2022-2023学年沪科版九年级上册 解直角三角形单元检测卷
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．（2022·北部湾）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 ，则高BC是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
2．（2021九上·临清期中）如图，河坝横断面迎水坡的坡比为：，坝高m，则的长度为（ ）
A．6m B．m C．9m D．m
3．（2021九上·潍城期中）在中，，都是锐角，且，，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
4．（2021九上·牟平期中）如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是（ ）
A．m B．m C．m D．m
5．（2022·资阳）如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·诸暨期末）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．（2021九上·历城期末）如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，米，米，则宣传牌CD的高度是（ ）米
A． B． C． D．
8．（2021九上·运城期末）如图，在矩形中，，点是上一点，将沿直线折叠，点落在矩形的内部点处，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·天津）的值等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
10．（2022·泸州）如图，在边长为3的正方形中，点是边上的点，且，过点作的垂线交正方形外角的平分线于点，交边于点，连接交边于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题（每空5分，共30分）
11．（2021九上·临清期中）在中，，，，那么AB的长为 ．
12．（2022九上·惠州开学考）若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 ，且高为 ，则这个等腰三角形的腰长为 ，面积为 ．
13．（2022八下·广陵期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 ．
14．（2022八下·来宾期末）小明用一块含有角（）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示．若小明的眼睛与地面之间的垂直高度为，小明与树之间的水平距离为，则这棵树的高度约为 ．（结果精确到，参考数据：）
15．（2022·大连）如图，对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．连接，若，，则的长是 ．
三、计算题（共10分）
16．（2021九上·莘县期中）化简：
（1）
（2）．
四、作图题（共13分）
17．（2021九上·铁西期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点和点P均在格点上．请按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在图①中画一条以P为端点的射线，使其平分线段，点C在线段上；
（2）在图②中画一条以P为端点的射线，使其分线段为1：3两部分，点D在线段上；
（3）在图③中画一条以P为端点的射线，使，点E在线段上．
五、解答题（共5题，共57分）
18．（2021九上·福山期中）如图，甲楼高，在甲楼楼顶处、楼底处分别测得乙楼楼顶处的仰角为，．，垂足为点．求乙楼的高度．
19．（2021九上·烟台期中）如图，矩形中，是边上一动点，过点的反比例函数的图象与边相交于点．
（1）点运动到边的中点时，求反比例函数的表达式；
（2）连接，求的值．
20．（2022·萧山模拟）如图， 中， ，点 是边 的中点，以 为底边在其右侧作等腰三角形 ，使 ，连结 ，则：
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： .
21．（2022·宣州模拟）为了节能减排，越来越多的市民使用共享电动车，图1为电动车实物图，图2为电动车示意图，AB与地面平行，已知车轮半径为15cm，BE＝40cm，∠ABE＝60°，若坐垫厚度为EM＝12cm，求坐垫M离地面的高度．（结果精确到1cm）（参考数据：）
22．（2022·衢州）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
（1）求证：.
（2）若．
①求菱形的面积.
②求的值.
（3）若，当的大小发生变化时（），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα= ，
∴BC= sinα AB=12 sinα（米）.
故答案为：A.
【分析】根据三角函数的概念可得BC=AB·sinα，据此计算.
2．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：迎水坡的坡比为：，
，即，
解得，，
由勾股定理得，，
故答案为：A．
【分析】利用坡度比可得，即，再求出AC的长，最后利用勾股定理求出AB的长即可。
3．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴是等边三角形
故答案为：C
【分析】利用特殊角的三角函数值求出，再利用三角形的内角和求出∠C的度数，即可得到答案。
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，由题意可知CE∥BD，
∴∠CBA=30°，∠CAD=45°，且CD=3000m，
在Rt△ACD中，AD=CD=3000m，
在Rt△BCD中，
BD===m，
∴AB=BD﹣AD=﹣3000=（m），
故答案为：C．
【分析】先求出∠CBA=30°，∠CAD=45°，且CD=3000m，再利用锐角三角函数计算求解即可。
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形中，，
∴，
∵点A与圆心O重合，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴
故答案为：B.
