人教版（2019）数学必修第一册 3.1.2函数的表示法（2） 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
函数的表示法(2)
1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．
2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．
本节目标
课前预习
(1)什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？
(2)怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？
预习课本P68～71，思考并完成以下问题
课前小测
1．已知函数f(x)＝ 则f(1)等于(　　)
A．0　　　 B．1　　　　C. 　　　 D．2
B
f(1)= =1
2．函数f(x)＝ 的定义域为________．
[1，＋∞)
3．函数f(x)＝|x－2|的图象为(　　)
B
4．设函数f(x)＝ ，则f(f(3))＝(　　)
A. B．3 C. D.
D
f(3)=
f(f(3))= f() = =
新知探究
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的__________的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的________；各段函数的定义域的交集是_______．
分段函数
对应关系
并集
空集
(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．
知识点睛
如y＝ 其“段”是不等长的．
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　分段函数的求值问题
[例1]　已知函数f(x)＝ .
(1)求f(－5)，f(－)，的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
[例1]　已知函数f(x)＝ .
(1)求f(－5)，f(－)，的值；
由－5∈(－∞，－2]，－ ∈(－2,2)，－ ∈(－∞，－2]，
知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－ )＝(－ )2＋2×(－ )＝3－2.
∵f ＝－ ＋1＝－ ，而－2<－<2，
∴f ＝f ＝ 2＋2×＝ －3＝－.
[例1]　已知函数f(x)＝ .
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去．
当－2∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3 (－2,2)，∴a＝1符合题意．
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．
当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
方法总结
分段函数求函数值的方法
已知分段函数的函数值求自变量取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
解题策略
技巧点拨
求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
跟踪训练
1．函数f(x)＝ ，则f(7)＝________.
f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8
8
题型二　分段函数的解析式
[例2]　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段AD及E在线段CD三类分别求解．
思路点拨
过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝ ×2＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝ (7＋3)×2－ (7－x)2＝－ (x－7)2＋10.
综合函数的解析式为y＝
[例2]　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．
反思感悟
跟踪训练
2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．
由题意得函数的解析式如下：
y＝
函数图象如图所示：
2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
题型三　分段函数的图象及应用
[探究问题]
1．函数f(x)＝|x－2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？
提示：能．f(x)＝
函数f(x)的图象如图所示．
2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？
[探究问题]
提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
[例3]　已知函数f(x)＝1＋ (－2(1)用分段函数的形式表示f(x)；
(2)画出f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
(1)分－2(2)利用(1)的结论可画图象；
(3) 找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域．
思路点拨
[例3]　已知函数f(x)＝1＋ (－2(1)用分段函数的形式表示f(x)；
(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋ ＝1，
当－2∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
(2)画出f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
多维训练
变式 已知函数f(x)＝|x|－2．
(1)用分段函数的形式表示f(x)； (2)画出f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
f(x)＝|x|－2＝
由图可知，f(x)的值域为[－2，＋∞)．
作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
分段函数图象的画法
方法总结
随堂检测
1．思考辨析
(1)分段函数由几个函数构成．(　　)
(2)函数f(x)＝ 是分段函数．(　　)
×
√
2．设函数f(x)＝ ，则f(f(6))＝(　　)
A. 　　　 B．1　　　 C. 　　　 D.
∵f(6)＝ ＝ ≤1，
∴f(f(6))＝()2 1＝
C
3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则其解析式为________________．
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，又过点(1,2)，故k＝2，
∴f(x)＝2x；
当1当x≥2时，f(x)＝3.
综上f(x)＝
f(x)＝
4．已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象； (2)求f(x)的定义域和值域．
由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图象知，
当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0,1]．
1．分段函数是一个函数，而不是几个函数．
2．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．
3．分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．
本课小结