高中数学必修第一册人教A版（2019）《5.5三角恒等变换课时5》教学设计

《三角恒等变换》教学设计
课时5简单的三角恒等变换(2)
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学运算 逻辑推理 【考查内容】 主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,重在考查化简、求值,公式的正用、逆用以及变式运用,可单独考查,也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 数学运算 逻辑推理
3.简单的三角恒等变换 数学运算 数学建模 逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容研究三角恒等变换,主要涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、半角公式以及辅助角公式.在学习三角恒等变换时,应注意各个公式之间的区别和联系,要重视公式的推导过程,最终达到可以运用公式实现简单的三角恒等变换.通过三角恒等变换的学习,重点发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养,培养说明论证、分析计算以及综合问题解决等学科能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.简单的三角恒等变换 数学运算 逻辑推理 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
本节的主要内容是三角恒等变换,学生对于三角函数的图象和性质已有基本的认识,尤其是对于诱导公式以及单位圆对称性的理解还需加深,学习三角恒等变换,千万不要只顾死记硬背公式,而忽视对思想方法的理解,要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式,立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式,因此,本节的学习有着极其重要的地位,与前边知识的连接对于三角函数的更深认识和理解都有重要的作用.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.两角差的余弦公式
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
4.简单的三角恒等变换(1)
5.简单的三角恒等变换(2)
【教学目标设计】
1.(1)了解两角差的余弦公式的推导过程;熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.
(2)能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式,了解它们的内在联系;掌握两角和与差的正弦、余弦公式,并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.
(3)能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式;能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明;熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.
2.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式;能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用.
3.能用上述公式进行简单的恒等变换(包括积化和差、和差化积、半角公式)了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法;能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式,并能进行一些简单的应用.
【教学策略设计】
教学中要注重加强单元教学设计,注重局部范围内知识的系统化,有利于学生构建条理清楚、层次分明的整体认知结构,注重发挥单位圆的作用,利用图象理解和解决问题,在教学中,要帮助学生理解各个公式之间的推导关系,从整体上理解和掌握三角恒等变换的思想和方法,深度体会其间的换元思想、化归思想及其应用.加强单元教学设计,注重局部范围内知识的系统化,将三角恒等变换与三角函数的图象与性质结合起来,综合解决具体问题,着重培养学生的数学运算、逻辑推理核心素养.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.两角差的余弦公式的推导与运用.
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导过程及运用.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形,二倍角公式的简单应用.
4.利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.
难点:
1.两角差的余弦公式的推导过程.
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的变形应用.
3.倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和(差)角公式的综合应用.
4.利用三角恒等变换来解决问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件______________________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学精讲
师:前面我们学到了和角的三角公式、差角的三角公式、二倍角公式,还补充了半角公式,今天这节课,我们将三角恒等变换与三角函数结合起来,可以综合研究函数的性质.
【典型例题】
简单的三角恒等变换
例1 求下列函数的周期,最大值和最小值:
(1).(2).
师:要想求所给函数的周期、最值,我们需要先把函数化为三角函数式的形式,利用和角公式,可以将其展开化为的形式.反之,利用和(差)角公式,可将转化为的形式,进而求得其周期和最值.这个转化过程需配凑出特殊角的三角函数值,如果配凑不出,可以用待定系数法得出.同学们先自己思考、计算一下.
【学生积极思考,积极演算,教师展示标准答案】
【典例解析】
简单的三角恒等变换
解:(1).
因此,所求周期为,最大值为2,最小值为.
师:由第一问解题过程可知,凑出这两个特殊角的三角函数值,所以角即为.
【典例解析】
简单的三角恒等变换
解:(2)设,则.
于是,
于是,
所以.取,则.
由可知,所求周期为,最大值为5,最小值为.
师:而第二问凑不出特殊角的三角函数值,所以用的是待定系数法,设,
再结合和角公式展开,可得.
于是,则.通过以上这些步骤,可以总结一下相关做题规律,即辅助角公式.辅助角公式推导过程:
.
令,
则,其中角所在象限由的符号确定,角的值由确定或由和共同确定.
【先学后教】
教师先引导学生复习和差角以及二倍角的三角公式,研究公式与三角函数之间的联系,再结合具体问题进行学习,先学后教,培养和发展学生数学运算、逻辑推理等核心素养.
【情境学习】
学生在具体的问题情境下,自主思考计算,在教师的讲解下,加深对三角恒等变换与三角函数类型题方法的认识.
【发现创新能力】
不能直接凑配出特殊角的三角函数值,可以采取待定系数法,配凑出特殊角的三角函数值,培养学生发散思维,培养发现创新能力.
【要点知识】
辅助角公式
辅助角公式:.(其中或,)
师:以上总结出的公式,通常叫做辅助角公式,是通用形式,可配凑出特殊角三角函数值的以及不可配凑出特殊角三角函数值的都可套用公式求得.所以三角恒等变换普遍应用于三角函数的性质相关方面的应用和求解.