【分析】连接CO，且直线l与AO交于点D，则OA=OC=2，AD=OD=1，根据三角函数的概念求出cos∠COD的值，得到∠COD的度数，由勾股定理可得CD，然后根据S阴影=S扇形AOC-S△AOC结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接CD
∵， ，
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】连接小正方形的对角线CD，计算BC、CD、BD的长度，可知 ，进而证明 是直角三角形，再利用 ，代入数据计算即可得到答案.
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】过点B分别作AE、DE的垂线，垂足分别为G、F，如图
在Rt△ABG中，∠BAG=30゜
∴米，（米）
∴米
∵BG⊥AE，BF⊥ED，AE⊥ED
∴四边形BGEF是矩形
∴EF=BG=5米，米
∵∠CBF=45゜，BF⊥ED
∴∠BCF=∠CBF=45゜
∴米
在Rt△DAE中，∠DAE=60゜，AE=15米
∴(米)
∴米
故答案为：A
【分析】过点B分别作AE、DE的垂线，垂足分别为G、F，由图可知CD=CE-DE=CF+EF-DE，利用解直角三角形求出CF、EF、DE即可。
8．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点分别作的垂线交于，如下图：
根据翻折的性质，
，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
解得：，
，
故答案为：A．
【分析】过点分别作的垂线交于，根据折叠的性质可得AB=AF=5，再根据可得，再利用线段的和差求出MF的长，再利用求出ME的长，最后利用勾股定理求出EF的长即可。
9．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：
∴∠B=90°-45°=45°，
∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
∴根据正切定义，，
∵∠A=45°，
∴，
故答案为： B．
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
10．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：在AD上截取AG=AE连接GE，延长BA至H，使AH=CN连接EN，
为正方形外角的平分线，
在和中，
在和中，
在和中，
设则
在中，
故答案为：B.
【分析】在AD上截取AG=AE，连接GE，延长BA至H，使AH=CN，连接EN，根据正方形的性质可得AD=AB，则DG=BE，根据同角的余角相等可得∠ADE=∠BEF，根据等腰直角三角形的性质可得∠AGE=∠AEG=45°，则∠EGD=135°，易得∠EBF=135°，证明△EGD≌△FBE，△DCN≌△DHA，得到ED=FE，DN=DH，∠CDN=∠ADH，进而证明△NDE≌△HDE，得到EN=EH，易得AE=1，BE=2，设CN=x，则BN=3-x，利用勾股定理可得x，根据∠ADE=∠BEM结合三角函数的概念可得BM，然后根据MN=BC-CN-BM进行计算.
11．【答案】8
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴AB=＝＝8，
故答案为：8．
【分析】根据，再根据AC=6，求出AB=＝＝8即可。
12．【答案】6cm；cm2
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠ABD=90°，
∵∠B=60°，AD=3，
∴BC=AB==6，
∴S=，
∴腰长为6cm，面积为cm2.
故答案为：6cm；cm2.
【分析】根据等边三角形的判定和锐角三角函数的定义求出BC=AB=6，再根据三角形的面积公式求出三角形的面积，即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】垂线段最短；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过P作PE⊥BC所在直线于E，过M作MF⊥BC于F，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC=10，
∴AB=BC=AB=AD=CD=10，
∴△ABC与△ACD均为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADC=60°，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴ BD平分∠ABC，
∴∠CBO=，
∴PE=BP，
∴PM+BP=PM+PE≤MF，
∵点P在BD上，
∴当M，P，E三点共线时最短，MP+PB最小=MF，
∵AM=3，
∴CM=AC-AM=10-3=7，
在Rt△MFC中，∠MCF=60°，
∴sin∠MCF=，
∴MF=MCsin60°=，
∴MP+PB最小=MF=．
故答案为：.
