高中数学必修第一册人教A版（2019）《5.5三角恒等变换课时4》教学设计

《三角恒等变换》教学设计
课时4简单的三角恒等变换(1)
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学运算 逻辑推理 【考查内容】 主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,重在考查化简、求值,公式的正用、逆用以及变式运用,可单独考查,也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 数学运算 逻辑推理
3.简单的三角恒等变换 数学运算 数学建模 逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容研究三角恒等变换,主要涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、半角公式以及辅助角公式.在学习三角恒等变换时,应注意各个公式之间的区别和联系,要重视公式的推导过程,最终达到可以运用公式实现简单的三角恒等变换.通过三角恒等变换的学习,重点发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养,培养说明论证、分析计算以及综合问题解决等学科能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.简单的三角恒等变换 数学运算 逻辑推理 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
本节的主要内容是三角恒等变换,学生对于三角函数的图象和性质已有基本的认识,尤其是对于诱导公式以及单位圆对称性的理解还需加深,学习三角恒等变换,千万不要只顾死记硬背公式,而忽视对思想方法的理解,要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式,立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式,因此,本节的学习有着极其重要的地位,与前边知识的连接对于三角函数的更深认识和理解都有重要的作用.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.两角差的余弦公式
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
4.简单的三角恒等变换(1)
5.简单的三角恒等变换(2)
【教学目标设计】
1.(1)了解两角差的余弦公式的推导过程;熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.
(2)能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式,了解它们的内在联系;掌握两角和与差的正弦、余弦公式,并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.
(3)能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式;能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明;熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.
2.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式;能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用.
3.能用上述公式进行简单的恒等变换(包括积化和差、和差化积、半角公式)了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法;能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式,并能进行一些简单的应用.
【教学策略设计】
教学中要注重加强单元教学设计,注重局部范围内知识的系统化,有利于学生构建条理清楚、层次分明的整体认知结构,注重发挥单位圆的作用,利用图象理解和解决问题,在教学中,要帮助学生理解各个公式之间的推导关系,从整体上理解和掌握三角恒等变换的思想和方法,深度体会其间的换元思想、化归思想及其应用.加强单元教学设计,注重局部范围内知识的系统化,将三角恒等变换与三角函数的图象与性质结合起来,综合解决具体问题,着重培养学生的数学运算、逻辑推理核心素养.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.两角差的余弦公式的推导与运用.
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导过程及运用.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形,二倍角公式的简单应用.
4.利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.
难点:
1.两角差的余弦公式的推导过程.
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的变形应用.
3.倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和(差)角公式的综合应用.
4.利用三角恒等变换来解决问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件______________________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学精讲
师:学习了和(差)角公式、二倍角公式以后,我们就有了进行三角恒等变换的新工具,从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.接下来,我们从一道例题中,尝试推导出一组新公式.
【典型例题】
简单的三角恒等变换
例1 试以表示.
师:注意到题目中要求的是,那么和之间什么关系 是不是也是二倍关系
生:是.
师:所以是的二倍角,在倍角公式中,可以代替,以代替,得,请同学把第一个结果描述出来.
生:可得第一个结果:.①
在倍角公式中,以代替,以代替,得
所以.②
师:同样的道理,将①②两个等式的左右两边分别相除,得.
因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会存在所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,所以在进行三角恒等变换时,常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择适当的公式,这是三角恒等变换的一个重要特点.上述涉及的一组公式,同学们要把它积累下来.
【设情境,巧激趣】
以问题引出研究的内容,激发学生兴趣点,探求知识的兴趣,又结合之前的和差公式、倍角公式等知识,在熟悉的情境中研究新的内容,培养和发展数学抽象、逻辑推理的核心素养.
【分析计算能力】
通过题目练习,师生问答,加深学生对半角公式的理解与掌握,培养分析计算能力.
【要点知识】
半角公式
,并称之为半角公式,符号由所在象限决定.
【深度学习】
学生在教师推导相关知识方法之后,自主思考、总结得出半角公式,增强拓展能力,深度学习.
师:好的,我们再来研究一道例题,看看从这道例题中可以得到哪些规律.
【典型例题】
简单的三角恒等变换
例2 求证:
(1).
师:这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同 可以利用和(差)角公式证明得到.
证明:(1)因为,
将以上两式的左右两边分别相加,得,
即
结合第一问得到的结果,第二问我们可以换元使用.
(2)由(1)可得.①
设,
那么.
把的值代入①,即得
例2的证明用到了换元的方法.如把看作看作,从而把包含的三角函数式转化为的三角函数式.或者,把看作看作,把等式看作的方程,则原问题转化为解方程(组)求.它们都体现了化归思想.
