高中数学必修第一册人教A版（2019）《5.5三角恒等变换课时1》教学设计

《三角恒等变换》教学设计
课时1两角差的余弦公式
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学运算 逻辑推理 【考查内容】 主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,重在考查化简、求值,公式的正用、逆用以及变式运用,可单独考查,也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 数学运算 逻辑推理
3.简单的三角恒等变换 数学运算 数学建模 逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容研究三角恒等变换,主要涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、半角公式以及辅助角公式.在学习三角恒等变换时,应注意各个公式之间的区别和联系,要重视公式的推导过程,最终达到可以运用公式实现简单的三角恒等变换.通过三角恒等变换的学习,重点发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养,培养说明论证、分析计算以及综合问题解决等学科能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.简单的三角恒等变换 数学运算 逻辑推理 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
本节的主要内容是三角恒等变换,学生对于三角函数的图象和性质已有基本的认识,尤其是对于诱导公式以及单位圆对称性的理解还需加深,学习三角恒等变换,千万不要只顾死记硬背公式,而忽视对思想方法的理解,要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式,立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式,因此,本节的学习有着极其重要的地位,与前边知识的连接对于三角函数的更深认识和理解都有重要的作用.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.两角差的余弦公式
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
4.简单的三角恒等变换(1)
5.简单的三角恒等变换(2)
【教学目标设计】
1.(1)了解两角差的余弦公式的推导过程;熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.
(2)能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式,了解它们的内在联系;掌握两角和与差的正弦、余弦公式,并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.
(3)能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式;能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明;熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.
2.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式;能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用.
3.能用上述公式进行简单的恒等变换(包括积化和差、和差化积、半角公式)了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法;能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式,并能进行一些简单的应用.
【教学策略设计】
教学中要注重加强单元教学设计,注重局部范围内知识的系统化,有利于学生构建条理清楚、层次分明的整体认知结构,注重发挥单位圆的作用,利用图象理解和解决问题,在教学中,要帮助学生理解各个公式之间的推导关系,从整体上理解和掌握三角恒等变换的思想和方法,深度体会其间的换元思想、化归思想及其应用.加强单元教学设计,注重局部范围内知识的系统化,将三角恒等变换与三角函数的图象与性质结合起来,综合解决具体问题,着重培养学生的数学运算、逻辑推理核心素养.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.两角差的余弦公式的推导与运用.
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导过程及运用.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形,二倍角公式的简单应用.
4.利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.
难点:
1.两角差的余弦公式的推导过程.
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的变形应用.
3.倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和(差)角公式的综合应用.
4.利用三角恒等变换来解决问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件______________________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,前边我们学习了诱导公式,利用它们对三角函数式进行恒等变形,可以达到化简、求值或证明的目的.这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换.观察诱导公式,可以发现它们都是特殊角与任意角的和或差的三角函数与任意角的三角函数的恒等关系.同学们思考:如果现在把特殊角换成任意角,那么这两个任意角和的和或差的三角函数与、的三角函数会有什么关系呢 这也就是我们这节课研究的主题:三角恒等变换.首先我们进入两角差的余弦公式学习.
【设计意图】
以学生学过的诱导公式等知识引出课程主题,让学生形成数学系统,对前后知识进行联系.
教学精讲
师:同学们,假设我们已知两个任意角和,知道它们的正弦、余弦,能不能推导出的正弦、余弦 可以在单位圆中进行研究分析.
【情境设置】
通过单位圆分析两角差的余弦公式
不妨令.
如图,设单位圆与轴的正半轴相交于点,以轴非负半轴为始边作角,它们的终边分别与单位圆相交于点,.
师:由平面几何知识,我们可以知道,也就是说,若把扇形绕着点旋转角,则点分别与点重合,根据圆的旋转对称性可以知道,与重合,从而,那如果连接,是不是可以得到
生:与是全等图形,.
师:怎样用坐标表示和呢
生:在单位圆中,各点都可以用坐标表示,所以可以利用两点间的距离公式表示出和.
师:很好,所以根据两点间的距离公式,可以得到:
,
化简得.
当时,容易证明上式仍然成立.
所以可以得到两角差的余弦公式:
【要点知识】
两角差的余弦公式
对于任意角有
此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作.
