人教版（2019）数学必修第一册期末复习：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 课件（共50张PPT）

(共50张PPT)
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会利用三角函数模型解决一些简单的实际问题. 1.“五点法”作图及图象变换． 2.求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式． 3.三角函数图象与性质的综合问题． 1.直观想象．
2.数学建模．
3.数学运算．
课前自测
(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋(k∈Z)．(　　)
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　　)
×
(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin 的图象．(　　)
×
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)
×
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
√
×
2．为了得到y＝3cos 的图象，只需把y＝3cos 图象上的所有点的(　　)
A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D
√
3．(易错题)要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度　 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
y＝sin
向左平移个单位长度
y＝sin 4x的图象
y＝sin 的图象
A
4．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝_____________．
y＝2sin 2x
向左平移个单位长度
f(x)＝2sin
＝2sin
2sin
5．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则f(x)＝_____________．
所以f(x)＝2sin (2x－).
设f(x)的最小正周期为T，
根据题图可知， ＝ ，
所以T＝π，故ω＝2，
根据2sin＝0(增区间上的零点)
可知， ＋φ＝2kπ，k∈Z，
即φ＝2kπ－，k∈Z，
又|φ|＜ ，故φ＝－.
2sin (2x－)
考点梳理
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3. 三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)
常用结论
(1)对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系．y＝Asin(ωx＋φ)的图象有无数条对称轴，可由方程ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出；它还有无数个对称中心，即图象与x轴的交点，可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出．
(2)相邻两条对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．
常用结论
1
对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系．y＝Asin(ωx＋φ)的图象有无数条对称轴，可由方程ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出；它还有无数个对称中心，即图象与x轴的交点，可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出．
2
相邻两条对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．
常见误区
(2)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
!
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
典例剖析
考点
1
五点法作图及图象变换
[例1] 已知函数f(x)＝ sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
最小正周期T＝ ＝π.
[例1] 已知函数f(x)＝ sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
f(x)＝ sin 2x＋2cos2x＋a
＝ sin 2x＋cos 2x＋1＋a
＝2sin (2x)＋1＋a
f(x)的最大值为2，
所以a＝－1，
[例1] 已知函数f(x)＝ sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
x 0 π
2x＋ π 2π
f(x)＝2sin(2x) 1 2 0 －2 0 1
由(1)知f(x)＝2sin (2x) ，列表：
[例1] 已知函数f(x)＝ sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
画图如下．
变式探究
1．(变问法)若将本例中函数f(x)的图象向左平移个单位长度，把所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________________．
由[例1]知f(x)＝2sin (2x) ，
向左平移个单位长度
f(x)＝2sin [2(x) ]
＝2sin (2x)
把所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)
g(x) ＝2sin (x)
f(x)＝2sin (2x)
2sin (x)
2．(变问法)在本例条件下，函数y＝2cos 2x的图象向右平移________个单位得到y＝f(x)的图象．
由[例1]知f(x)＝2sin (2x) ，
向右平移个单位长度
向左平移个单位长度
y＝2cos 2x
y＝2sin(2x＋)
y＝2sin 2x
方法总结
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0的图象的两种作法
五点法 设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象
图象变 换法 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是ωx加减多少值．
注意　
跟踪训练
1．函数y＝ sin 的图象向左平移φ个单位长度，得到的函数是偶函数，则φ的最小正值是(　　)
A. B. C. D.
由k＝0可得φ的最小正值是.
