高中数学必修第一册人教A版（2019）5.5三角恒等变换 教材分析

5.5三角恒等变换
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：利用圆的旋转对称性推导两角差的余弦公式；两角和与差的三角函数的其他公式及其内在联系.
难点：发现两角和（差）的三角函数与圆的旋转对称性间的联系；认识三角恒等变换的特点，并能解决一些三角恒等变换的问题.
三、教科书编写意图及教学建议
本节内容可分为两部分，第一部分是两角和与差的正弦、余弦和正切公式；第二部分是简单的三角恒等变换.第一部分依然是基于圆的对称性进行研究，与5.3节相比较，5.3节中用到的是圆的特殊的对称性，此处用到的是圆的更一般的对称性，即旋转对称性.这种特殊与一般的关系，蕴含着诱导公式与两角和（差）公式之间的特殊与一般的关系.本部分一共11个公式，这11个公式的推导是发展学生逻辑推理素养的载体.第二部分则从两个角度进行简单的三角恒等变换，在这个过程中要注重发展学生的数学运算素养.
在5.3节中，利用诱导公式对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值和证明的目的.本部分与之衔接，一方面要推导获得新的公式，另一方面要利用获得的公式进行恒等变形，习惯上称之为三角恒等变换.
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.两角差的余弦公式
（1）探究两角差的余弦公式
两角差的余弦公式的证明方法非常多.不同的教科书在编写过程中，因为整体立意的不同，所以选用的方法也不尽相同.选择的依据有两个：一是努力使公式的证明过程简明易懂，易于学生接受；二是公式推导的依据要突出教科书编写的整体立意.本节力图体现圆的对称性与三角函数之间的内在联系，所以选择了利用旋转对称性证明两角差的余弦公式.
教科书首先设置了一个“探究”，引导学生进行自主的思维活动.不失一般性，先研究角与的终边不重合时的情况，即，的情况.
第一步，标注出“探究”中涉及到的量，即角，，的终边与单位圆的交点，，，并设单位圆与轴正半轴交于点.
第二步，利用三角函数的定义，写出各点的坐标.
第三步，利用圆的旋转对称性，得到等量关系.
第四步，代入化简，得到两角差的余弦表达式.
代入化简时需用到两点间的距离公式，在边空中已给出.在教学时可以利用勾股定理进行简单的推导.
当角与的终边重合时，即，，可得（或），即两角差的余弦表达式仍然成立，从而得到任意两角差的余弦表达式——两角差的余弦公式.
这种证明的好处是不需要利用图形本身的直观性质，即证明的过程不受图形大小、位置变化的限制，因此证明具有一般性，教科书中图5.5-1起着直观化的作用，但证明的过程利用的不是角与终边的特殊位置.在教学中可以从以下两方面引导学生理解这种证明过程的一般性：其一，改变角与终边的位置，让学生看到证明第二步中各点的坐标不会因此改变；其二，根据圆的旋转对称性，无论角与终边的位置如何，总有成立.
和角、差角、倍角的三角函数之间存在紧密的内在联系，因此不必孤立地去一一推导这些公式，只要推导出一个公式作为基础，再利用这种联系性，用逻辑推理的方法就可以得到其他公式.另外，对于众多公式的推导顾序，也可以有多种安排.本节的具体过程如下：
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（2）两角差的余弦公式的初步应用
此处安排了例1和例2.例1既是两角差的余弦公式的应用，也说明了诱导公式与两角差公式之间的特殊与一般的关系：
由上面的关系可以发现，6个诱导公式都可以看成是公式中当或取特殊值时的情况，即诱导公式反映的是圆的特殊对称性.比如公式一，反映的是单位圆上的任意一个点，旋转，仍然回到原来的位置；公式二反映的是单位圆上的任意一个点关于原点的对称点（或旋转）仍然在单位圆上；等等.两角差的余弦公式是其一般化的表达：单位圆上任意一个点，旋转任意一个位置后仍然在单位圆上，即反映了圆的旋转对称性.后续两角和与差的正弦、余弦、正切公式与诱导公式之间也有对应的关系.
例1，例2一方面通过简单的应用，使学生初步熟记公式，掌握公式的结构形式及其功能；另一方面是要训练学生有序的思维习惯，发展学生的数学运算素养.因此在教学时要培养程序化的思维习惯：
第一步，确定解题依据的是哪个公式（这里用到的是两角差的余弦公式）；
第二步，与公式相比较，观察题目的形式特点，确定需要求出哪些值；
第三步，根据第二步得到的方案先求值，再代入，解决问题.
