人教版（2019）数学必修第一册期末复习：三角函数的图象与性质(2) 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
三角函数的图象与性质(2)
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
典例剖析
考点
1
三角函数的周期性与奇偶性
[例1] (1)(多选)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，则下列结论正确的是( 　　)
f(x)＝－cos x
T＝ ＝2π
√
y＝cos x在上是减函数，所以函数f(x)在区间上是增函数
√
f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称
√
×
ABC
(2)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，则(　　)
A．ω＝2，θ＝ B．ω＝ ，θ＝
C．ω＝ ，θ＝ D．ω＝2，θ＝
又0＜θ＜π，所以θ＝ .
因为函数y＝2sin(ωx＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，
所以函数y＝2sin(ωx＋θ)的最小正周期是π.
由＝π得ω＝2.
因为函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，
所以θ＝ ＋kπ，k∈Z.
A
方法总结
利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为求解．　
三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
(1)奇偶性的判断方法
(2)周期的计算方法
跟踪训练
1．(多选)下列函数中，最小正周期为π的是(　　)
A．y＝cos|2x|
B．y＝|cos x|
C．y＝cos
D．y＝tan
y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π
√
最小正周期为π
√
最小正周期T＝ ＝π
√
最小正周期T＝
×
y＝|cos x|
ABC
2．设函数f(x)＝sin 的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　)
A．f(x)在上单调递增 B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增
因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，
所以f(x)＝sin .
f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，
所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)．
因为|φ|＜，所以φ＝－，
所以f(x)＝－cos 2x，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.
A
考点
2
三角函数的奇偶性、对称性
[例2] (多选)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) ，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f(x)的图象(　　)
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝ 对称 D．关于直线x＝ 对称
[例2] (多选)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) ，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f(x)的图象(　　)
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝ 对称 D．关于直线x＝ 对称
f(x)的最小正周期T＝2×＝，
所以ω＝＝4，
所以f(x)＝sin(4x＋φ)，
此时函数图象平移后所得图象对应的函数为y＝sin ＝sin ，
当函数y＝sin 的图象关于y轴对称时，必有＋φ＝kπ＋ (k∈Z)，
即φ＝kπ－(k∈Z)，
结合|φ|＜ ，得φ＝－，
所以由4x－＝nπ(n∈Z)，得x＝ ＋(n∈Z)，
当n＝0时，x＝，所以函数f(x)的图象的一个对称中心为，
由4x－ ＝mπ＋ (m∈Z)，得x＝ ＋ (m∈Z)，
当m＝0时，x＝ ，所以函数f(x)的图象关于直线x＝ 对称.
BD
方法总结
(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋ ，k∈Z，解得x＝ ，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝ ，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．
(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象的对称轴和对称中心求解．
三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法
跟踪训练
1．下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是(　　)
C
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝cos D．y＝sin
y＝－cos 2x
偶函数
×
y＝sin 2x
在上为减函数
×
y＝－sin 2x
奇函数
在上单调递增，且周期为π
√
y＝cos x
偶函数
×
2．(多选)已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)的图象关于y轴对称
D．f(x)在区间上单调递增
y＝cos 2x在上单调递减，
所以f(x)＝－cos 2x在上单调递增．
f(x)＝sin2x－cos2x＝－cos 2x
√
f(x)的最大值为1
×
f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．
√
ACD
√
考点
3
三角函数的图象与性质的综合问题
[例3] 已知函数f(x)＝sin(2π－x)·sin － cos2x＋ .
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈ 时，求f(x)的最小值和最大值．
[例3] 已知函数f(x)＝sin(2π－x)·sin － cos2x＋ .
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
f(x)＝(－sin x)(－cos x)－cos2x＋
＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－ (cos 2x＋1)＋
＝ sin 2x－ cos 2x＋
＝sin ＋
所以f(x)的最小正周期T＝ ＝π；
令2x－＝kπ＋ (k∈Z)，则x＝ ＋ (k∈Z)，
故所求图象的对称轴方程为x＝ ＋ (k∈Z)．
[例3] 已知函数f(x)＝sin(2π－x)·sin － cos2x＋ .
