高中数学必修第一册人教A版（2019）《5.5函数y＝asinx＋bcox的性质及应用》名师课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
两角和与差的三角公式
两角和与差的余弦公式
两角和与差的正切公式
差角：
和角：
两角和与差的正弦公式
和角：
差角：
和角：
差角：
复习引入
二倍角公式
二倍角的正切公式：
二倍角的正弦公式：
二倍角的余弦公式：
复习引入
简单的恒等变换公式
半角公式
积化和差公式
和差化积公式
复习引入
人教A版同步教材名师课件
函数的性质及应用
学习目标
目标与素养
1.通过两角和与差的正弦、余弦公式的变形，会把形如的三角函数转化成一个角的一个三角函数的形式，并能用来解决有关周期、最值等问题，达到逻辑推理和数学运算核心素养学业质量水平一的层次.
2.通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及对变换过程中体现出的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.
探究新知
观察思考下面一组恒等式，你能得出什么结论？
我们不难运用和从右至左去验证上述恒等式的正确性，上述恒等式实际上是逆用两角和、差的正弦公式，即将形式上是的三角函数式，通过逆用两角和、差的正弦公式写成的形式上述一组恒等式中的较为特殊，经过一定的配凑可以得到一些特殊角的函数值，那么对于一般的实系数是否也能转化为的形式呢？
对于形如的式子，如何化为的形式呢？
探究新知
.
首先，提常数：
再者，定角度，确定一个角：
令
则
最后，化简、逆用公式得：
，其中
角所在象限由的符号确定
探究新知
（其中），
（其中）.
辅角公式
例1、 求下列函数的周期，最大值和最小值：
；　　　 ．
典例讲解
便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是,利用和角公式将其展开，可化为） 的形式．反之，利用和（差）角公式，可将 转化为 的形式，进而就可以求得其周期和最值了．
思路分析
= 2
因此，所求周期为，最大值为，最小值为．
解析
例1、 求下列函数的周期，最大值和最小值：
；　　　 ．
典例讲解
便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是,利用和角公式将其展开，可化为） 的形式．反之，利用和（差）角公式，可将 转化为 的形式，进而就可以求得其周期和最值了．
思路分析
解析
设 ,
则=
．,于是　
所以=25.
取，则, ．
由可知，所求周期为2，最大值为，最小值为.
典例讲解
例2、已知函数.
（1）若的值；
（2）求函数的最小正周期及单调递增区间.
解析
（1）
典例讲解
例2、已知函数.
（1）若的值；
（2）求函数的最小正周期及单调递增区间.
解析
（2）
方法归纳
三角恒等变换与三角函数综合问题的求解步骤
（1）
（2）；
（3）逆用和（差）角公式得到
（其中为辅助角）；
（4）利用研究三角函数的性质.
变式训练
1.函数的最小正周期是_______，单调递减区间是_______.
解析
，
.
变式训练
2.已知函数.
（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最小值.
解析
（1）.
..
例3、某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．
连接OC，设∠COB＝θ，则，OC＝1.
因为AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，
所以S矩形ABCD＝AB·BC＝ (cosθ－sinθ)?sinθ
＝－sin2θ＋sinθcosθ＝－(1－cos2θ)＋sin2θ＝(sin2θ＋cos2θ)－＝cos(2θ－)－．
当2θ－＝0，即θ＝时，(S矩形ABCD)max＝(m2)．
所以割出的长方形桌面的最大面积为m2.
典例讲解
解析
三角函数的实际应用问题多与最值有关，解决这类问题的一般步骤如下：
(1)审读题意，合理地选取“角”为自变量，建立三角函数关系式．
(2)利用和、差、倍、半角公式进行化简整理，通常要整理为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．
(3)在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值.
方法归纳
3.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
连接OB，设∠AOB＝θ，则AB＝OBsinθ＝20sinθ，
OA＝OBcosθ＝20cosθ，且θ∈().
Smax＝400(m2)．此时AO＝DO＝10(m)．
因为A，D关于原点对称，所以AD＝2OA＝40cosθ.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cosθ·20sinθ＝400sin2θ.
因为θ∈()，所以当sin 2θ＝1，即θ＝时，
故当A、D距离圆心O为10m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
变式训练
解析
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设t＝sin x，化为二次函数y＝at2＋bt＋c在t∈[－1，1]上的最值求解．
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数，可通过引入辅助角φ(, )，化为y＝sin(x＋φ)＋c求解．
求解三角函数最值问题的常用方法
素养提炼
求解三角函数最值问题的常用方法
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为二次函数y＝±a(t2－1)＋bt＋c在t∈[－， ]上的最值求解．
(4)根据正、余弦函数的有界性，即可用分析法求最值．
(5)利用“数形结合”或单调性求最值．
素养提炼
当堂练习
1、已知
A、
2、若函数，则（ ）
A、函数的最小正周期为2π
B、函数的最大值为2
C 、函数的一个对称中心为
D 、函数在上是增函数
B
D
当堂练习
3、当函数取得最大值时，
4、当时，关于x的方程=0有解，则实数m的取值范围为
5、函数的最大值是_____________。
6、设函数的最小值为-2，则= _____________。
D
B
2
归纳小结
辅助角公式
公式的表示
公式的应用
研究三角函数的性质
用三角解决几何中的问题
作 业
课本P229页：11、12
课本P230页：16、17