高中数学必修第一册人教A版（2019）《5.5三角恒等变换课时3》教学设计

《三角恒等变换》教学设计
课时3二倍角的正弦、余弦、正切公式
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学运算 逻辑推理 【考查内容】 主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,重在考查化简、求值,公式的正用、逆用以及变式运用,可单独考查,也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 数学运算 逻辑推理
3.简单的三角恒等变换 数学运算 数学建模 逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容研究三角恒等变换,主要涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、半角公式以及辅助角公式.在学习三角恒等变换时,应注意各个公式之间的区别和联系,要重视公式的推导过程,最终达到可以运用公式实现简单的三角恒等变换.通过三角恒等变换的学习,重点发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养,培养说明论证、分析计算以及综合问题解决等学科能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.简单的三角恒等变换 数学运算 逻辑推理 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
本节的主要内容是三角恒等变换,学生对于三角函数的图象和性质已有基本的认识,尤其是对于诱导公式以及单位圆对称性的理解还需加深,学习三角恒等变换,千万不要只顾死记硬背公式,而忽视对思想方法的理解,要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式,立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式,因此,本节的学习有着极其重要的地位,与前边知识的连接对于三角函数的更深认识和理解都有重要的作用.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.两角差的余弦公式
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
4.简单的三角恒等变换(1)
5.简单的三角恒等变换(2)
【教学目标设计】
1.(1)了解两角差的余弦公式的推导过程;熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.
(2)能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式,了解它们的内在联系;掌握两角和与差的正弦、余弦公式,并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.
(3)能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式;能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明;熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.
2.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式;能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用.
3.能用上述公式进行简单的恒等变换(包括积化和差、和差化积、半角公式)了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法;能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式,并能进行一些简单的应用.
【教学策略设计】
教学中要注重加强单元教学设计,注重局部范围内知识的系统化,有利于学生构建条理清楚、层次分明的整体认知结构,注重发挥单位圆的作用,利用图象理解和解决问题,在教学中,要帮助学生理解各个公式之间的推导关系,从整体上理解和掌握三角恒等变换的思想和方法,深度体会其间的换元思想、化归思想及其应用.加强单元教学设计,注重局部范围内知识的系统化,将三角恒等变换与三角函数的图象与性质结合起来,综合解决具体问题,着重培养学生的数学运算、逻辑推理核心素养.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.两角差的余弦公式的推导与运用.
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导过程及运用.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形,二倍角公式的简单应用.
4.利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.
难点:
1.两角差的余弦公式的推导过程.
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的变形应用.
3.倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和(差)角公式的综合应用.
4.利用三角恒等变换来解决问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件______________________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学精讲
师:以差角的余弦公式为基础,我们已经得到了六个公式,当任意角和相等时,就是两个角相等时,又会有怎样的公式和规律呢 我们这一节课就来推导一下.根据推导出.下面找同学来帮助我们推导一下,请在黑板上展示出过程.
生.
生.
生.
师:具体公式如下.
【要点知识】
二倍角公式
【整体设计,分步落实】
教师将学习难度分级降低,根据两角和差公式,引出倍角问题,启发学生自主思考,联系已有的思考结果得出最终答案,整体设计分步落实.
师:同学们做得都非常好!这就是二倍角公式,其中第二个,如果要求二倍角的余弦公式中仅含的正弦或余弦,结合,我们又可以得到两个公式.
【要点知识】
二倍角公式
.
师:其中的证明如下:.
.以上这些公式都叫做倍角公式,需要注意的是:这里的倍角专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去.请看例1.
【深度学习】
学生在具体的问题情境中,通过教师启发,将之前学的同角三角公式与倍角公式结合,思考推导公式,达到深度学习的效果.
【典型例题】
二倍角公式的应用
例1 已知,求的值.
师:我们虽然学的倍角公式是用表示的,但是这里的不也是的二倍吗 所以可以用倍角公式进行化简求值.要想求的值,就必须先把,的值求出来.请同学先把求出来.
生:由得.
又,
所以.
师:做题时要注意到的范围,接下来我们把的值求出.
.
.
.
【分析计算能力】
在具体的问题中,通过倍角公式以及所给值及范围解决问题,加深了对二倍角公式的理解,加强应用,培养分析计算能力.
师:下面,我们看一道综合题目,利用二倍角公式在三角形中怎么求值
【典型例题】
二倍角公式的应用
例2 在中,,求的值.
师:求,所以可以直接利用正切的和角公式计算,先把和确定出来.
在中,由,得
所以.
先把和确定,然后根据已知的计算.
又,所以.
最后可得.
师:因为我们学习了倍角公式,所以这道题还有没有其他思路 先分析题目,所问为和之间能构成怎样的关系呢
生:,倍角关系.
师:对!只不过这里的角度是,所以用倍角公式之前,还需用一次和角公式,而用和角公式的前提是角和角的正弦、余弦、正切值已知.