【分析】过P作PE⊥BC所在直线于E，过M作MF⊥BC于F，根据菱形的性质结合已知条件可得AB=BC=AB=AD=CD=10，推出△ABC与△ACD均为等边三角形，得∠ABC=∠ACB=∠ADC=60°，根据菱形的性质可得∠CBO=∠ABC=30°，由含30°角的直角三角形的性质可得PE=BP，则PM+BP=PM+PE≤MF，故当M，P，E三点共线时最短，MP+PB最小=MF，易得CM=AC-AM=7，根据三角函数的概念可得MF，据此解答.
14．【答案】8.4
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：易知四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4m，CD=AB=1.60m，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠DAE=60°，
∴tan∠DAE=，即tan60°=，
∴DE=4 tan60°=4×≈4×1.70=6.80(m)，
∴CE=CD+DE=6.80+1.60≈8.4(m).
故答案为：8.4.
【分析】由题意可得四边形ABCD是矩形，则AD=BC=4m，CD=AB=1.60m，根据三角函数的概念可得DE，然后根据CE=CD+DE进行计算.
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如下图所示，设交BM于点O，连接AO，
∵点E是中点，
∴在和 中，，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出四边形是平行四边形，再求出，最后求解即可。
16．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可；
（2）先利用负指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值、0指数幂和绝对值的性质化简，再计算即可。
17．【答案】（1）解：如图①，射线即为所求；
（2）解：如图②，射线即为所求；
（3）解：如图③，射线即为所求．
【知识点】锐角三角函数的定义；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据 在图②中画一条以P为端点的射线，使其分线段为1：3两部分，点D在线段上 ，作图即可；
（3）根据 ， 作图即可。
18．【答案】解：设．
在中，
∵，
∴．
∴．
在中，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
答：乙楼的高度为60米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
19．【答案】（1）解：是的中点，
，
点的坐标为，
将点的坐标为代入得：
∴，
∴反比例函数的表达式；
（2）解：点的横坐标为4，代入，
，
，
，
点的纵坐标为3，代入，
，即，
，
，
所以．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）先求出BF的值，再求出F点的坐标，最后求函数解析式即可；
（2）先求出BF=，再利用锐角三角函数计算求解即可。
20．【答案】（1）证明： ，点 是边 的中点，
，
，
，
，
；
（2）证明：过点 作 ，垂足为 ，设 与 交于点 ，
，点 是边 的中点，
，
，
， ，
是 的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
.
【知识点】平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD=BD=BC，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠DAB，由已知条件知∠ADE=∠B，则∠ADE=∠BAD，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）过点E作EF⊥CD，垂足为F，设DE与AC交于点G， 根据平行线的性质可得∠BAC=∠DGC=90°，∠B=∠EDC，根据垂直平分线的性质可得EA=EC，根据等腰三角形的性质可得EA=ED，则DE=EC，∠EDC=∠C，CF=CD，∠B=∠C，根据三角函数的概念可得CE=2CD，据此证明.
21．【答案】解：如图，设车后轮与地面的交点为点O，连接，过点E作地面的垂线，垂足为点P，与交于点Q，
，
，
由圆的切线的性质得：，
则四边形是矩形，
，
，
，
，
，
答：坐垫M离地面的高度约为．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】设车后轮与地面的交点为点O，连接，过点E作地面的垂线，垂足为点P，与交于点Q，利用锐角三角函数求出，再利用线段的和差可得。
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，AB CD，
∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC，
∵ 平分 交 于点G，
∴∠CBG＝∠EBG＝ ∠CBE，
∴∠CBD＋∠CBG＝ （∠ABC＋∠CBE）＝ ×180°＝90°，
∴∠DBG＝90°；
（2）解：①如图1，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，
∴OD＝ BD＝3，AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
在Rt△DOC中，OC＝ ，
∴AC＝2OC＝8，
∴ ，
即菱形 的面积是24．
②如图2，连接AC，分别交BD、DE于点O、H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠DBG＝90°
∴BG⊥BD，
∴BG AC，
∴ ，
∴DH＝HG，DG＝2DH，
∵DG＝2GE，
∴EG＝DH＝HG，
∴ ，
∵AB CD，
∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH，
∴△CDH∽△AEH，
∴ ，
∴CH＝ AC＝ ，
∴OH＝OC－CH＝4－ ＝ ，
∴tan∠BDE＝ ；
（3）解：如图3，过点G作GT BC交AE于点T，此时ET＝ ．
理由如下：由题（1）可知，当∠DAB的大小发生变化时，始终有BG AC，
∴△BGE∽△AHE，
∴ ，
∵AB＝BE＝5，
∴EG＝GH，
同理可得，△DOH∽△DBG，
∴ ，
∵BO＝DO，
∴DH＝GH＝EG，
∵GT BC，
∴GT AD，
∴△EGT∽△EDA，
∴ ，
∵AD＝AB＝5，
∴GT＝ ，为定值，
此时ET＝ AE＝ （AB＋BE）＝ ．
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质可证得BC=DC，AB∥CD，利用平行线的性质和等腰三角形的性质可证得∠BDC=∠CBD，∠BDC=∠ABD，从而可推出∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC；再利用角平分线的定义可证得∠CBG=∠EBG=∠CBE，由此可求出∠DBG的度数.
