十CE,即BC=EF.在
当
用开
,30
∴模板不符合规定，例4解：∠AEC=T0
AB=DE.
△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(SSS)
92
作业，1.B2.23.1cm24.135成45°5.四边形
例5
180°-∠BAC=140.:AE平分∠FAC,∠CAE=立∠FAC=
优生特训：，C2.D
3.B4.C
(2)解：AB∥DE,AC∥DF.理由如下
稳定性6.97.(1)ABCD(2)解：：SE=
AE·CD
70°.：.∠ACD=∠CAE+∠E=120
cm
能系为
DEF,ACB=DFE..ABDE,AC∥DE.
8,证明，AB
2∠BFD.证明如下：：BE是高：BEA二90.∠BFD=AFE
BAC=
∠DAE
DE·AB,AB-A
CD 5X3
6.解：(1)∠BOC=90°
2∠A.(2)∠BOC与∠A
公
-.8.解：(1)由S么x
的关系为∠BOC=∠A.理由如下：：B0平分
90°-∠1.：AD平分∠BAC,∴.∠1=号∠BAC=(180-∠ABC
C.
≌△
AB·AC=号BC·AD,得AD=AB,AC_6X8
4.8(cm).
∠C)=90°-
7(∠ABC+∠C)..∠BFD
90°
9.证明：(1)如图，连接AC,易证△ABC2△CDA,∠BAC
10
∠ABC,∠2∠ABC.CO平分∠ACD,
/DCA...AB∥CD.
(2)由(1)知.AB∥CD,.∠APC=∠DCP.
(2)片AE是中线，SAE=号5=
X7AB·AC=
90°-，（∠ABC+∠C=(∠ABC+∠C),即∠ABC+∠C
∴∠1=2∠ACD.∴∠1-∠2=2∠ACD-∠ABC.又'∠1=
+AE+CE·△ABE的周
2∠BFD.(2)当∠BAC为饨角时，∠BFD,∠ABC,∠C的关系仍
cm.
∠BOC+∠2，∠ACD=∠ABC+∠A,∠BOC=∠A.
成市.类似干(1)证明路
9.解：由S
=SD十Sm,得AB·BC=AD·CF
7解：(1)
∠C∠ADE-APE的外角
CDE
AED-
10证明：方法
接AD.AB0
-DR.AD-DA
1AD·BE=号AD·(CF+BE).:△ABC的面积不变，且点D
∠EDC=∠C+∠EDC,即1o5
ABO=
DCO
方法
:如图，连接BC
∠EDC=45°+∠EDC解得∠CDE=30.(2)∠CDE=令∠BAD.
AC-
DB
△DC
由点B运动到点C,AD的长度逐渐变大，BE十CF的值逐渐
∠ACB,即
减小，
DC
第十二章
全等三角形
ZDBC-ZDCB
11.2与三角形有关的角
是AB即的外角
12.1全等三角形
11.2.1三角形的内角
∠C+∠CDE.∠B=∠C.∠ADE
2ABD.的外Ac2C
课前预习：1，重合2，重合顶点对应边对应角3.对应边
课煎预：118o22802角彩的内角《-）
∠C+∠CDE,即45+x-∠CDE=45+∠CDE.·.∠CDE=2x
相等
.全等
11802100
当堂训练：1.D2.C3.C
4.②①5.C
EC∠DC90,于是∠BAc
4.15
5.解：由题意知EAB
即∠CDE=∠BAD.
∠BAE十∠EAC
.ACE
6.67.证明：CE
∠FDB.在△ACE和△FDB中，
D/AE.DBA
60
专题一
三角形的内角和外角
8.解：(1)：△ABD≌△ACD,
/B-
BAC=90°
ACE
FDB,∴.△ACE≌△FDB(SAS).AE=FB,
DBA
/B=
∠C=45.
(2)AD⊥BC.理由：：△ABD≌△ACD
4
3.180
4.60°
5.D6.C
7.90
8.1659
9.
课后作业CA
1.C2,25
+∠2
)1165
∠BDA
CDA.
BDA十
CDA=180,.∠BDA=∠CDA
8,解：CD∥AB,CD=AB.证明如下：，CE=BF,∴CE-EF=BF
3.60°
2∠A
4.解：(1)BD平
13.
高
(BE=CF.
EF,即CF=BE.在△AEB和△DC中，
分∠ABC,∠1=气∠ABC.:CD平分∠ACB
EF=BC.EF-CE-BC
BEA
∠CPD
1o.1i.1)证明：：CF平分DCE,∠DCE=90°，∠DCF
里后作业，1D
∠CAE5,在△oiD中.Zc解在
2.C3.B4.B
8求4
670
AEB≌△DFC(SAS).∴AB=CD.∠B
.CD∥AB.
∴∠2=，∠ACB.∴∠1+∠2=号（∠ABC
∠ECF=÷∠DCE=45°.又，∠BAC=45°，.∠BAC=∠DCF
△ACE中，∠BEA
课后作业：1.B2.B3.C
4.90°
5.ACE SAS6.证明：在
∠O+∠D=65+∠D,.'.∠C+∠D=70°.".'AOAD≌△OBC
∠ACB)=7(180°-∠A)=60°.∴.∠BDC
∴.CF∥AB.
(2)解：由三角形内角和定理，可得
DFC-
180
∴∠C=∠D.∠C=7X70=35°.8.解：△ABC≌△DBE
△AE和△CE中./
AED
=∠BEC.'.△ADE≌△BCE(SAS)
180
A
2/CFE.∴.∠1+∠2
BAC
/E
∠E
/RDE-5
/RDA-
360°-2（∠CEF+∠CFE)=360°-2(180°-∠C)=360°-360°+
B+E
BDA=5
2∠C=2∠C.
△ADE中，由内角和定理，得5x+5x+5.x+3x=180°，x=10
CD绕点C按顺时针方向旋转9O后得CE,∴CD
CE
DCE
ADB=
0·∠C
30
ADB
90
ACB
90..
FCE
第2课时三角形的内角（二）
ACD
CB-CF
课前预习：L.Rt△Rt△ABC2.互余3.两个角互余
即D的度数为
D解
BCe△EE(sAc2解：电L知△BCR
E△FCE
.60
(2)
△ABD满足
BD/
DC=90.
13正
先证△BAF
ABE=
…直角
5.60或
ABC-2x.在
∠BDA
/BD4=00
00
∠ACF.∴∠COB=∠CAB=9
BEICF RE-CE
A
(第18题图
(第19题图
∠BDE=180-∠BDA=90°..∠BDE=∠AEC.∴.BD∥CE.
(2)解：∠BOC=60°.
八年级数学·RJ·上册·125