2．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
以两角差的余弦公式为基础，推导其他公式的过程是一个逻辑推理的过程，也是一个认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换特点的过程.教科书不仅重视对推出的公式的理解、应用，而且还重视推导过程所承载的育人功能.教学中，要把握机会，发展学生的逻辑推理素养，培养数学整体观.
（1）探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式
本节推导5个公式，为此设置了两个“思考”和三个“探究”，引导学生自主探索发现，获得新的公式.这些栏目给学生留下了较大的自主空间，比如第一个“思考”栏目，启发学生可以依据自己的思路设计本课时的推导过程.
在“思考”或“探究”中，注重引导学生进行观察、比较，确定差异，寻找联系及联系的途径，这是数学思维的起点，是培养学生数学运算素养的途径.
例如，比较与，它们都是角的余弦，只是角的形式不同，但不同的角的形式从运算或换元的角度都有内在联系，因此基于差异可以建立联系，进行转化.教科书给出了从公式到的推理过程，并给出了建立联系的不同途径.正文中的方法是从运算的角度给出的，即将加法转化为减法：
.边空中的提示是从换元的角度给出的：将公式中的换成.
又如，比较与，它们包含的角相同，但函数种类不同，角的正弦与余弦能否建立联系呢？为此，在第一个“探究”中首先指出了实现正弦、余弦函数互化的诱导公式，帮助学生找到建立联系的途径.之后的推导就比较容易了：
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第二个“探究”也是先帮助学生找到建立联系的途径：根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，之后的推导留给学生完成，用以上思路作指导，以下过程是不难的：
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第三个“探究”也是开放式的，鼓励学生按照上述思路，作进一步的探索研究.将诱导公式与两角和与差的公式对比，可以发现在两角和与差的公式中，当或取特殊值时可以得到诱导公式.可以仿照前面的图，构建两角和（差）公式与诱导公式之间的关系.
（2）两角和与差的正弦、余弦、正切公式的初步应用
此处安排了两个例题和一个“思考”，主要是通过简单应用，使学生熟记公式，掌握公式的结构及其功能.
例3是运用和（差）角公式的基础题.目的是训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中要有意识地对学生的思维习惯进行引导.例如，在面对问题时，要注意先认真分析条件、明确要求，再思考应该联系什么公式、使用公式时要有什么准备、准备工作怎么进行等.同时，教学中还要让学生重视对思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程的准确性、简洁性等.这都是培养三角恒等变换能力所不能忽视的.
教学中，可以从两个方面对例3作适当延伸.一是对其中一部分条件作变式，如去掉是第四象限的限制等，让学生考察对结果和求解过程会有什么影响；二是例3后面的“思考”，提出了与的结果相同是否具有一般性的问题，要求学生思考与证明.这些变化和延伸不仅要求正确使用分类讨论的方法，而且对表述也有更高的要求，教学中应当根据学生的具体情况作出适当的引导.
例4要求全面理解公式，即要求学生能够从正（从左到右使用公式）、反（从右到左使用公式）两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的逆向思维意识和较高的思维的灵活性，而且对公式要有更全面、深刻的理解.
例4中的（1）（2）是简单的公式反用，目的在于培养逆向思维意识及思维的灵活性；解决（3）时，要学生孤立地考虑反用有难度，教学中应充分注意教科书的处理方法.事实上，在例3中出现过求，其求解过程为解决例4（3）作了铺垫.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
本课时延续前面的思路，推导其他5个公式.
（1）探究二倍角的正弦、余弦、正切公式
此处设置了一个“探究”，一个“归纳”.“探究”给出问题，推导过程留给学生.教学时，可以引导学生回顾上一节的探究思路，在此基础上，充分发挥学生的主动性，推导得到二倍角的正弦、余弦和正切公式.
“归纳”是对11个公式之间关系的总结，可以引导学生画出这些公式的关系结构图，以便于学生理解它们的逻辑关系.
