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5.3 诱导公式
第3课时 诱导公式的综合应用
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 六组诱导公式
(1)公式一：sin α＋k·2π ＝sin α，cos α＋k·2π ＝cos α，tan α＋k·2π ＝tan α，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.
(3)公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.
(4)公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.
(5)公式五：sin＝cos α；cos＝sin α.
(6)公式六：sin＝cos α；cos＝－sin α.
知识点二 诱导公式的理解、记忆与灵活应用
公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．
公式五～六归纳：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变；前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.在△ABC中，下列各表达式为常数的是( )
A.sin(A＋B)＋sin C B.cos(B＋C)－cos A C.in2＋sin2 D.sin sin
答案：C
解析：在△ABC中，∵A＋B＋C＝π，∴A项，sin(A＋B)＋sin C＝2sin C，不为常数；B项，cos(B＋C)－cos A＝－2cos A，不为常数；C项，sin2＋sin2＝cos2＋sin2＝1为常数；D项，sin sin ＝cos sin ，不为常数．
2.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－1,2)，则等于( )
A. B.1 C. D.－
答案：A
解析：由题意知，sin α＝，cos α＝－，原式＝＝＝.
3.若cos 57°＝m，则cos 213°等于( )
A.－ B.－ C.－ D.－m
答案：C
解析： cos 213°＝cos(180°＋33°)＝－cos 33°＝－sin 57°＝－.
4.在△ABC中，cos(A＋B)的值等于( )
A.cos C B.－cos C C.sin C D.－sin C
答案：B
解析：由于A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C.所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C.
5.若角7π－α的终边与单位圆的交点坐标是，则cos(α－2 022π)等于( )
A.± B.± C. D.－
答案：A
解析：依题意知，sin(7π－α)＝，即sin α＝，则cos α＝±，故cos(α－2 022π)＝cos α＝±.
6.(多选)已知下列等式的左、右两边都有意义，则能够恒成立的是( )
A.tan＝tan B.sin＝cos
C.tan2αsin2α＝tan2α－sin2α D.sin4α－cos4α＝2sin2α－1
答案：BCD
解析：对于A，tan＝tan＝－tan，故A错误；对于B，sin＝sin＝cos，故B正确；对于C，tan2αsin2α＝sin2α＝·sin2α＝sin2α＝－sin2α＝tan2α－sin2α，故C正确；对于D，sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1，故D正确．
7.黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形，例如，正五角星可以看成是由一个正五边形剪去五个顶角为108°的黄金三角形，如图所示，在黄金三角形ABC中，＝，根据这些信息，可得cos 144°等于( )
A. B.－ C.－ D.－
答案：C
解析：∵∠ABC＝108°，∴∠BAC＝×(180°－108°)＝36°，∵cos 36°＝＝×＝，∴cos 144°＝－cos 36°＝－.
8.(多选)已知sin＝，则角α的终边可能在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.x轴的负半轴上
答案：BCD
解析：原等式可化为－cos α＝，∴－cos α＝，∴|cos α|＝－cos α，∴cos α≤0，∴α的终边在第二、三象限或在x轴的负半轴上．
9.已知cos＝，且－π＜α＜－，那么cos等于( )
A.－ B. C.－ D.
答案：A
解析：∵－＝，∴α－＝－，又∵－π＜α＜－，∴－＜＋α＜－，∵cos＝，∴sin＝－＝－，∴cos＝cos＝sin＝－.
10.对于函数f(x)＝asin(π－x)＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )
A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2
答案：D
解析：∵sin(π－x)＝sin x，∴f(x)＝asin x＋bx＋c，则f(1)＝asin 1＋b＋c，f(－1)＝asin(－1)＋b×(－1)＋c＝－asin 1－b＋c，∴f(－1)＝－f(1)＋2c.① 把f(1)＝4，f(－1)＝6代入①式，得c＝5∈Z，故排除A；把f(1)＝3，f(－1)＝1代入①式，得c＝2∈Z，故排除B；把f(1)＝2，f(－1)＝4代入①式，得c＝3∈Z，故排除C；把f(1)＝1，f(－1)＝2代入①式，得c＝ Z，故选D.
二、填空题
11.在△ABC中，sin ＝sin ，则△ABC的形状为 ．
答案：等腰三角形
解析：∵为A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.又∵sin ＝sin ，∴sin ＝sin ，∴sin＝sin，∴cos C＝cos B.又B，C为△ABC的内角，所以C＝B，所以△ABC为等腰三角形．
12.若角α的终边上有一点P(m，－8)，且cos α＝－，则m＝ ；＝ ．
答案：－6
解析：由勾股定理得，点P到原点的距离为r＝＝，根据三角函数的定义可得cos α＝＝－，解得m＝－6，m＝6(舍去)．＝＝－sin α，由点P到原点的距离为r＝＝，即r＝＝10，∴sin α＝＝－，∴＝－sin α＝.