函数y＝sin 向左平移φ个单位长度可得y＝sin ，
因为y＝ sin 是偶函数，
所以2φ＋ ＝ ＋kπ，k∈Z，φ＝ ＋ ，k∈Z，
A
2．(多选)分别对函数y＝sin x的图象进行如下变换：①先向左平移个单位长度，然后将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝f(x)的图象；②先将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象．则以下结论正确的是(　　)
A．f(x)与g(x)的图象重合
B. 为f(x)图象的一个对称中心
C．直线x＝－为函数g(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的图象向左平移个单位长度可得g(x)的图象
2．(多选)分别对函数y＝sin x的图象进行如下变换：①先向左平移个单位长度，然后将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝f(x)的图象；②先将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象．则以下结论正确的是(　　)
①
y＝sin x
向左平移个单位长度
y＝sin
各点的横坐标缩短到原来的倍
f(x)＝sin
②
y＝sin x
各点的横坐标缩短到原来的倍
y＝sin 2x
向左平移个单位长度
g(x)＝sin
＝sin
A．f(x)与g(x)的图象重合
×
2．(多选)分别对函数y＝sin x的图象进行如下变换：①先向左平移个单位长度，然后将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝f(x)的图象；②先将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象．则以下结论正确的是(　　)
A．f(x)与g(x)的图象重合
×
B. 为f(x)图象的一个对称中心
令2x＋ ＝kπ(k∈Z)，得
令k＝1，则可知选项B正确；
x＝π－(k∈Z)，
√
2．(多选)分别对函数y＝sin x的图象进行如下变换：①先向左平移个单位长度，然后将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝f(x)的图象；②先将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象．则以下结论正确的是(　　)
A．f(x)与g(x)的图象重合
×
B. 为f(x)图象的一个对称中心
√
C．直线x＝－为函数g(x)图象的一条对称轴
令k＝－1，则可知选项C正确．
令2x＋＝kπ ＋(k∈Z)，得x＝ ＋(k∈Z)，
√
2．(多选)分别对函数y＝sin x的图象进行如下变换：①先向左平移个单位长度，然后将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝f(x)的图象；②先将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象．则以下结论正确的是(　　)
A．f(x)与g(x)的图象重合
×
B. 为f(x)图象的一个对称中心
√
C．直线x＝－为函数g(x)图象的一条对称轴
√
D．f(x)的图象向左平移个单位长度可得g(x)的图象
g(x)＝sin＝sin[2 ]＝f ，
所以f(x)的图象向左平移个单位长度可得g(x)的图象.
√
BCD
考点
2
求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
[例2] (多选)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　)
A．sin B．sin
C．cos D．cos
[例2] (多选)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　)
A．sin B．sin
C．cos D．cos
由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，
所以＝π，ω＝±2.
当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，
将点代入得，sin ＝0，
所以2× ＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，
故y＝sin.
由于y＝sin＝sin[π－(2x＋)]＝sin，故选项B正确；
y＝sin(－2x)＝cos ＝cos，选项C正确；
√
√
对于选项A，当x＝时， sin＝1≠0，错误；
×
[例2] (多选)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　)
A．sin B．sin
C．cos D．cos
√
√
×
对于选项D，当x＝ ＝ 时，cos＝1≠－1，错误．
×
当ω＝－2时，y＝sin(－2x＋φ)，将代入，得sin(－2×＋φ)＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，所以y＝sin (－2x＋) ，但当x＝0时，y＝sin(－2x＋)＝－＜0，与图象不符合，舍去．
BC
方法总结
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝ ＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝ ＋2kπ(k∈Z)．
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝ ，b＝ .
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝ .
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
跟踪训练
1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的最小正周期是π，且当x＝ 时，f(x)取得最大值2，则f(x)＝______________．
所以φ＝ ，所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
又因为x＝时，f(x)取得最大值2.
所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，因为－<φ< ，
2sin
2．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________．
所以f(x)＝ cos (x＋ )，
由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.
又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，
所以φ＝＋kπ，k∈Z，
由0<φ<π，取k＝0，则φ＝，
所以f(1)＝－.
