龙岩市一级校联盟（九校）联考2022-2023学年第一学期半期考
高三数学参考答案与评分细则
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C B D A A C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的的2分.
题号 9 10 11 12
答案 BC ACD AC ACD
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
四、解答题，本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
解： 由，得 ----------2分
由，
解得，
所以的单调递增区间为.
又,
.
所以在上的单调增区间为. ----------------------5分
(2)由得，
,
--------------------------------7分
.-------------------------10分
18．（本小题满分12分）
解：（1）,
当，-------------------------1分
两式相减得.-------------------------3分
又因为,
所以数列是公比为3的等比数列. -------------------------4分
由,
得,
,
,-------------------------7分
. -------------------------8分
------------------------------11分
,
所以.-------------------------12分
19．（本小题满分12分）
解：（1） 由题表知，随着时间的增大，的值随的增大，先减小后增大，而所给的函数，和在上显然都是单调函数，不满足题意，故选择. ----------------------2分
把，，分别代入，得,
解得，. -----------------------4分
∴，．
又,
∴当且仅当时，即当时，y有最小值，且．
故当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元． ----------------6分
（2） 原不等式可以整理为： ，
因为对，都有不等式恒成立，
则．-----------------------7分
（i）当时，,
当且仅当时，即当时， ．
∴,
解得，不符合假设条件，舍去．-----------------------9分
（ii）当时，在单调递增，故，
只需.
整理得：,
∴（舍去）,
综上，．-----------------------12分
20．（本小题满分12分）
解:（1）取线段中点，连接，
由图1可知，四边形是矩形，且
是线段与的中点，
且
在图1中且，且．
所以在图2中，且
且,
四边形是平行四边形，则.-----------------------4分
由于平面平面
平面-----------------------6分
（2） 由图1，折起后在图2中仍有
即为二面角的平面角．
-----------------------7分
以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系如图，且设
则，
------------------9分
设平面的一个法向量
由，得，取则
于是平面的一个法向量-----------------------10分
-----------------------11分
∴直线与平面所成角的正弦值为-----------------------12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）由正弦定理得，-----------------------1分
由,
得.----------------------3分
所以,
,------------------4分
或（舍去）,
.-----------------------5分
（2）由条件得，解得,
,，,
.---------------------7分
的面积
=
=,---------------------10分
.
又因为函数单调递减，所以面积单调递增.
，则面积的取值范围为.---------------------12分
22．（本小题满分12分）
解：（1）当时，需证，只需证---------------------1分
设，
，---------------------2分
当时，，
所以在上单调递增，---------------------3分
所以.
所以 --------------------4分
（2） 因为，所以
设,
可得，
又，则，--------------------5分
若，，由（1）知，当时，；
当时，，
所以恒成立，符合题意；--------------------7分
若，，
当时，，不合题意；--------------------9分
若，因为时，，
所以在上单调递增，
因为，又，
所以存在，，
当时，，
在上单调递减，，不合题意；--------------------11分
综上，，的取值范围是.--------------------12分龙岩市一级校联盟（九校）联考2022-2023学年第一学期半期考
高三数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2. 若复数满足(为虚数单位),则
A． B． C． D．
3. 在中，点在边上，，记，则
A． B． C． D．
4．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮.如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，满足.若在时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为
A．15 B． 30 C．45 D．60
5. 函数的图像大致为
A B C D
6. 已知，且,则
A． B．
C． D．
7. 若是数列的前项和，已知，且，则
A． B．
C． D．
8. 已知，，，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 若实数满足,则下列各式中正确的是
A． B． C． D．
10. 已知函数（，，）的部分图像如图所示，则
A．在内有4个极值点
B．函数在上仅有1个零点
C．的图像关于直线对称
D．将的图像向右平移个单位，可得的图像
11．设函数的定义域为，且函数的图像关于直线对称，函数的图像关于点对称，则下列说法正确的是
A．4是的周期 B． C． D．
12. 已知数列前项和为，，则下列选项正确的是
A． B．存在，使得
C． D．是单调递增数列，是单调递减数列
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，若与共线反向，则____________ .
14. 已知数列满足，且，则____________ .
15. 在平面四边形中，, , , , ，
则 =____________ .
16. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是____________ .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知向量，满足
（1）求函数在上的单调增区间；
（2）若，求的值.
.
18.（本小题满分12分）
设为数列的前项和，已知.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若成等差数列，记.求证：.
19.（本小题满分12分）
为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场．根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下表：
上市时间x（天） 2 6 32
市场价y（元） 148 60 73
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（无需说明理由）：
①， ② ，
③ ， ④；
并利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；
（2）记你所选取的函数，若对，都有不等式恒成立，求实数的取值范围．
20.（本小题满分12分）
如图1，分别是正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了如图2所示的几何体．
（1）若是四边形对角线的交点，求证：∥平面；
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
21.（本小题满分12分）
在中，角所对的边分别为，已知，
（1）求证：；
（2）若角是钝角，，求面积的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，若，求证：；
（2）当时，，求的取值范围.