（2）二倍角的正弦、余弦、正切公式的初步应用
例5是倍角公式的正用（反用安排到了练习中）.教科书中没有安排简单套用倍角公式的例题.通过本例的解答，要求学生对“倍”的相对性有一定的认识.为此，教科书用边空进行了适当引导.另外，在三角变换中，换元思想能起到很大作用，因此教科书也用边空给出了提示.事实上，灵活使用“倍”的变换、“换元”等都体现了思维的灵活性，对发展学生的推理能力、提升逻辑推理素养，有着很好的推动作用.
例6具有一定的综合性，也是和（差）公式的应用问题.由于对与，之间关系的看法不同会产生不同的解题思路，所以教科书给出了两种解法.不过，它们都是对倍角、和角关系的联合运用，本质上没有区别.列出两种解法是为了鼓励学生用不同思路去思考.值得注意的是，在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含条件，如，等.教学中可以在学生自己尝试解决问题后，引导他们进行适当的归纳总结.
5.5.2简单的三角恒等变换
本小节包括利用已有的11个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用.本节内容都是用例题来展现的，通过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而进一步理解变换思想，提高学生的推理能力、数学运算素养.
教科书中把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上，从而使三角函数性质的研究得到延伸.
1.简单的恒等变换
本部分安排了例7和例8两个例题，这两个例题要重视得到结果的过程.它们以推导半角公式、积化和差、和差化积作为基本训练，两个例子尽管变换的内容不同，但在教学时要引导学生对它们涉及变换的途径和方法进行思考，找到思维方法的共性.这是培养数学运算素养和数学抽象素养的契机.
对于例7，要求以表示，教科书边空中提出了“与有什么关系”的问题，目的在于引导学生从与之间的关系出发思考与之间的关系，并通过对这种关系的思考建立这两个三角函数式之间的联系.事实上，只要理解倍、半的相对性，就容易选择倍角关系（）作为联系的纽带，再在方程思想、换元思想等的指导下，求得所要的结果就比较容易了.
例7之后的一段话，既有引导学生思考的目的，也有帮助学生进行总结的功能：与普通的代数变换相比较，三角变换要考虑所包含的角的不同、三角函数的种类差异，三角函数式的结构差异等多个因素.因此，教学时更要注重培养学生有序的思维习惯，从而更好地把握三角恒等变换的特点.
例8的第（1）题如果从其右式出发，那么仅利用和与差的正弦公式展开、合并，也会得出左式.不过教科书边空中提出“这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同”的问题，这是为了更好地发挥本例的教育功能，即把两个三角式上的不同点作为思考的出发点，并通过建立它们之间的联系进而在消除不同点上下功夫，这样不仅有利于深化对和（差）公式的理解，而且还有利于对本例两个小题内在联系的认识.
那么，哪些公式中包含呢？可以想到和角正弦公式
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从方程角度看这个等式，看作一个未知数，看作常数，那么看作另一个未知数，二元方程求得确定解，必须有两个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含的公式.列出
后，解以，为未知数的二元一次方程，就容易得到所要的结果.
由（1）得到以和的形式表示积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.
积化和差公式、和差化积公式还有6个，都放在练习中.
从上述外析可以发现，教科书中安排的这两个例子，有以下共同特点：分析题意，明确思维起点；选择共识，把握思维方向；实施变换，运用数学思想方法等.教学中应对此作出引导、抓住机会，培养学生的数学运算素养.
2.三角恒等变换在数学中的应用举例
此处安排例9和例10两个例题，它们使得三角函数中对函数性质的研究得到延伸，体现了三角恒等变换在化简三角函数式中的作用.这些在学习解三角形的知识后还会有一定的运用空间.
例9是一个简单的、常见的问题：先通过三角恒等变换化简函数表达式，然后讨论有关的性质.这个问题的一般化，就是对的性质的讨论.对于数学水平高的学生，在教学中可以再适当补充几个同类问题（非特殊角的），让学生进行讨论.教科书在习题5.5中安排了第17（2）题，就是这种一般情况的讨论.
教学时，例9的分析思路与例7、例8在本质上是一致的：首先明确化简的
目标——，因为只有化成这样的形式，才便于讨论函数的性质；然后将的展开式与进行对比，在差异中建立联系，确定对怎样进行变形；最后对进行变形、化简.
在化简过程中，当不是特殊角时，严谨的表达是写出和的值.
对于例10，还可以去掉“记”，将设问改成“求矩形的最大面积”.这时，在建立函数模型时，对自变量可多一种选择，如设，
则.尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.