高中数学必修第一册人教A版（2019）《5.5利用公式进行简单的恒等变换》教学设计二

《利用公式进行简单的恒等变换》教学设计
教学设计
一、导入新课
三角函数的化简、求值、证明都离不开三角恒等变换.学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活.
三角变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.它是一种立体的综合性变换，从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，这是三角恒等变换的一个重要特点.例如，在二倍角公式中是的二倍，是的二倍，那么能用的三角函数表示出来吗？反过来，你能用表示出，和吗？
二、新知探究
1.探究二倍角公式的变形.
思考1：我们知道倍角公式中，“倍角”是相对的，那么对二倍角的余弦公式，若用替换，用代替，结果怎样？
提示：.
思考2：根据上述结果，试用，表示，，.
提示：，，
同理，
.
思考3：利用和倍角公式又能得到与，怎样的关系？
提示：，
.
结论：
， ， .
2.探究和、差角公式的变形.
思考4：和、差角的正弦、余弦公式有哪些？它们进行和与差的运算会出现什么结果？
提示：（1）两角和与差的正弦公式：
；
.
（2）两角和与差的余弦公式：
；
.
将前两个公式、后两个公式的左右两边分别相加、减可以得到：
①；
②；
③；
④.
思考5：如果令，，则，，把，的值分别代入①②③④，你能得到什么结论？
提示：；
；
；
.
三、例题剖析
例1 试以表示，，.
想一想1：与有什么关系？
想一想2：二倍角的余弦公式是如何表示的？
想一想3：同角三角函数的商数关系如何？
解：是的二倍角.在倍角公式中，以代替，以代替，得，
所以.
在倍角公式中，以代替，以代替，得，
所以.
将上述两个式子左右两边分别相除，得
.
本例的结果还可以表示为：
，，
，
并称之为半角公式，符号由所在象限决定.
归纳总结：半角公式根号前的符号由所在象限决定，若没有给出限定符号的条件，则在根号前保留正、负号；若给出了角的具体范围（或某函数值的正、负情况），则先求出的范围，再确定符号.若给出了所在的象限，可根据下表判定符号：
第一象限 第一、三象限 +、- +、- +
第二象限 第一、三象限 +、- +、- +
第三象限 第二、四象限 +、- -、+ -
第四象限 第二、四象限 +、- -、+ -
练习：教材第226页练习第2题.
例2 求证：
（1）；
（2）.
想一想1：我们学过的两角和与差的公式中哪些包含呢？
想一想2：（1）式左边两个三角函数式体现乘积的形式，我们学过的和（差）角公式中有乘积的形式吗？
想一想3：（1）式与（2）式的左右两边在结构形式上有什么不同？
证明：（1）因为
，
，
将以上两式的左右两边分别相加，得
，
即.
（2）由（1）可得
.①
设，，
则，，
把，的值代入①，即得
.
归纳总结：例8的证明用到了换元的方法.如把看作，看作，从而把包含，的三角函数式转化为，的三角函数式.或者，把看作，看作，把等式看作，的方程，则原问题转化为解方程（组）求.它们都体现的化归思想.
练习：教材第226页练习第4，5题.
四、课堂小结
本节主要学习了怎样推导半角公式、积化和差公式与和差化积公式，以及如何利用已有的十一个公式进行简单的三角恒等变换.在解题过程中，应注意对三角函数式的结构形式进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行变形.还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等.
五、巩固提升
教材第229页习题5.5第8，9题.
板书设计
第1课时 利用公式进行简单的恒等变换 一、导入新课 二、新知探究 1.探究二倍角公式的变形 2.探究和、差角公式的变形 三、例题剖析 例1 半角公式： 例2 积化和差与和差化积公式 积化和差公式 和差化积公式： 四、课堂小结 五、巩固提升
教学研讨
教学时，注意以下问题：
1.三角变换，应注意三角函数种类和式子结构形式等特点的变化，分析透彻.找到它们之间的联系，即学会“三看”——“看角、看函数、看结构”，达到统一变形.
2.不同的视角切入点，会产生不同的三角变换过程，这也是三角变换的灵活性所在.对于三角函数式，可以从哪些视角切入，教师可从这方面入手，多引导学生观察分析、归纳，使学生熟练掌握分析的思路.