高中数学必修第一册人教A版（2019）《5.5利用公式进行简单的恒等变换》名师课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
两角和与差的三角公式
两角和与差的余弦公式
两角和与差的正切公式
差角：
和角：
两角和与差的正弦公式
和角：
差角：
和角：
差角：
复习引入
二倍角公式
二倍角的正切公式：
二倍角的正弦公式：
二倍角的余弦公式：
复习引入
人教A版同步教材名师课件
利用公式进行简单的恒等变换
学习目标
学 习 目 标 核心素养
理解并掌握半角公式，了解积化和差公式、和差化积公式 数学抽象
理解倍、半角的辩证关系，能运用这些公式进行三角函数的求值、化简、证明等 逻辑推理
学习目标
课程目标
1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．
3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用．
数学学科素养
1.逻辑推理： 三角恒等式的证明；
2.数据分析：三角函数式的化简；
3.数学运算：三角函数式的求值.
由公式：
（降幂公式）
（升幂公式）
得
探究新知
问题1： 用 表示
分析：
与
有什么关系？
是
的二倍角.
由余弦倍角公式得：
又
探究新知
问题2： 求证:
证明：
分析：等式
两边的角有何关系？应该选择什么公式？等式两边三角函数的名称有何不同，证明等式的常见思路是什么？请同学们尝试证明.
∵
∴ 原等式成立
提问：
若从等式左边出发，证明
左边等于右边，如何证明？
探究新知
半角公式：
注意：每一个确定的半角的三角函数值唯一确定，应根据角的象限定符号！半角公式是用角的余弦表示半角的三角函数，由以上两例，请同学们思考三角变换与代数变换有什么不同？
探究新知
问题3：求证：
.
分析：第一个等式，先看角，左边为的正弦和余弦，右边为的
正弦，若从右边开始，可用和差角正弦公式展开证明.
证明：
（1）因为
探究新知
将以上两式的左右两边相加，得
即
问题3：求证：
.
分析：第一个等式，先看角，左边为的正弦和余弦，右边为的
正弦，若从右边开始，可用和差角正弦公式展开证明.
证明：
探究新知
由（1）得
设
①
那么
把的值代入①，即得
]
探究新知
和差化积公式
积化和差公式
典例讲解
例1、已知
解析
.
本题可由求得，再利用半角公式求值.注意首先要确定的取值范围.
思路分析
方法归纳
应用半角公式求值的一般步骤
变式训练
_______.
解析
，
典例讲解
例2、化简：；
.
解析
.
（1）结合积化和差公式化简.
（2）将分子、分母重新组合后用和差化积公式进行化简.
思路分析
方法归纳
化简问题中的“三变”
（1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式；
（2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统函数的名称，如统一为弦或统一为切；
（3）变式：观察式子在结构形式上的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等.
方法归纳
化简的最后结果应满足以下几点
（1）能求值的都求值；
（2）使三角函数名称尽量少；
（3）使项数尽量少；
（4）使次数尽量低
（5）分母和根号内尽量不含三角函数
变式训练
2、化简下列各式
；（.
解析
典例讲解
例3、（1）求值：
（2）已知为钝角， 为锐角，且
解析
典例讲解
例3、（1）求值：
（2）已知为钝角， 为锐角，且
解析
（2）因为为钝角， 为锐角，
.
，
.
方法归纳
三角函数式求值问题的解题思路
（1）“给角求值”问题一般给出的角都是非特殊角，从表面看求解较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有着一定的关系，如两角的和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式.
（2）“给值求值”问题，即给出某些角的三角函数值，求另外一些三角函数的值，解决这类求值问题的关键是结合条件和结论中的角，合理拆、凑角当然在这个过程中要注意各角的范围，或根据问题的具体特点，从变换已知条件和被求式的角度入手，进行双向变换，实现角度的统一，然后利用代入法将已知条件代入被求式，从而达到求值的目的.
变式训练
3、求值：
；
解析
变式训练
3、求值：
；
解析
变式训练
3、求值：
解析
常用的三角恒等变换思想方法
(1)常值代换
用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式，化简得以顺利进行．我们把这种代换称为常值代换．
(2)切化弦
当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基本三角函数关系式tanα＝，将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称．
素养提炼
(3)降幂与升幂
由C2α变形后得到公式：sin2α＝(1－cos2α)，cos2α＝(1＋cos2α)，运用它就是降幂．反过来，直接运用倍角公式或变形公式1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，就是升幂．
(4)角的变换
角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α等．
素养提炼
常用的三角恒等变换思想方法
当堂练习
1、已知等于（ ）
2、设则有（ ）
3、利用积化和差公式化简的结果为（ ）
A
C
当堂练习
4、 等于（ ）
5、把化为积的形式，其结果为________________.
6、设则a、b、c的大小关系是_____________.
B
归纳小结
简单的恒等变换公式
半角公式
积化和差公式
和差化积公式
作 业
课本P226页：1、2、3
课本P229页：8、9