高中数学必修第一册人教A版（2019）《5.5三角恒等变换课时2》教学设计

《三角恒等变换》教学设计
课时2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学运算 逻辑推理 【考查内容】 主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,重在考查化简、求值,公式的正用、逆用以及变式运用,可单独考查,也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 数学运算 逻辑推理
3.简单的三角恒等变换 数学运算 数学建模 逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容研究三角恒等变换,主要涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、半角公式以及辅助角公式.在学习三角恒等变换时,应注意各个公式之间的区别和联系,要重视公式的推导过程,最终达到可以运用公式实现简单的三角恒等变换.通过三角恒等变换的学习,重点发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养,培养说明论证、分析计算以及综合问题解决等学科能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.简单的三角恒等变换 数学运算 逻辑推理 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
本节的主要内容是三角恒等变换,学生对于三角函数的图象和性质已有基本的认识,尤其是对于诱导公式以及单位圆对称性的理解还需加深,学习三角恒等变换,千万不要只顾死记硬背公式,而忽视对思想方法的理解,要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式,立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式,因此,本节的学习有着极其重要的地位,与前边知识的连接对于三角函数的更深认识和理解都有重要的作用.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.两角差的余弦公式
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
4.简单的三角恒等变换(1)
5.简单的三角恒等变换(2)
【教学目标设计】
1.(1)了解两角差的余弦公式的推导过程;熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.
(2)能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式,了解它们的内在联系;掌握两角和与差的正弦、余弦公式,并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.
(3)能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式;能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明;熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.
2.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式;能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用.
3.能用上述公式进行简单的恒等变换(包括积化和差、和差化积、半角公式)了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法;能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式,并能进行一些简单的应用.
【教学策略设计】
教学中要注重加强单元教学设计,注重局部范围内知识的系统化,有利于学生构建条理清楚、层次分明的整体认知结构,注重发挥单位圆的作用,利用图象理解和解决问题,在教学中,要帮助学生理解各个公式之间的推导关系,从整体上理解和掌握三角恒等变换的思想和方法,深度体会其间的换元思想、化归思想及其应用.加强单元教学设计,注重局部范围内知识的系统化,将三角恒等变换与三角函数的图象与性质结合起来,综合解决具体问题,着重培养学生的数学运算、逻辑推理核心素养.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.两角差的余弦公式的推导与运用.
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导过程及运用.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形,二倍角公式的简单应用.
4.利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.
难点:
1.两角差的余弦公式的推导过程.
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的变形应用.
3.倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和(差)角公式的综合应用.
4.利用三角恒等变换来解决问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件______________________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学精讲
师:上节课我们知道了差角的余弦公式,类比这个公式,可以得出两角和与差的三角函数的其他公式吗 这节课以公式为基础来推导其他公式.
【学生阅读教材,自主思考】
师:比较和,并注意到和的关系,,所以利用公式,可以得到:
.
【要点知识】
两角和的余弦公式
师:推导过程中,都为任意角,所以也一定为任意角,所以推导出的结果也是成立的.以上就得到了两角和与差的余弦公式,那么两角和与差的正弦公式怎样得到呢
【先学后教】
教师引导学生回顾差角余弦公式,先让学生自主研读教材,再就其中重点作重点推导分析,加深对两角和与差的三角函数相关公式概念的理解,形成前后知识的联系.
【学生阅读教材,积极思考】
师:可以根据或以及诱导公式五或六,推导出用任意角的正弦、余弦表示和的公式.
以一种推导为例:
【要点知识】
两角和与差的正弦公式
师:现在两角和与差的正弦、余弦公式都有了,怎样得到两角和与差的正切公式呢
生:同角的正弦除以余弦即得该角的正切.
师:根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系,从或出发,试着推出用任意角的正切表示和的公式.同学们先自行推导.
【学生积极思考,动手推导,教师巡视检查】
师:可以得到正切公式如下.
【要点知识】
两角和与差的正切公式
【说明论证能力】
结合所学的差角余弦公式以及特殊角,探究推导更多公式,加深学生对这一节两角和与差的正弦公式的理解与掌握,培养说明论证能力.
【自主学习】
学生在教师的启发下,自主探究思考、推导计算两角和与差的正弦公式、余弦公式,有助于形成自主探究的学习意识,更深入地理解、掌握所学知识.
师:公式给出了任意角的三角函数值与其和角的三角函数值之间的关系.为方便起见,我们把这三个公式都叫做和角公式.类似地,都叫做差角公式.和(差)角公式中,都是任意角.如果令为某些特殊角,就能得到许多有用的公式.你能从和(差)角公式出发推导出诱导公式吗 你还能得到哪些等式
【学生积极思考、讨论】
师:特殊角有这几个,如果令为这些特殊角,可以得到很多有用的公式,这个大家可以尝试着自己写出来.
生:.
生:.
生:.
【少教精教】
教师在教授两角和差公式之后,让学生结合具体角度自主思考,使学生在特殊角的独立计算中,加深对所学公式的理解,教师少教,达到精教的目的.
【概括理解能力】
由学生自己通过观察公式结构特征得到两角和与差的三角公式结论,自主练习,培养学生的概括理解能力.
师:非常好!接下来我们来练习一道题目,注意角的变换.
【典型例题】
两角和与差的三角公式的应用
例1 已知是第四象限角,求,的值.
师:注意角的范围与其正弦、余弦、正切值的正负,下面请三位同学依次在黑板上把计算过程书写出来.
生1:由是第四象限角,得
所以
于是有.
生.
生.
师:由以上解答,在本题条件下有.那么对于任意的角,这个等式都成立吗 如果成立,怎样证明
【自主学习】
学生在教师的启发下,独立思考,应用两角和差公式计算题目,有助于学生加深对所学知识的认识,强化掌握,活学活用.