【设情境,巧激趣】
以问题引出研究的内容,激发学生兴趣点,探求知识的兴趣,又结合之前的知识和单位圆,在熟悉的情境中研究新的内容,培养和发展直观想象、逻辑推理的核心素养.
【说明论证能力】
启发学生思考,建立对推理问题思考的连贯性,增强对问题情境的认识,提升对知识的说明论证能力.
【深度学习】
通过师生问答,得到差角的余弦公式,再将公式总结,学生先思考,再总结,实现深度学习.
师:由此我们知道,当已知两个任意角和的正弦、余弦,利用公式求出,的余弦.下面我们利用这个公式证明以下诱导公式.
【典型例题】
差角的余弦公式的应用——简单证明
例1 利用公式证明:(1).
师:这两个式子都是我们很熟悉的诱导公式,现在差角的余弦公式可以给我们提供一种新的证明方法,那也就是把和看作是两个角,所以可得:,所以结果等于.那么第二题用同样的方法,,结果等于.主要还是通过这两个小题,我们要加深对公式的理解和记忆.公式巧记为:两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和,即余·余+正·正.下面我们探究例2题.
【典型例题】
差角的余弦公式的应用——简单计算
例2 求下列各式的值:
(1).(2).(3).
【学生独立思考,独立完成,教师巡视检查并予以点评】
师:好的,同学们,看到大家完成得都不错,我们现在来看黑板,关键是熟悉题目计算过程.
【典例解析】
差角的余弦公式的应用——简单计算
解:.
(2)原式.
(3)
.
师:以上是差角的余弦公式的一些简单应用的解法:(1)两特殊角之差的余弦值,利用两角差的余弦公式直接展开求解;(2)含有常数的式子,先将系数转化为特殊角的三角函数值,再利用两角差的余弦公式求解;(3)求非特殊角的三角函数值,把非特殊角转化为两个特殊角的差,然后利用两角差的余弦公式求解.其实这一部分题目除了以上计算以外,还可以细分为两种类型:一是“给值求值”,二是“给值求角”.
【情境学习】
在具体的问题情境下,学生通过将差角的余弦公式利用在具体问题的证明中,增强对所学知识的认识,学习相关概念,理解运算方法.
【以学论教】
利用具体问题,练习掌握差角的余弦公式,教师以学生的理解为中心,启发学生思考,活学活用,发展学生逻辑推理等核心素养.
【概括理解能力】
通过对差角的余弦公式的巧妙记忆,归纳总结,熟练掌握,提升概括理解能力.
【典型例题】
差角的余弦公式的应用——“给值求值”
例3 已知是第三象限角,求的值.
师:对于差角余弦公式的应用,更多的还是体现在求值上,怎样求值 因为通过公式我们知道,要想求的值,我们要先知道和和,所以可以先根据已知,求得和,请同学分别计算说一下.
生由,得
生2:又由是第三象限角,得
师:很好!做这样的题,一定要注意其中角的范围,正负是一定要确定清楚的.得到了和的值,接下来我们利用公式计算,最终计算得到.
【分析计算能力】
以具体的问题,具体的角度,引导学生结合差角余弦公式解决问题,不查表,快速对所给角度进行拆分,配凑出特殊角,培养学生的分析计算能力.
【教师总结】给值求值的解题策略:
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:①;②;③;④.
师:一般情况下,对于差角的余弦公式有如下变形:
【要点知识】
两角差的余弦公式的逆用以及变换使用
1.逆用:.
2.角变换后使用:.
3.移项使用:.
4.特殊化使用导出诱导公式:.
【分析计算能力】
让学生独立完成解题,增强对差角的余弦公式的理解,灵活掌握、应用公式,提升对题目的分析计算能力.
【深度学习】
在知识、方法的基础上,整理总结相关题型,通过对题型和方法的分类,加深对差角的余弦公式的理解,发展逻辑推理、数学运算核心素养.
师:因为涉及差角的余弦公式的计算有很多,所以我们再练习一道补充例题,即“给值求角”.
【典型例题】
差角的余弦公式的应用——“给值求角”
例4 已知,且,求的值.
【学生独立思考,独立完成,教师巡视检查并予以点评】
师:提示一下已知三角函数值求角的解题步骤:
(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
注意:由三角函数值求角时,易忽视角的范围,而得到错误答案.那我们接下来看一下黑板上完整的解题步骤.
