高中数学必修第一册人教A版（2019）《5.5两角差的余弦公式》教学设计二

《两角差的余弦公式》教学设计
教学设计
一、导入新课
我们在初中时就知道，，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？
根据我们在前面所学的知识可知我们的猜想是错误的！
下面我们就一起来探究两角差的余弦公式吧！
二、新知探究
1.公式的探究.
不妨令，，如图所示，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作角，，，它们的终边与单位圆分别相交于点，，.
问题1：你能根据三角函数的定义，写出点，，坐标吗？
提示：，，.
问题2：图中弦长吗？
提示：连接，，若把扇形绕着点旋转角，则点，分别与，重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以.
问题3：根据两点间距离公式你能得到吗？如何推导呢？
提示：可以.
根据两点间距离公式，得
，化简得.
问题4：当时，公式成立吗？
提示：成立.
结论：对于任意角，有.
此公式给出了任意角，的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记为.
2.公式的记忆.
公式右端为，的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反.
说明：
（1）公式中的，都是任意角.
（2）差角的余弦公式不能按分配律展开，即.
（3）要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦.
3.公式的变形.
（1）逆用：
.
说明：
公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到
.
（2）角变换后使用，如：
.
三、例题剖析
例1 利用公式证明：
（1）；
（2）.
想一想1：，，，，这四个数值你记住了吗？
想一想2：两角差的余弦公式是如何表示的？
想一想3：与都是两角差的形式，与公式中，是如何对应的？
证明：（1）
.
（2）
.
练习：教材第217页练习第1题.
归纳总结：前面我们已经学习了几组诱导公式，作为诱导公式里面出现的，，，等都是特殊的角，而对于两角差的余弦公式中的两个角是任意的，由此可以想到余弦的诱导公式可能是这一公式的特例，因而可以利用这一公式进行证明.
例2 已知，，，是第三象限角，求的值.
分析：需要先根据题设条件以及同角三角函数的基本关系式求出与的值，然后代入两角差的余弦公式即可.
解；因为，，由此得.又因为，是第三象限角，所以
.
所以.易错提醒：注意角，所在的象限，也就是符号问题.
变式思考：
（1）其他条件不变，如果是第二象限的角？结果如何？
（2）其他条件不变，本题中如果没有条件呢？结果如何？
四、课堂小结
本节课我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程.在解题过程中要注意角，所在的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.
五、巩固提升
1.教材第217页练习第2，3，4题.
2.教材第228页习题5.5第1，2题.
板书设计
第1课时 两角差的余弦公式 一、导入新课 二、新知探究 1.公式的探究 结论：对于任意角，有 2.公式的记忆 3.公式的变形 三、例题剖析 例1 例2 四、课堂小结 五、巩固提升
教学研讨
关于教材中的例2，在例题剖析中学生已经掌握了求解的基本步骤，然后又进行了两个变式思考，相信学生对于这种形式的题目在解决的过程中已经有了思路，还可引导学生继续思考关于题设条件变化的问题的解决方法，体现出分类讨论的思想，为后面的学习打下良好的基础.