师:同学们可以深度思考,第二问如果不用第一问的结果,该怎样证明
【学生积极思考,自主研究】
生:
师:好的,同学们要记住,以上的式子其实也是一种公式,那也就是积化和差与和差化积公式,但其实都是和差角公式、倍角公式的相关变形.
【推测解释能力】
证明三角恒等式,重要的是有效结合相关公式,教师启发学生自主思考,利用和差角公式证明得到,培养学生的推测解释能力.
【少教精教】
教师根据问题情境,引出问题,逐步启发学生自主思考,激发学生的联系能力,自主探究意识,达到精教的目的.
【要点知识】
积化和差与和差化积公式
(1)积化和差公式
.
.
(2)和差化积公式
.
.
【深度学习】
三角恒等变换相关公式彼此间联系紧密,通过一道例题得到的结果,即为“积化和差与和差化积”公式,学生既掌握了这些公式,又能理解其内在联系,深度掌握学习.
师:那最后我们练习几道题目,掌握以上所学公式的具体应用.
【巩固练习】
简单的三角恒等变换
1.求证:.
2.已知,且,试求和的值.
3.已知等腰三角形的顶角的余弦等于,求这个三角形的一个底角的正切.
4.求证:
(1).
(2).
(3).
5.求证:
(1).
(2).
(3).
【分析计算能力】
通过题目练习,师生问答,加深学生对三角恒等变换相关公式的理解与掌握,培养分析计算能力.
【深度学习】
学生在教师推导相关知识方法之后,自主思考练习,多角度练习三角恒等变换,增强拓展能力,深度学习.
师:下面我们来总结一下本节课所学内容.
【课堂小结】
简单的三角恒等变换(1)
1.知识清单
(1)半角公式.
(2)积化和差与和差化积公式.
2.方法归纳:转化与化归.
3.常见误区:半角公式符号的判断.
【设计意图】
通过学习简单的三角恒等变换,利用了设情境巧激趣、少教精教的教学策略和深度学习的学习策略,培养了学生的推测解释能力、分析计算能力,提升了学生的数学运算、逻辑推理核心素养.
教学评价
本节课我们主要学习了三角恒等变换的一系列公式,联系之前所学,主要涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式和半角公式,另外通过具体问题,补充了积化和差与和差化积公式,辅助角公式等,在一些和三角相关的综合问题上,往往需要将转化为的形式,需要用到辅助角公式,注意题目中角度的范围等限制条件,注意公式的准确记忆,要理解各个公式之间的相互关联和推导过程.
【设计意图】
教师引导学生思考,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,锻炼自己的学科能力(说明论证、概括理解、分析计算、推测解释、综合问题解决),从而达到数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求.
应用所学知识,完成下面各题:
1.( )
A.1 B. C. D.
解析:.
答案:
2.已知,函数的最小正周期为,则结论正确的是( )
A.函数的图象关于直线对称
B.函数在区间上单调递增
C.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D.当时,函数的最大值为1,最小值为
解析:因为,所以,所以,所以.对于A,因为,所以不正确;对于B,当时,,所以函数在区间上单调递减,故不正确;对于C,将函数的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数,所以不正确;对于D,当时,,所以.
答案:D
【分析计算能力】
通过具体数值、具体角度的给出,结合三角恒等变换相关公式,培养学生分析计算能力,提升数学运算、数学建模核心素养.
【推测解释能力】
通过三角恒等变换将任意三角函数改写为三角函数形式,经过推理分析,从而得到函数的性质,培养推测解释能力,提升数学运算、逻辑推理核心素养.
教学反思
本节课内容分为5课时,主要学习内容是:两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及利用三角恒等变换研究三角函数的性质等综合问题.以差角的余弦公式为基础,逐个地推导得出其他相关公式,这一部分公式很多,需要在理解的基础上准确记忆,理解公式彼此之间的关系,并会在综合问题中,利用辅助角等公式,将所给函数式转化成的形式,加强运算练习,必要的时候可以进行小组交流探讨,教师同时要加强与三角函数图象和性质等相关知识的联系,注重局部范围内知识地系统化,注重发挥单位圆的作用,通过例题和习题的思考和练习,提升学生的数学运算和逻辑推理等核心素养,综合培养学生的说明论证能力、分析计算能力、综合问题解决能力等学科能力.
【以学定教】
教师要让学生理解并掌握三角恒等变换的相关公式,并能在不同的具体情境中合理应用,可以利用三角恒等变换综合解决一些问题.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中要注意学生的学习效果,加强学生的思考和练习,提升数学核心学科素养.
1 / 5