(2)当x∈ 时，求f(x)的最小值和最大值．
当0≤x≤ 时，－≤2x－≤ ，
由(1)知f(x) ＝sin ＋
即0≤sin(2x－)＋ ≤ .
故f(x)的最小值为0，最大值为.
由函数图象可知，－≤sin≤1，
方法总结
先将y＝f(x)化为y＝asin x＋bcos x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
解决三角函数图象与性质综合问题的方法
1．当x＝ 时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0)取得最小值，则函数y＝f 是(　　)
A．奇函数且图象关于直线x＝ 对称
B．偶函数且图象关于直线x＝ 对称
C．奇函数且图象关于点对称
D．偶函数且图象关于点对称
跟踪训练
D
＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z
f(x)＝Asin(A>0)
y＝f ＝Asin ＝－Acos x
函数y＝f 为偶函数且图象关于点对称
2．函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递增，且图象关于直线x＝－π对称，则ω的值为________．
得ω＝－k－ (k∈Z)，又0＜ω≤ ，所以ω＝ .
因为函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递增，
所以，
得0＜ω≤ .
又函数f(x)＝sin (ω＞0)的图象关于直线x＝－π对称，
所以－π·ω＋＝kπ＋ (k∈Z)，
随堂训练
1．(多选)已知函数f(x)＝sin2x＋ sin xcos x＋ ，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的最大值为1
B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)的图象关于点对称
D．f(x)的图象关于直线x＝ 对称
f(x)＝sin2x＋ sin xcos x＋
＝ ＋ sin 2x ＋
＝sin＋1
所以函数f(x)的最大值为2，最小正周期为π
×
×
所以函数f(x)的图象关于点对称.
由2x－＝kπ，k∈Z，得x＝ ，k∈Z，
当k＝1时x＝ ，
√
所以函数f(x)的图象关于直线x＝ 对称
由2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝ ，k∈Z，
当k＝0时x＝，
√
CD
2．已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则ω＝________．
ωπ－＝kπ＋ ，k∈Z
ω＝k＋
ω∈(1，2)
ω＝
3．已知函数f(x)＝ cos xsin x(x∈R)，给出下列四个命题：
①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；
②f(x)的最小正周期是2π；
③f(x)在区间上是增函数；
④f(x)的图象关于直线x＝ 对称．
其中真命题是________．(填序号)
f(x)＝sin 2x
当x1＝0，x2＝时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2
×
f(x)的最小正周期为π
×
当x∈时，2x∈
√
f＝ sin ＝－，所以f(x)的图象关于直线x＝ 对称
√
③④
结合正弦函数图象的特征可知＝ ，k∈N，
符合条件的ω的值有9个．
设函数f(x)的最小正周期为T，
由f＝2，f(π)＝0，
故T＝ ，k∈N；
又因为f(x)在区间上单调，
所以－ ≤ ，故T≥ ，
所以ω＝ ≤12，即≤12，
所以k≤ ，k∈N，所以k＝0，1，2，…，8，
4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)满足f＝2，f(π)＝0，且f(x)在区间上单调，则符合条件的ω的值有________个．
9
5．已知函数f(x)＝2cos2 ＋2sin ·sin .求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心．
＝cos ＋1＋2sin sin
所以函数f(x)的最小正周期为＝π，图象的对称中心为，k∈Z.
f(x)＝2cos2＋2sin ·sin
＝cos＋2sin cos ＋1
＝ cos 2x＋ sin 2x＋sin ＋1
＝ sin 2x－ cos 2x＋1
＝sin ＋1，
本课小结
　　本节知识以考查三角函数的性质为主，题目涉及单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.