【典型例题】
简单的三角恒等变换
例2 如图,已知是半径为1,圆心角为的扇形,是扇形弧上的动点,是扇形的内接矩形.记,求当角取何值时,矩形的面积最大 并求出这个最大面积.
师:怎样求最大面积 可以先建立矩形的面积和角度之间的函数关系,再求函数的最大值.那么怎样建立函数关系呢 这个扇形我们可以看作单位圆的一部分,在单位圆中,怎样表示点坐标 是不是 或者看成是求三角形的边长,即
在Rt中,.
在Rt中,.
所以,.
设矩形的面积为,则
矩形的面积和角度之间的函数关系就被建立起来了,接下来请同学上来把这个三角函数利用恒等变形转化为的形式.
【教师指定一名学生到黑板上完成作答,并给予评价】
生:.
师:这里边涉及了二倍角公式,注意过程的完整正确,最终转化出的形式,可求最大值,由,得,所以当,即时,.
因此,当时,矩形的面积最大,最大面积为.
师:由以上两道例题,可以总结出,通过三角恒等变换,可以将转化为的形式,这个过程中蕴含了化归思想.(下面我们进行巩固训练)
【综合问题解决能力】
根据所学知识,综合几种公式,分析研究实际应用问题,建立从三角恒等变换到三角函数性质的解题思路,培养综合问题解决能力.
【以学定教】
通过对所给图形的分析和研究,归纳总结做题思路,即将面积和角度之间的函数关系建立起来,以学生的理解和思考为中心,发展学生数学运算等核心素养.
【活动学习】
学生在问题研究活动中,根据所学知识,依据辅助角公式,完成作答,实现在活动中的学习,加深学习印象.
【巩固练习】
简单的三角恒等变换
1.求下列函数的周期,最大值和最小值:
(1).(2).
2.要在半径为的圆形场地内建一个矩形的花坛,应怎样截取,才能使花坛的面积最大
3.已知正边形的边长为,内切圆的半径为,外接圆的半径为.求证:.
【学生独立思考做题,教师巡视,评价】
师:让我们来总结一下本节课所学内容.
【课堂小结】
简单的三角恒等变换(2)
1.知识清单
(1)辅助角公式.
(2)三角恒等变换的综合问题.
(3)三角函数在实际问题中的应用.
2.方法归纳:转化与化归.
3.常见误区:实际问题中的定义域.
【设计意图】
通过学习三角恒等变换在三角函数问题中的应用,利用了先学后教、以学定教的教学策略和情境学习、活动学习的学习策略,培养了学生的发现创新能力、综合问题解决能力,提升了学生的数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养.
教学评价
本节课我们主要学习了三角恒等变换的一系列公式,联系之前所学,主要涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式和半角公式,另外通过具体问题,补充了积化和差与和差化积公式,辅助角公式等,在一些和三角相关的综合问题上,往往需要将转化为的形式,需要用到辅助角公式,注意题目中角度的范围等限制条件,注意公式的准确记忆,要理解各个公式之间的相互关联和推导过程.
【设计意图】
教师引导学生思考,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,锻炼自己的学科能力(说明论证、概括理解、分析计算、推测解释、综合问题解决),从而达到数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求.
应用所学知识,完成下面各题:
1.( )
A.1 B. C. D.
解析:.
答案:
2.已知,函数的最小正周期为,则结论正确的是( )
A.函数的图象关于直线对称
B.函数在区间上单调递增
C.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D.当时,函数的最大值为1,最小值为
解析:因为,所以,所以,所以.对于A,因为,所以不正确;对于B,当时,,所以函数在区间上单调递减,故不正确;对于C,将函数的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数,所以不正确;对于D,当时,,所以.
答案:D
【分析计算能力】
通过具体数值、具体角度的给出,结合三角恒等变换相关公式,培养学生分析计算能力,提升数学运算、数学建模核心素养.
【推测解释能力】
通过三角恒等变换将任意三角函数改写为三角函数形式,经过推理分析,从而得到函数的性质,培养推测解释能力,提升数学运算、逻辑推理核心素养.
教学反思
本节课内容分为5课时,主要学习内容是:两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及利用三角恒等变换研究三角函数的性质等综合问题.以差角的余弦公式为基础,逐个地推导得出其他相关公式,这一部分公式很多,需要在理解的基础上准确记忆,理解公式彼此之间的关系,并会在综合问题中,利用辅助角等公式,将所给函数式转化成的形式,加强运算练习,必要的时候可以进行小组交流探讨,教师同时要加强与三角函数图象和性质等相关知识的联系,注重局部范围内知识地系统化,注重发挥单位圆的作用,通过例题和习题的思考和练习,提升学生的数学运算和逻辑推理等核心素养,综合培养学生的说明论证能力、分析计算能力、综合问题解决能力等学科能力.
【以学定教】
教师要让学生理解并掌握三角恒等变换的相关公式,并能在不同的具体情境中合理应用,可以利用三角恒等变换综合解决一些问题.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中要注意学生的学习效果,加强学生的思考和练习,提升数学核心学科素养.
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