（2）①连接AC交BD于点O，利用菱形的性质可求出OD的长，同时可证得AC⊥BD，利用垂直的定义可证得∠DOC=90°；利用勾股定理求出OC的长，即可得到AC的长；然后利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，可求出菱形ABCD的面积；
②连接AC，分别交BD、DE于点O、H，利用菱形的对角线互相垂直，去证明BG∥AC，利用平行线分线段成比例定理可求出DH与DG的比值，可得到DH＝HG，DG＝2DH，同时可求出DH和EH的比值；再证明△CDH∽△AEH，利用相似三角形的对应边成比例可求出CH的长，利用HO=OC-CH，可求出HO的长；然后利用锐角三角函数的定义求出tan∠DBE的值.
（3）过点G作GT∥BC交AE于点T，一组△BGE∽△AHE，利用相似三角形的对应边成比例，可证得EG=GH；同理可证得△DOH∽△DBG，可推出DH＝GH＝EG；利用GT∥AD，可证得△EGT∽△EDA，利用相似三角形的对应边成比例，可求出GT的长；然后求出ET的长.
1 / 12022-2023学年沪科版九年级上册 解直角三角形单元检测卷
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．（2022·北部湾）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 ，则高BC是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα= ，
∴BC= sinα AB=12 sinα（米）.
故答案为：A.
【分析】根据三角函数的概念可得BC=AB·sinα，据此计算.
2．（2021九上·临清期中）如图，河坝横断面迎水坡的坡比为：，坝高m，则的长度为（ ）
A．6m B．m C．9m D．m
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：迎水坡的坡比为：，
，即，
解得，，
由勾股定理得，，
故答案为：A．
【分析】利用坡度比可得，即，再求出AC的长，最后利用勾股定理求出AB的长即可。
3．（2021九上·潍城期中）在中，，都是锐角，且，，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴是等边三角形
故答案为：C
【分析】利用特殊角的三角函数值求出，再利用三角形的内角和求出∠C的度数，即可得到答案。
4．（2021九上·牟平期中）如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是（ ）
A．m B．m C．m D．m
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，由题意可知CE∥BD，
∴∠CBA=30°，∠CAD=45°，且CD=3000m，
在Rt△ACD中，AD=CD=3000m，
在Rt△BCD中，
BD===m，
∴AB=BD﹣AD=﹣3000=（m），
故答案为：C．
【分析】先求出∠CBA=30°，∠CAD=45°，且CD=3000m，再利用锐角三角函数计算求解即可。
5．（2022·资阳）如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形中，，
∴，
∵点A与圆心O重合，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴
故答案为：B.
【分析】连接CO，且直线l与AO交于点D，则OA=OC=2，AD=OD=1，根据三角函数的概念求出cos∠COD的值，得到∠COD的度数，由勾股定理可得CD，然后根据S阴影=S扇形AOC-S△AOC结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
6．（2022九上·诸暨期末）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接CD
∵， ，
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】连接小正方形的对角线CD，计算BC、CD、BD的长度，可知 ，进而证明 是直角三角形，再利用 ，代入数据计算即可得到答案.