【情境学习】
学生在所推导的两角和差公式基础之上,增加条件,通过其他具体角度的融合,变换出所求结果,整理总结,在具体学习情境中获得知识.
【学生思考,教师指定同学回答】
师:可以证明是成立的,方法不唯一,可以直接利用差角公式和和角公式展开,也可以用诱导公式,也就是.所以也可以把这个等式作为一般公式记住,一些题目中可以作为中间变化量引入.请看例2.
【典型例题】
两角和与差的三角公式的应用
例2 利用和(差)角公式计算下列各式的值:
(1).(2).
(3).
师生:以上几题其实就是和角公式与差角公式的逆用,从右到左使用公式,可以将上述三角函数式化简.同学们自己独立计算一下.
【学生积极思考,独立完成练习,教师巡视检查】
生:(1)由公式得
(2)由公式得.
(3)由公式及,得
【分析计算能力】
学生在具体问题中,通过计算练习,掌握两角和差公式,并会利用具体角度,灵活变角,灵活运用公式,提高分析计算能力.
师:好了,同学们,运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化简、求值要注意灵活进行三角函数名称以及角的变换,构造符合某一公式特征的结构后,再运用公式化简、求值.如果题目中存在互余角,要善于发现和利用.尤其是注意公式的正用、逆用,最后总结一下.
【要点知识】
两角和与差公式的灵活运用
要学会顺用(从左至右,即展开)、逆用(从右至左,即化简)、变用(移项变形)公式.
(1)顺用公式,如:
.
.
.
(2)逆用公式,如:
.
(3)变用公式,如:
.
(4)正切公式的逆用
;
.
(5)正切公式的变形应用
.
【以学定教】
教师利用具体问题,由已得的六个公式,再提出新的特征,通过对公式的正用、逆用、变换,得到新的计算规律,加深学生对这一部分的知识和方法上的理解.
【以学论教】
教师补充公式的变换概念,使学生建立对知识,方法,题型的全面认识,以学生的理解为中心,加深学生对这一部分的知识即两角和差公式的理解和记忆.
师:掌握了这些公式和变化规律之后,我们进行一下练习,来看一下这几道题.
【巩固练匀】
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1.利用和(差)角公式.求下列各式的值:
(1).(2).(3).(4).
2.(1)已知,求的值.
(2)已知是第三象限角,求的值.
(3)已知.求的值.
3.求下列各式的值:
(1).(2).
(3).(4).
(5).(6).
4.化简:
(1).(2).(3).(4).
5.已知是第三象限角,求的值.
【分析计算能力】
通过大量的题目练习,加深学生对两角和差公式的综合运用的掌握,培养分析计算能力.
师:下面我们来总结一下本节课所学内容.
【课堂小结】
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1.知识清单
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导.
(2)给式求值、给值求值、给值求角.
(3)公式的正用、逆用、变形用.
2.常见误区:求值或求角时忽视角的范围.
【设计意图】
通过学习两角和差的三角公式,利用了先学后教、少教精教、以学定教、以学论教的教学策略和自主学习、情境学习的学习策略,培养了学生的说明论证能力、概括理解能力、分析计算能力,提升了学生的数学运算、逻辑推理核心素养.
教学评价
本节课我们主要学习了三角恒等变换的一系列公式,联系之前所学,主要涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式和半角公式,另外通过具体问题,补充了积化和差与和差化积公式,辅助角公式等,在一些和三角相关的综合问题上,往往需要将转化为的形式,需要用到辅助角公式,注意题目中角度的范围等限制条件,注意公式的准确记忆,要理解各个公式之间的相互关联和推导过程.
【设计意图】
教师引导学生思考,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,锻炼自己的学科能力(说明论证、概括理解、分析计算、推测解释、综合问题解决),从而达到数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求.
应用所学知识,完成下面各题:
1.( )
A.1 B. C. D.
解析:.
答案:
2.已知,函数的最小正周期为,则结论正确的是( )
A.函数的图象关于直线对称
B.函数在区间上单调递增
C.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D.当时,函数的最大值为1,最小值为
解析:因为,所以,所以,所以.对于A,因为,所以不正确;对于B,当时,,所以函数在区间上单调递减,故不正确;对于C,将函数的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数,所以不正确;对于D,当时,,所以.
答案:D
【分析计算能力】
通过具体数值、具体角度的给出,结合三角恒等变换相关公式,培养学生分析计算能力,提升数学运算、数学建模核心素养.
【推测解释能力】
通过三角恒等变换将任意三角函数改写为三角函数形式,经过推理分析,从而得到函数的性质,培养推测解释能力,提升数学运算、逻辑推理核心素养.
教学反思
本节课内容分为5课时,主要学习内容是:两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及利用三角恒等变换研究三角函数的性质等综合问题.以差角的余弦公式为基础,逐个地推导得出其他相关公式,这一部分公式很多,需要在理解的基础上准确记忆,理解公式彼此之间的关系,并会在综合问题中,利用辅助角等公式,将所给函数式转化成的形式,加强运算练习,必要的时候可以进行小组交流探讨,教师同时要加强与三角函数图象和性质等相关知识的联系,注重局部范围内知识地系统化,注重发挥单位圆的作用,通过例题和习题的思考和练习,提升学生的数学运算和逻辑推理等核心素养,综合培养学生的说明论证能力、分析计算能力、综合问题解决能力等学科能力.
【以学定教】
教师要让学生理解并掌握三角恒等变换的相关公式,并能在不同的具体情境中合理应用,可以利用三角恒等变换综合解决一些问题.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中要注意学生的学习效果,加强学生的思考和练习,提升数学核心学科素养.
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