在中,由,得
所以
又,
所以,
最后可得
【以学定教】
教师将题目难度降级,启发学生相关方法,做题思路,展示给学生完整计算过程,使学生加深对和差公式以及倍角公式的理解与掌握.
【深度学习】
学生在教师的启发下,思考多种解法,实际上也就是对和差公式以及倍角公式的多角度应用,加深理解公式彼此的联系,达到深度学习的效果.
【推测解释能力】
学生在具体的问题情境下,思考完成给值求值题型问题,有助于对倍角公式的活学活用,提升推测解释能力.
师:通过这道题目,我们需要体会到,这一部分公式很多,意味着解一道题方法会有很多,所以同学们做题时要发散思维,结合所学公式和方法多角度思考,在这里,也给大家补充一个公式:
【要点知识】
万能公式
用正切来表示正弦、余弦的倍角公式,也叫“万能公式”,公式如下:
(1),即.
(2),即.
师:同学们,本节学习的公式内容很多,不需要死记硬背,应该在彼此间的联系上加深理解,做题中也是要灵活选取,灵活应用.
给值求值问题:注意寻找已知式与已知式之间的联系,有两个观察方向:有方向地将已知式或已知式化简,使关系明朗化;寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
证明问题:其本质问题实际上就是化简,三角函数的化简与证明有四个方向,即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析,消除差异,化繁为简,或用“两头凑”的方法.
【整体学习】
学生通过教师补充的“万能公式”,将正弦、余弦、正切的二倍角公式整合统一,整体认识,加强理解与掌握.
【巩固练习】
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.已知,求,的值.
2.已知,求的值.
3.已知,求的值.
4.已知,求的值.
5.求下列各式的值:
(1).(2).(3).(4).
【分析计算能力】
通过大量的题目练习,加深学生对这一节二倍角的正弦、余弦、正切公式的掌握,培养分析计算能力.
师:下面我们来总结本节课所学知识.
【课堂小结】
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.知识清单
(1)二倍角公式的推导.
(2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:化简求值开根号时,忽视角的范围.
【设计意图】
通过学习二倍角公式,利用了整体设计分步落实、以学定教的教学策略和深度学习、整体学习的学习策略,培养了学生的推测解释能力、分析计算能力,提升了学生的数学运算、逻辑推理核心素养.
教学评价
本节课我们主要学习了三角恒等变换的一系列公式,联系之前所学,主要涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式和半角公式,另外通过具体问题,补充了积化和差与和差化积公式,辅助角公式等,在一些和三角相关的综合问题上,往往需要将转化为的形式,需要用到辅助角公式,注意题目中角度的范围等限制条件,注意公式的准确记忆,要理解各个公式之间的相互关联和推导过程.
【设计意图】
教师引导学生思考,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,锻炼自己的学科能力(说明论证、概括理解、分析计算、推测解释、综合问题解决),从而达到数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求.
应用所学知识,完成下面各题:
1.( )
A.1 B. C. D.
解析:.
答案:
2.已知,函数的最小正周期为,则结论正确的是( )
A.函数的图象关于直线对称
B.函数在区间上单调递增
C.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D.当时,函数的最大值为1,最小值为
解析:因为,所以,所以,所以.对于A,因为,所以不正确;对于B,当时,,所以函数在区间上单调递减,故不正确;对于C,将函数的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数,所以不正确;对于D,当时,,所以.
答案:D
【分析计算能力】
通过具体数值、具体角度的给出,结合三角恒等变换相关公式,培养学生分析计算能力,提升数学运算、数学建模核心素养.
【推测解释能力】
通过三角恒等变换将任意三角函数改写为三角函数形式,经过推理分析,从而得到函数的性质,培养推测解释能力,提升数学运算、逻辑推理核心素养.
教学反思
本节课内容分为5课时,主要学习内容是:两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及利用三角恒等变换研究三角函数的性质等综合问题.以差角的余弦公式为基础,逐个地推导得出其他相关公式,这一部分公式很多,需要在理解的基础上准确记忆,理解公式彼此之间的关系,并会在综合问题中,利用辅助角等公式,将所给函数式转化成的形式,加强运算练习,必要的时候可以进行小组交流探讨,教师同时要加强与三角函数图象和性质等相关知识的联系,注重局部范围内知识地系统化,注重发挥单位圆的作用,通过例题和习题的思考和练习,提升学生的数学运算和逻辑推理等核心素养,综合培养学生的说明论证能力、分析计算能力、综合问题解决能力等学科能力.
【以学定教】
教师要让学生理解并掌握三角恒等变换的相关公式,并能在不同的具体情境中合理应用,可以利用三角恒等变换综合解决一些问题.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中要注意学生的学习效果,加强学生的思考和练习,提升数学核心学科素养.
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