高中数学必修第一册人教A版（2019）《5.5利用公式进行简单的恒等变换》教学设计一（表格式）

《利用公式进行简单的恒等变换》教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
练习引入 已知，，求. 解：：， . ，， . 师：分析此题的已知和所求，是已知求. 请大家想一想，本题中已知和所求的三角函数式中的角有什么特点？ 生：已知角和所求角之间有2倍关系. 师：由这个思路，完成此题. 生：独立完成解题过程. 师：此题能求和吗？ 生：能. 通过具体引例，与所学习的公式进行比较，发现其共性，为下一步继续推导公式打下基础，做好准备工作.
探究新知 例1 试以表示，， . 解：是的二倍角. 在倍角公式中，以代替，以代替，即得，所以.① 在倍角公式中，以代替，以代替，即得 ，所以.② 将①②两个等式左右两边分别相除，得.③ 思考：代数变换与三角变换有什么不同？ 半角公式： ； ； . 例1的结果还可以表示为： ， ， ， 并称之为半角公式，符号由所在象限决定. 例2 求证： （1）； （2）. 思考：在例2证明中用到了哪些数学思想方法？ 积化和差公式： （1）； （2）； （3）； （4）. 和差化积公式： （1）； （2）； （3）； （4）. 师：（1）与有什么关系？ （2）怎样运用倍角公式解决？ 师提出问题，学生思考讨论. 生：两位同学到黑板上板演，其余同学在下面独立完成. 师引导学生观察①②③式，归纳总结如下： （1）用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数； （2）由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”（即用此式可达到“降次”的目的）. 引导学生通过这两种变换认识到：不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式.这是三角恒等变换的一个重要特点，代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换. 师：这两个等式的左右两边在结构形式上有何不同？ （1）如果从右边出发，利用和（差）角的正弦公式展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的教育功能，把两个三角函数式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考：哪些公式包含呢？想到.从方程角度看这个等式，，分别看成两个未知数，二元方程要得确定解，必须有两个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含的公式，列出，解相应的以和为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果. （2）由（1）得到以和的形式表示积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令，，则，，代入（1）式即得（2）式. 通过师生共同总结归纳半角公式的特点，使学生了解半角公式的结构特征，熟练掌握半角公式，以便在三角恒等变换中熟练应用.同时公式推导的过程有利于学生逻辑推理及数学运算核心素养的形成. 使学生经历例2中的两个等式的推导过程，体验换元、方程思想的应用，培养逻辑推理数学素养.
课堂小结 本节主要学习了怎样推导半角公式、积化和差、和差化积公式，以及如何利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三角函数式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形.还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，逆用公式等. 生：小组合作总结，选出代表表述. 师：根据多个小组的回答，进行适时补充，总结，升华. 调动学生的积极性，锻炼学生归纳总结及语言表达能力.
布置作业 1.教材第226页练习第1，2，3题. 2.选做题 教材第229页习题5.5第8，9题. 学生独立完成. 通过分层作业使学生巩固所学内容，并为有余力的学生提供进一步学习的机会.
板书设计
第1课时 利用公式进行简单 的恒等变换 一、练习引入 二、探究新知 1.半角公式的推导 例1 2.积化和差与和差化积公式 例2 积化和差公式 和差化积公式 三、课堂小结 四、布置作业