13.计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝ ．
答案：
解析：∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，
∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝.
14.cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝ .
答案：0
解析：∵cos(180°－α)＝－cos α，∴cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°＋cos 91°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°－cos 89°－…－cos 3°－cos 2°－cos 1°＝cos 90°＝0.
15.设f(θ)＝，则f ＝ .
答案：－
解析：∵f(θ)＝＝，又cos ＝cos＝cos ＝，∴f ＝＝－.
三、解答题
16.化简：，其中k∈Z.
解：当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则
原式＝＝＝＝1.
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，则
原式＝＝＝＝1，
故原式＝1.
17.求证：
(1) ＝；(2) ＝cos α.
证明： (1)∵右边＝＝
＝＝＝＝＝左边，
∴原等式成立．
(2) ∵左边＝＝＝cos α＝右边，
∴原等式成立．
18.已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－，求f(α)的值；
(3)若cos＝，α∈，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝＝＝－cos α.
(2)若α＝－，则f(α)＝－cos＝－cos ＝－.
(3)由cos＝，可得sin α＝－，
∵α∈，∴cos α＝－，∴f(α)＝－cos α＝.
19.(1)已知cos α是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，求：
的值；
(2)已知sin x＋cos x＝－(0解：(1)∵方程3x2－x－2＝0的根为x1＝1，x2＝－，
又α是第三象限角，∴cos α＝－，
∴sin α＝－，tan α＝.
∴原式＝＝tan2α＝.
(2)∵sin x＋cos x＝－(0∴cos x<0，sin x>0，即sin x－cos x>0，
把sin x＋cos x＝－，
两边平方得1＋2sin xcos x＝，即2sin xcos x＝－，
∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，
即sin x－cos x＝，联立解得sin x＝，cos x＝－，
∴cos x－2sin x＝－.
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5.3 诱导公式
第3课时 诱导公式的综合应用
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知识点一 六组诱导公式
(1)公式一：sin α＋k·2π ＝sin α，cos α＋k·2π ＝cos α，tan α＋k·2π ＝tan α，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.
(3)公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.
(4)公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.
(5)公式五：sin＝cos α；cos＝sin α.
(6)公式六：sin＝cos α；cos＝－sin α.
知识点二 诱导公式的理解、记忆与灵活应用
公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．
公式五～六归纳：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变；前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.在△ABC中，下列各表达式为常数的是( )
A.sin(A＋B)＋sin C B.cos(B＋C)－cos A C.in2＋sin2 D.sin sin
2.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－1,2)，则等于( )
A. B.1 C. D.－
3.若cos 57°＝m，则cos 213°等于( )
A.－ B.－ C.－ D.－m
4.在△ABC中，cos(A＋B)的值等于( )
A.cos C B.－cos C C.sin C D.－sin C
5.若角7π－α的终边与单位圆的交点坐标是，则cos(α－2 022π)等于( )
A.± B.± C. D.－
6.(多选)已知下列等式的左、右两边都有意义，则能够恒成立的是( )
A.tan＝tan B.sin＝cos
C.tan2αsin2α＝tan2α－sin2α D.sin4α－cos4α＝2sin2α－1
7.黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形，例如，正五角星可以看成是由一个正五边形剪去五个顶角为108°的黄金三角形，如图所示，在黄金三角形ABC中，＝，根据这些信息，可得cos 144°等于( )
A. B.－ C.－ D.－
8.(多选)已知sin＝，则角α的终边可能在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.x轴的负半轴上
9.已知cos＝，且－π＜α＜－，那么cos等于( )
A.－ B. C.－ D.
10.对于函数f(x)＝asin(π－x)＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )
A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2
二、填空题
11.在△ABC中，sin ＝sin ，则△ABC的形状为 ．
12.若角α的终边上有一点P(m，－8)，且cos α＝－，则m＝ ；＝ ．
13.计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝ ．
14.cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝ .
15.设f(θ)＝，则f ＝ .
三、解答题
16.化简：，其中k∈Z.
17.求证：
(1) ＝；(2) ＝cos α.
18.已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－，求f(α)的值；
(3)若cos＝，α∈，求f(α)的值．
19.(1)已知cos α是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，求：
的值；
(2)已知sin x＋cos x＝－(021世纪教育网(www.21cnjy.com)
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