【典例解析】
差角的余弦公式的应用——“给值求角”
解:由,得.
由,得.又∵,
【以学定教】
教师在学生自主练习之后进行题目点评,总结归纳做题要点,以及结论,以学生的理解为中心,提升逻辑推理、数学运算素养.
【以学论教】
教师补充给值求角题型练习,使学生建立对知识,方法,题型的全面认识,以学生的理解为中心,加深学生对这一部分的知识和方法上的理解.
师:当由三角函数值求角时,一定注意角的范围.解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值,而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定,当所求角范围是或时,选取求余弦值,当所求角范围是或时,选取求正弦值.这道题里涉及了差角的正弦,差角的正弦也是有公式存在的,我们下节课推导后,就可以直接使用公式解题了.接下来,我们再练习几道题目,巩固一下.
【巩固练习】
两角差的余弦公式
1.利用公式证明:
(1).(2).
2.利用公式求的值.
3.已知,求的值.
4.已知是第二象限角,求的值.
5.已知,求的值.
【分析计算能力】
由学生自己练习题目,运用两角差的余弦公式解决问题,自主思考,培养学生的分析计算能力.
师:让我们来总结一下这节课所学的内容.
【课堂小结】
两角差的余弦公式
1.知识清单
(1)两角差的余弦公式的推导.
(2)给角求值,给值求值,给值求角.
2.常见误区:求角时忽视角的范围.
【设计意图】
通过学习两角差的余弦公式,利用设情境巧激趣、以学定教、以学论教的教学策略和深度学习、情境学习的学习策略,培养了学生的说明论证能力、概括理解能力、分析计算能力,提升了学生的数学运算、逻辑推理等核心素养.
教学评价
本节课我们主要学习了三角恒等变换的一系列公式,联系之前所学,主要涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式和半角公式,另外通过具体问题,补充了积化和差与和差化积公式,辅助角公式等,在一些和三角相关的综合问题上,往往需要将转化为的形式,需要用到辅助角公式,注意题目中角度的范围等限制条件,注意公式的准确记忆,要理解各个公式之间的相互关联和推导过程.
【设计意图】
教师引导学生思考,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,锻炼自己的学科能力(说明论证、概括理解、分析计算、推测解释、综合问题解决),从而达到数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求.
应用所学知识,完成下面各题:
1.( )
A.1 B. C. D.
解析:.
答案:
2.已知,函数的最小正周期为,则结论正确的是( )
A.函数的图象关于直线对称
B.函数在区间上单调递增
C.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D.当时,函数的最大值为1,最小值为
解析:因为,所以,所以,所以.对于A,因为,所以不正确;对于B,当时,,所以函数在区间上单调递减,故不正确;对于C,将函数的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数,所以不正确;对于D,当时,,所以.
答案:D
【分析计算能力】
通过具体数值、具体角度的给出,结合三角恒等变换相关公式,培养学生分析计算能力,提升数学运算、数学建模核心素养.
【推测解释能力】
通过三角恒等变换将任意三角函数改写为三角函数形式,经过推理分析,从而得到函数的性质,培养推测解释能力,提升数学运算、逻辑推理核心素养.
教学反思
本节课内容分为5课时,主要学习内容是:两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及利用三角恒等变换研究三角函数的性质等综合问题.以差角的余弦公式为基础,逐个地推导得出其他相关公式,这一部分公式很多,需要在理解的基础上准确记忆,理解公式彼此之间的关系,并会在综合问题中,利用辅助角等公式,将所给函数式转化成的形式,加强运算练习,必要的时候可以进行小组交流探讨,教师同时要加强与三角函数图象和性质等相关知识的联系,注重局部范围内知识地系统化,注重发挥单位圆的作用,通过例题和习题的思考和练习,提升学生的数学运算和逻辑推理等核心素养,综合培养学生的说明论证能力、分析计算能力、综合问题解决能力等学科能力.
【以学定教】
教师要让学生理解并掌握三角恒等变换的相关公式,并能在不同的具体情境中合理应用,可以利用三角恒等变换综合解决一些问题.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中要注意学生的学习效果,加强学生的思考和练习,提升数学核心学科素养.
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