高中数学必修第一册人教A版（2019）《5.5函数y＝asinx＋bcox的性质及应用》教学设计二

《函数的性质及应用》教学设计
教学设计
一、导入新课
观察思考下面一组恒等式，你能得出什么结论？
；
；
.
我们不难运用和从右至左去验证上述恒等式的正确性，上述恒等式实际上是逆用两角和、差的正弦公式，即将形式上是的三角函数式，通过逆用两角和、差的正弦公式写成的形式.上述一组恒等式中的，较为特殊，经过一定的配凑可以得到一些特殊角的函数值，那么对于一般的实系数，是否也能转化为的形式呢？
二、新知探究
思考1：化简的步骤有哪些？
提示：（1）提常数，提出，得到
.
（2）定角度，确定一个角满足：
，（或，）.
则得到（或）（一般为特殊角，如，等）.
（3）化简、逆用公式得，其中（或，其中）.
思考2：在上述化简过程中，如何确定所在的象限？
提示：所在的象限由和的符号确定.
结论：
辅助角公式：（其中），或
（其中）.
三、例题解析
例1 求下列函数的周期，最大值和最小值：
（1）；
（2）.
分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是，利用和角公式将其展开，可化为的形式.反之，利用和（差）角公式，可将转化为的形式，进而就可以求得其周期和最值了.
解：（1）
.
因此，所求周期为，最大值为2，最小值为-2.
（2）设，则
.
于是，，
于是，
所以.
取，则，.
由可知，所求周期为，最大值为5，最小值为-5.
归纳总结：一般地，（1）对于形如的函数，可以利用和（差）角公式将其转化为的形式；（2）对于形如的函数，可以利用二倍角公式及其变形公式，将函数转化为的形式，进而可化为的形式.经过变形后再研究函数性质，也就比较容易了.
练习：教材第228页练习第1题.
例2 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形.记，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.
分析：可先把矩形的各个边长用角表示出来，进而表示出矩形的面积；再利用角的范围，结合正弦函数的性质求矩形面积的最大值即可.
解：在中，，.
在中，.
所以，
.
设矩形的面积为，则
.
由，得，
所以当，即时，
.
因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为.
点评：本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的三角恒等变换公式进行化简.
练习：教材第228页练习第2题.
四、课堂小结
本节课主要学习了把形如的三角函数式化成的形式，进而求解周期与最值问题.在变换过程中，体现了换元、逆向使用公式等数学思想方法.
板书设计
第2课时 函数的性质及应用 一、导入新课 二、新知探究 辅助角公式 （其中）， 或，（其中） 三、例题解析 例1 练习 例2 练习 四、课堂小结
教学研讨
利用三角恒等变换解决生活中的实际问题时，首先要认真分析，善于设参，找出关系，建立数学模型，使难以入手的实际问题转化为较易的数学问题，并且要注意参数的取值范围.教学时要重点引导学生学会建立数学模型，并将其转化为数学问题.