－
考点
3
函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的综合应用
角度一　三角函数模型的应用
[例3] 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到地面的距离是________米．
当t＝40时，f(t)＝3－2cos ＝4(米)．
[例3] 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到地面的距离是________米．
以圆心O1为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，
因为大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，
12秒旋转一周，
设∠OO1P＝θ，运动t秒后与地面的距离为f(t)，又周期T＝12，
所以θ＝ ·2π＝ t，
f(t)＝3＋2sin ＝3－2cos t (t≥0)，
4
方法总结
需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题，此类问题体现了数学建模核心素养，考查应用意识．
利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则；
(1)已知函数模型
(2)需要建立函数模型
三角函数模型在实际应用中体现的两个方面
角度二　方程根(函数零点)问题
[例4] 函数y＝sin 2x＋cos 2x－m在上有两个不同的零点，则m的取值范围是________．
所以y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：
函数y＝sin 2x＋cos 2x－m在上有两个不同的零点，
转化为m＝cos 2x＋ sin 2x＝2sin ，在x∈上有两个不同的实数根．
设2x＋＝t，则t∈，
所以题目条件可转化为＝sin t，在t∈上有两个不同的实数根．
由图象观察知， 的取值范围是，
故m的取值范围是(－2，－1)．
角度二　方程根(函数零点)问题
[例4] 函数y＝sin 2x＋cos 2x－m在上有两个不同的零点，则m的取值范围是_____________．
(－2，－1)
方法总结
两个函数图象的交点问题
三角函数的零点(方程根)个数问题
角度三　三角函数图象与性质的综合问题
[例5] (多选)将函数f(x)＝2sin －1的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( 　　)
AC
A．函数g(x)的最小正周期是π
B．函数g(x)的图象关于直线x＝－对称
C．函数g(x)在上单调递减
D．函数g(x)在上的最大值是1
g(x)＝2sin －1
＝2sin－1
函数g(x)的最小正周期T＝＝π
√
当x＝－时，函数y＝sin没有取得最值，因此g(x)的图象不关于直线x＝－对称
×
当x∈时，2x＋∈ ，此时函数g(x)单调递减
√
当x∈时，2x＋∈，sin∈ ，此时函数g(x)没有最大值
×
方法总结
先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
跟踪训练
(多选)已知函数f(x)＝sin ，则下列四个命题中正确的是(　　)
D．函数y＝|f(x)|的图象向左平移个单位长度后所得图象的对称轴方程为x＝ (k∈Z)
C．函数f(x)在区间上单调递增
B．f(x)＝ 是x＝的充分不必要条件
A．f(x)的最小正周期是π
T＝ ＝π
√
由f(x)＝得2x－＝2kπ＋或2x－＝2kπ＋ (k∈Z)，即x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，
必要不充分条件
×
由单调递减
×
由y＝|sin x|的图象的对称轴为直线x＝ (k∈Z)得y＝|sin 2x|的图象的对称轴为直线x＝ (k∈Z)
y＝ ＝|sin 2x|
√
AD
随堂训练
1．(多选)如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)的部分图象，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则下列命题正确的是(　　)
A．y＝g(x)是奇函数
B．函数g(x)的图象的对称轴是直线x＝kπ＋(k∈Z)
C．函数g(x)的图象的对称中心是(k∈Z)
D．函数g(x)的单调递减区间为(k∈Z)
随堂训练
1．(多选)如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)的部分图象，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则下列命题正确的是(　　)
依题意可得A＝2， ＝＋＝，故T＝π，T＝ ＝π，解得ω＝2.
f ＝2sin[2×＋φ]＝2sin ＝0，
因为0＜φ＜，所以φ＝，
故f(x)＝2sin .
将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)＝2sin 2x的图象，
随堂训练
1．(多选)如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)的部分图象，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则下列命题正确的是(　　)
A．y＝g(x)是奇函数
B．函数g(x)的图象的对称轴是直线x＝kπ＋(k∈Z)
C．函数g(x)的图象的对称中心是(k∈Z)
D．函数g(x)的单调递减区间为(k∈Z)
y＝g(x)＝2sin 2x
√
x＝ ＋(k∈Z)
×
(k∈Z)
×
√
AD
2．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是_______________．
向右平移个单位长度
横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
y＝sin x
y＝sin (x)
y＝sin (x)
y＝sin (x)
3．函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________．
向右平移个单位长度
y＝cos(2x＋φ)
y＝cos (2x－π＋φ)
与y＝sin的图象重合
cos (2x－π＋φ)＝sin
sin ＝sin
－＋φ＝－
φ＝
4．若f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ>0)的图象关于直线x＝ 对称，且当φ取最小值时， x0∈，使得f(x0)＝a，则a的取值范围是_____________．
所以－因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ>0)的图象关于直线x＝对称，
所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
所以φ＝kπ＋(k∈Z)，
又φ>0，所以当φ取最小值时，φ＝，f(x)＝2sin(2x＋) .
因为x0∈，所以2x0＋∈ ，
(－，2]
所以函数h(x)的单调递增区间为，k∈Z.
5．将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函数h(x)的单调递增区间；
(2)若g ＝ ，求h(α)的值．
(1)由已知可得g(x)＝sin(2x＋) ，
则h(x)＝sin 2x－sin(2x＋) ＝sin (2x).
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z.
5．将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函数h(x)的单调递增区间；
(2)若g ＝ ，求h(α)的值．
(2)
g＝
sin ＝sin ＝
sin ＝－
h(α)＝－
本课小结
y＝Asin(ωx＋φ)的图象、图象变换以及由图象求解析式，尤其是y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用是考查的热点，题型多以选择题为主，难度中等.