人教版（2019）数学必修第一册期末复习：三角恒等变换(2) 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
三角恒等变换(2)
典例剖析
考点
1
三角函数式的化简
[例1] 化简：(1) －2cos(α＋β)；
(2) .
[例1] 化简：(1) －2cos(α＋β)；
＝
原式＝
＝
＝
＝
＝ .
[例1] 化简：(2) .
＝ ·
原式＝
＝ ·
＝ .
方法总结
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
跟踪训练
1. 等于(　　)
A．－sin α B．－cos α
C．sin α D．cos α
D
＝cos α.
原式＝
＝
2．(一题多解)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ cos 2αcos 2β.
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
方法一 (从“角”入手，化复角为单角)
原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ (2cos2α－1)(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－
＝1－
＝
2．(一题多解)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ cos 2αcos 2β.
＝
方法二 (从“名”入手，化异名为同名)
原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－ cos 2αcos 2β
＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－ cos 2αcos 2β
＝cos2β－sin2αcos 2β－ cos 2αcos 2β
＝cos2β－cos 2β(sin2α ＋ cos 2α)
＝ － cos 2β
考点
2
三角函数式的求值
角度一　给角求值
[例2] 计算＝___________．
=
=
=
=
=
方法总结
观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为：
给角求值问题的解题策略
在三角函数的给角求值问题中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角与特殊角总有一定关系．
基本思路　
角度二　给值求值
[例3] (1) 已知sin α＋cos α＝ ，则cos ＝(　　)
A．－ B． C．－ D．
cos ＝2cos2－1＝2×()2－1＝－
C
sin α＋cos α＝
2cos ＝
cos＝
(2)已知tan 2α＝ ，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin 的值为(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝－ .
A
由tan 2α＝，即＝ ，
得tan α＝或tan α＝－3.
又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，
所以sin α≤0，
tan α＝－3，
所以sin α＝－，cos α＝ ，
方法总结
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解．
已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值．
解题关键：把“所求角”用“已知角”表示
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式或和或差的二倍形式；
给值求值问题的解题策略
角度三　给值求角
[例4] (一题多解)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为 ，点Q的纵坐标为 ，则2α－β的值为________．
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝ × － × ＝ .
法一
由已知可知cos α＝ ，sin β＝ .
又α，β为锐角，所以sin α＝ ，cos β＝ .
因此cos 2α＝2cos2α－1＝ ，sin 2α＝2sin αcos α＝ ，
因为α为锐角，所以0＜2α＜π.
又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－ ＜2α－β＜ ，
又sin(2α－β)＝ ，所以2α－β＝.
角度三　给值求角
[例4] (一题多解)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为 ，点Q的纵坐标为 ，则2α－β的值为________．
法二
所以sin(α－β)＞0，故α－β∈ ，
同方法一得，cos β＝ ，sin α＝ .
因为α，β为锐角，所以α－β∈ .
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝ × － × ＝ .
故cos(α－β)＝ ＝ ＝ .
角度三　给值求角
[例4] (一题多解)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为 ，点Q的纵坐标为 ，则2α－β的值为________．
法二
又α∈，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．
所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
所以2α－β＝ .
＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)
＝ × － ×
＝
方法总结
若角的范围为，选正弦较好．
给值求角的原则
已知正切函数值，选正切函数；
已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
若角的范围是，选正、余弦皆可；
若角的范围是(0，π)，选余弦较好；
跟踪训练
1．已知tan ＝ ，且α为第二象限角，若β＝ ，则sin(α－2β)cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝(　　)
A．－ B． C．－ D．
sin(α－2β)·cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝sin(α－4β)
D
tan＝＝
tan α＝－
α为第二象限角
cos α＝－
＝sin
＝－cos α＝ .
2．已知锐角α的终边上一点P(sin 40°，1＋cos 40°)，则锐角α＝(　　)
A．80° B．70° C．20° D．10°
由α为锐角，可知α为70°.
B
由题意可知sin 40°＞0，1＋cos 40°＞0，
OP的斜率tan α＝ ＝ ＝tan 70°
3．已知tan ＝ ，且－ ＜α＜0，则＝(　　)
A．－ B．－ C．－ D.
＝
A
因为tan ＝ ＝ ，所以tan α＝－ ，
因为tan α＝ ＝－ ，sin2α＋cos2α＝1，α∈ ，
所以sin α＝－.
所以＝
＝－
＝2sin α
＝2×(－)
随堂训练
1．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α的始边上有一点A，终边上有一点B(－m，2m)(m＞0)，满足|OA|＝|OB|，若∠OAB＝θ，则＝(　　)
A． B．2 C．4 D．1
所以＝ ＝tan θ＋tan2θ＝1.
因为α的终边上有一点B(－m，2m)(m＞0)，所以tan α＝－2.
由三角形内角和定理得α＋2θ＝π，
所以tan 2θ＝tan(π－α)＝－tan α＝2，即＝2，整理得tan θ＋tan2θ＝1，
D
2．已知cos －sin α＝ ，则sin ＝________．
cos －sin α＝ cos α－ sin α－sin α
＝ cos α－ sin α
＝ (cos α－ sin α)
＝ cos
＝ sin
＝
sin ＝
sin ＝－sin[2]
＝－sin
＝－
－
3．化简： ＝________．
＝－4
原式＝
＝
＝
＝－4tan(45°＋15°)
－4
4．已知α，β为锐角，且(1－ tan α)(1－ tan β)＝4，则α＋β＝________．
因为α，β为锐角，所以0＜α＋β＜π，则α＋β＝ .
1－ (tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4
－ (tan α＋tan β)＝3－3tan αtan β
tan α＋tan β＝－ (1－tan αtan β)
则tan(α＋β)＝ ＝＝－.
tan(α＋β)＝
5．已知tan α＝－ ，cos β＝ ，α∈ ，β∈ ，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
＝ ＝1
cos β＝
β∈
sin β＝
tan β＝2
α∈，β∈
<α＋β<
α＋β＝
本课小结
三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择题、填空题、解答题均有可能出现，中低档难度.