7．（2021九上·历城期末）如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，米，米，则宣传牌CD的高度是（ ）米
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】过点B分别作AE、DE的垂线，垂足分别为G、F，如图
在Rt△ABG中，∠BAG=30゜
∴米，（米）
∴米
∵BG⊥AE，BF⊥ED，AE⊥ED
∴四边形BGEF是矩形
∴EF=BG=5米，米
∵∠CBF=45゜，BF⊥ED
∴∠BCF=∠CBF=45゜
∴米
在Rt△DAE中，∠DAE=60゜，AE=15米
∴(米)
∴米
故答案为：A
【分析】过点B分别作AE、DE的垂线，垂足分别为G、F，由图可知CD=CE-DE=CF+EF-DE，利用解直角三角形求出CF、EF、DE即可。
8．（2021九上·运城期末）如图，在矩形中，，点是上一点，将沿直线折叠，点落在矩形的内部点处，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点分别作的垂线交于，如下图：
根据翻折的性质，
，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
解得：，
，
故答案为：A．
【分析】过点分别作的垂线交于，根据折叠的性质可得AB=AF=5，再根据可得，再利用线段的和差求出MF的长，再利用求出ME的长，最后利用勾股定理求出EF的长即可。
9．（2022·天津）的值等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：
∴∠B=90°-45°=45°，
∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
∴根据正切定义，，
∵∠A=45°，
∴，
故答案为： B．
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
10．（2022·泸州）如图，在边长为3的正方形中，点是边上的点，且，过点作的垂线交正方形外角的平分线于点，交边于点，连接交边于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：在AD上截取AG=AE连接GE，延长BA至H，使AH=CN连接EN，
为正方形外角的平分线，
在和中，
在和中，
在和中，
设则
在中，
故答案为：B.
【分析】在AD上截取AG=AE，连接GE，延长BA至H，使AH=CN，连接EN，根据正方形的性质可得AD=AB，则DG=BE，根据同角的余角相等可得∠ADE=∠BEF，根据等腰直角三角形的性质可得∠AGE=∠AEG=45°，则∠EGD=135°，易得∠EBF=135°，证明△EGD≌△FBE，△DCN≌△DHA，得到ED=FE，DN=DH，∠CDN=∠ADH，进而证明△NDE≌△HDE，得到EN=EH，易得AE=1，BE=2，设CN=x，则BN=3-x，利用勾股定理可得x，根据∠ADE=∠BEM结合三角函数的概念可得BM，然后根据MN=BC-CN-BM进行计算.
二、填空题（每空5分，共30分）
11．（2021九上·临清期中）在中，，，，那么AB的长为 ．
【答案】8
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴AB=＝＝8，
故答案为：8．
【分析】根据，再根据AC=6，求出AB=＝＝8即可。
12．（2022九上·惠州开学考）若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 ，且高为 ，则这个等腰三角形的腰长为 ，面积为 ．
【答案】6cm；cm2
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠ABD=90°，
∵∠B=60°，AD=3，
∴BC=AB==6，
∴S=，
∴腰长为6cm，面积为cm2.
故答案为：6cm；cm2.
【分析】根据等边三角形的判定和锐角三角函数的定义求出BC=AB=6，再根据三角形的面积公式求出三角形的面积，即可得出答案.
13．（2022八下·广陵期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过P作PE⊥BC所在直线于E，过M作MF⊥BC于F，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC=10，
∴AB=BC=AB=AD=CD=10，
∴△ABC与△ACD均为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADC=60°，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴ BD平分∠ABC，
∴∠CBO=，
∴PE=BP，
∴PM+BP=PM+PE≤MF，
∵点P在BD上，
∴当M，P，E三点共线时最短，MP+PB最小=MF，
∵AM=3，
∴CM=AC-AM=10-3=7，
在Rt△MFC中，∠MCF=60°，
∴sin∠MCF=，
∴MF=MCsin60°=，
∴MP+PB最小=MF=．
故答案为：.
