高中数学必修第一册人教A版（2019）《5.5两角差的余弦公式》名师课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
不用计算器,求的值.
1. 15 °能否写成两个特殊角的和或差的形式
2. 成立吗
3. 能否用和的角的三角函数来表示
4. 如果能,那么一般地cos(α-β)能否用α 、β的角的三角函数来表示
复习引入
会是吗
人教A版同步教材名师课件
两角差的余弦公式
学习目标
学 习 目 标 核心素养
了解两角差的余弦公式的推导和证明过程 逻辑推理
掌握两角差的余弦公式并能利用公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明 逻辑推理
数学运算
学习目标
1.结合实例,经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义,达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.
2.理解两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用,达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.
3.能够针对运算问题,合理地运用两角差的余弦公式进行运算,解决实际问题,达到数学运算核心素养学业质量水平二的层次.
4.经历用两点间距离公式推导两角差的余弦公式的过程,并通过简单运用,使学生初步理解公式的结构及其功能,为建立其他和(差)公式打好基础,并提升学生的逻辑推理素养.
5.经历对两角差的余弦公式的实际计算过程,掌握公式的使用方法,强化数学运算素养.
如何用任意角与的正弦、余弦来表示？
探究新知
不妨令kπ＋β,． 如图,设单位圆与轴的正半轴相交于点以轴非负半轴为始边作角它们的终边分别与单位圆相交于,．
连接,．若把扇形,绕着点旋转角,则点分别与点 重合．根据圆的旋转对称性可知,与重合,从而, 所以＝
任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合,这一性质叫做圆的旋转对称性．
根据两点间的距离公式,得
+=+,
化简得:=+，
当kπ＋β (k∈Z)时,容易证明上式仍然成立．
所以,对于任意角有=+ (Ｃ(α－β))
此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系,
称为差角的余弦公式,简记作Ｃ(α－β).
探究新知
差角的余弦公式
对于任意角
注意：1.公式的结构特点；
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就可以求出cos(α－β)
探究新知
方法一:
方法二:
(1)
典例讲解
解析
例1、计算下列各式的值．
(1)
(2)
(3)
(2)
原式
.
典例讲解
解析
例1、计算下列各式的值．
(1)
(2)
(3)
(3)
cos 105°＋sin 105°
＝
＝＝.
典例讲解
解析
例1、计算下列各式的值．
(1)
(2)
(3)
两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．
方法归纳
变式训练
1、计算下列各式的值：
;
解析
因为α，β∈(0,)，所以0＜α＋β＜π，
由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝，
又sin α＝，所以cos α＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
典例讲解
例2、已知,求cos的值.
解析
变式训练
若把本例中的“α，β∈ (0,)”改为“α，β∈ ()”，求cos β的值．
因为α，β∈ ()，所以π ＜α＋β＜2π，由cos(α＋β)＝－，
得sin(α＋β)＝－，又sin α＝，所以cos α＝－，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝ － .
给值求值问题的解题策略
方法归纳
2、
.
变式训练
解析
例3、已知α、β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
因为α、β均为锐角，
所以sin α＝ ，sin β＝ .
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝ × ＋ ×＝.
又sin α＜sin β，所以0＜α＜β＜，
所以－＜α－β＜0.故α－β＝－.
典例讲解
解析
给值求角问题的一般步骤
(1)求角的某一个三角函数值．
(2)确定角的范围．
(3)根据角的范围写出所求的角．
方法归纳
由cos α＝，0＜α＜，得
由0＜β＜α＜ ，得0＜α－β＜ .
又cos(α－β)＝，
变式训练
3.已知，，求的值
.
由得
解析
素养提炼
(1)公式的结构特点：公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正，符号相反”记忆公式．
(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β.
(3)公式的“活”用：公式的运用要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：
①公式本身的变用，如cos(α－β)－cos αcos β＝sin αsin β.
②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos[(α＋β)－β]等．
对公式C(α－β)的三点说明
当堂练习
1、 等于（ ）
2、计算的值等于（ ）
3、若的值为（ ）
4、已知点是角终边上一点，则等于（ ）
5、
6、已知，则
C
A
A
归纳小结
两角差的余弦公式
注意角的变化：如等
正用：
逆用：
作 业
P217练习：2、4
P228习题5.5：1、2