【分析】过P作PE⊥BC所在直线于E，过M作MF⊥BC于F，根据菱形的性质结合已知条件可得AB=BC=AB=AD=CD=10，推出△ABC与△ACD均为等边三角形，得∠ABC=∠ACB=∠ADC=60°，根据菱形的性质可得∠CBO=∠ABC=30°，由含30°角的直角三角形的性质可得PE=BP，则PM+BP=PM+PE≤MF，故当M，P，E三点共线时最短，MP+PB最小=MF，易得CM=AC-AM=7，根据三角函数的概念可得MF，据此解答.
14．（2022八下·来宾期末）小明用一块含有角（）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示．若小明的眼睛与地面之间的垂直高度为，小明与树之间的水平距离为，则这棵树的高度约为 ．（结果精确到，参考数据：）
【答案】8.4
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：易知四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4m，CD=AB=1.60m，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠DAE=60°，
∴tan∠DAE=，即tan60°=，
∴DE=4 tan60°=4×≈4×1.70=6.80(m)，
∴CE=CD+DE=6.80+1.60≈8.4(m).
故答案为：8.4.
【分析】由题意可得四边形ABCD是矩形，则AD=BC=4m，CD=AB=1.60m，根据三角函数的概念可得DE，然后根据CE=CD+DE进行计算.
15．（2022·大连）如图，对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．连接，若，，则的长是 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如下图所示，设交BM于点O，连接AO，
∵点E是中点，
∴在和 中，，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出四边形是平行四边形，再求出，最后求解即可。
三、计算题（共10分）
16．（2021九上·莘县期中）化简：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可；
（2）先利用负指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值、0指数幂和绝对值的性质化简，再计算即可。
四、作图题（共13分）
17．（2021九上·铁西期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点和点P均在格点上．请按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在图①中画一条以P为端点的射线，使其平分线段，点C在线段上；
（2）在图②中画一条以P为端点的射线，使其分线段为1：3两部分，点D在线段上；
（3）在图③中画一条以P为端点的射线，使，点E在线段上．
【答案】（1）解：如图①，射线即为所求；
（2）解：如图②，射线即为所求；
（3）解：如图③，射线即为所求．
【知识点】锐角三角函数的定义；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据 在图②中画一条以P为端点的射线，使其分线段为1：3两部分，点D在线段上 ，作图即可；
（3）根据 ， 作图即可。
五、解答题（共5题，共57分）
18．（2021九上·福山期中）如图，甲楼高，在甲楼楼顶处、楼底处分别测得乙楼楼顶处的仰角为，．，垂足为点．求乙楼的高度．
【答案】解：设．
在中，
∵，
∴．
∴．
在中，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
答：乙楼的高度为60米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
19．（2021九上·烟台期中）如图，矩形中，是边上一动点，过点的反比例函数的图象与边相交于点．
（1）点运动到边的中点时，求反比例函数的表达式；
（2）连接，求的值．
【答案】（1）解：是的中点，
，
点的坐标为，
将点的坐标为代入得：
∴，
∴反比例函数的表达式；
（2）解：点的横坐标为4，代入，
，
，
，
点的纵坐标为3，代入，
，即，
，
，
所以．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）先求出BF的值，再求出F点的坐标，最后求函数解析式即可；
（2）先求出BF=，再利用锐角三角函数计算求解即可。
20．（2022·萧山模拟）如图， 中， ，点 是边 的中点，以 为底边在其右侧作等腰三角形 ，使 ，连结 ，则：
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： .
【答案】（1）证明： ，点 是边 的中点，
，
，
，
，
；
（2）证明：过点 作 ，垂足为 ，设 与 交于点 ，
，点 是边 的中点，
，
，
， ，
是 的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
.
【知识点】平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD=BD=BC，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠DAB，由已知条件知∠ADE=∠B，则∠ADE=∠BAD，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）过点E作EF⊥CD，垂足为F，设DE与AC交于点G， 根据平行线的性质可得∠BAC=∠DGC=90°，∠B=∠EDC，根据垂直平分线的性质可得EA=EC，根据等腰三角形的性质可得EA=ED，则DE=EC，∠EDC=∠C，CF=CD，∠B=∠C，根据三角函数的概念可得CE=2CD，据此证明.
21．（2022·宣州模拟）为了节能减排，越来越多的市民使用共享电动车，图1为电动车实物图，图2为电动车示意图，AB与地面平行，已知车轮半径为15cm，BE＝40cm，∠ABE＝60°，若坐垫厚度为EM＝12cm，求坐垫M离地面的高度．（结果精确到1cm）（参考数据：）
【答案】解：如图，设车后轮与地面的交点为点O，连接，过点E作地面的垂线，垂足为点P，与交于点Q，
，
，
由圆的切线的性质得：，
则四边形是矩形，
，
，
，
，
，
答：坐垫M离地面的高度约为．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】设车后轮与地面的交点为点O，连接，过点E作地面的垂线，垂足为点P，与交于点Q，利用锐角三角函数求出，再利用线段的和差可得。
22．（2022·衢州）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
（1）求证：.
（2）若．
①求菱形的面积.
②求的值.
（3）若，当的大小发生变化时（），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，AB CD，
∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC，
∵ 平分 交 于点G，
∴∠CBG＝∠EBG＝ ∠CBE，
∴∠CBD＋∠CBG＝ （∠ABC＋∠CBE）＝ ×180°＝90°，
∴∠DBG＝90°；
（2）解：①如图1，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，
∴OD＝ BD＝3，AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
在Rt△DOC中，OC＝ ，
∴AC＝2OC＝8，
∴ ，
即菱形 的面积是24．
②如图2，连接AC，分别交BD、DE于点O、H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠DBG＝90°
∴BG⊥BD，
∴BG AC，
∴ ，
∴DH＝HG，DG＝2DH，
∵DG＝2GE，
∴EG＝DH＝HG，
∴ ，
∵AB CD，
∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH，
∴△CDH∽△AEH，
∴ ，
∴CH＝ AC＝ ，
∴OH＝OC－CH＝4－ ＝ ，
∴tan∠BDE＝ ；
（3）解：如图3，过点G作GT BC交AE于点T，此时ET＝ ．
理由如下：由题（1）可知，当∠DAB的大小发生变化时，始终有BG AC，
∴△BGE∽△AHE，
∴ ，
∵AB＝BE＝5，
∴EG＝GH，
同理可得，△DOH∽△DBG，
∴ ，
∵BO＝DO，
∴DH＝GH＝EG，
∵GT BC，
∴GT AD，
∴△EGT∽△EDA，
∴ ，
∵AD＝AB＝5，
∴GT＝ ，为定值，
此时ET＝ AE＝ （AB＋BE）＝ ．
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质可证得BC=DC，AB∥CD，利用平行线的性质和等腰三角形的性质可证得∠BDC=∠CBD，∠BDC=∠ABD，从而可推出∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC；再利用角平分线的定义可证得∠CBG=∠EBG=∠CBE，由此可求出∠DBG的度数.
（2）①连接AC交BD于点O，利用菱形的性质可求出OD的长，同时可证得AC⊥BD，利用垂直的定义可证得∠DOC=90°；利用勾股定理求出OC的长，即可得到AC的长；然后利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，可求出菱形ABCD的面积；
②连接AC，分别交BD、DE于点O、H，利用菱形的对角线互相垂直，去证明BG∥AC，利用平行线分线段成比例定理可求出DH与DG的比值，可得到DH＝HG，DG＝2DH，同时可求出DH和EH的比值；再证明△CDH∽△AEH，利用相似三角形的对应边成比例可求出CH的长，利用HO=OC-CH，可求出HO的长；然后利用锐角三角函数的定义求出tan∠DBE的值.
（3）过点G作GT∥BC交AE于点T，一组△BGE∽△AHE，利用相似三角形的对应边成比例，可证得EG=GH；同理可证得△DOH∽△DBG，可推出DH＝GH＝EG；利用GT∥AD，可证得△EGT∽△EDA，利用相似三角形的对应边成比例，可求出GT的长；然后求出ET的长.
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