人教版（2019）数学必修第二册6.2.1向量的加法运算 课件（共40张PPT）

(共40张PPT)
6.2.1 向量的加法运算
高一
必修二
本节目标
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律．
2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．
3.能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．
课前预习
预习课本P7～10，思考并完成以下问题
(1)向量的加法如何定义？　
(2)在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？
(3)向量加法的运算律有哪两条？
(4)|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|三者之间的大小有何关系？
课前小测
1．下列各式不一定成立的是(　　)
A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝a
C．＋＝ D．|a＋b|＝|a|＋|b|
D
2. ＋ ＋ 等于(　　)
A. B.
C. D.
＋ ＋ = ＋ ＋
= ＋
=
C
3．如图，在平行四边形ABCD中，＋ ＝________.
4．小船以10km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h.
根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，
所以小船实际速度大小为＝20(km/h)．
20
10km/h
10 km/h
新知探究
1．向量加法的定义
对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋____＝____.
定义：求____________的运算，叫做向量的加法．
两个向量和
0
a
2．向量求和的法则
三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作________，即a＋b＝＋＝________.
平行四边形法则 已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以，为邻边作 ABCD，则对角线上的向量______＝a＋b.
a＋b
两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
提示：不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法．
思考

3．向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝_________.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝___________．
b＋a
a＋(b＋c)
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　向量加法的三角形法则和平行四边形法则
探究问题

1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？
提示：
(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等．
(2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等．
2．设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下， ＋ ＋ ＋…＋ 的运算结果是什么？
探究问题

提示：将三角形法则进行推广可知，
＋ ＋ ＋…＋
=
[例1]　(1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填一个向量)：
① ＋＝________；
② ＋＝________；
③ ＋＋＝________.
＋＝ ＋＝
＋ ＝ ＋ ＝
＋＋＝ ＋＋＝
(2) ①如图甲所示，求作向量和a＋b；
②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c.
甲
乙
(2) ①如图甲所示，求作向量和a＋b；
甲
则向量＝a＋b.如图所示．
首先作向量＝a，
O
A
a
B
然后作向量＝b，
b
(2) ②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c.
乙
则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
法一：三角形法则
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，
O
A
再作向量＝b，则得向量＝a＋b，
B
a
b
a＋b
然后作向量＝c，
C
c
a＋b＋c
(2) ②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c.
乙
再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，则＝ ＋ ＝a＋b＋c即为所求．
法二：平行四边形法则
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，
O
A
a
B
b
C
c
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.
D
a＋b
E
a＋b＋c
多维探究
变式1 在本例(1)条件下，求＋ .
因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，
所以＋＝.
2．在本例(1)图形中求作向量＋＋.
则＝ ＋＋．
过A作AG∥DF交CF的延长线于点G，
则＋＝，作＝，连接，
G
H
＋＋
关键点拨
(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．
(2)两个向量的和向量仍是一个向量．
(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．
1．向量求和的注意点
2．利用三角形法则要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；
利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．
①当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；
②三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．
要点提示
题型二　向量加法运算律的应用
① ＋ ；
② ＋＋；
③ ＋＋＋＋.
[例2]　(1)化简：
＋ = ＋
=
＋＋ = ＋＋
= 0
＋＋＋＋ = ＋＋＋＋
= 0
(2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
① ＋＋；
② ＋＋＋.
＋＋= ＋＋
= ＋＋
= ＋
=
＋＋＋= ＋＋＋
= ＋＋
= ＋
= 0
(2)应用原则
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
反思感悟
跟踪训练
1．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于(　　)
A. B.
C. D.
原式= (＋)＋(＋ ＋)
= ＋0
=
D
题型三　向量加法的实际应用
[例3] 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)
思路探究
！
作出对应的几何图形，构造有关的向量
利用三角形法则或平行四边形法则运算
回答实际问题
[例3] 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)
如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴||＝||·cos30°＝10×＝5，
||＝||·cos 60°＝10×＝5.
∴A处所受的力的大小为5 N，B处所受的力的大小为5 N.
方法总结
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
表示
运算
作答
用向量表示实际问题中既有大小又有方向的量
利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和，利用直角三角形等知识解决问题
根据题意作答
跟踪训练
2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和是＋＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝ ＝800(km)．
跟踪训练
2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
随堂检测
1．判断正误
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量．(　　)
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(　　)
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．(　　)
(4)|a|＋|b|＞|a＋b|.(　　)
√
×
×
×
2．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是(　　)
A. ＋ ＋ B. ＋ ＋
C. ＋ ＋ D. ＋ ＋
在A中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；
在B中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；
在C中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；
在D中， ＋ ＋ ＝＋＝＋＝.
C
3．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
km
东北方向
4．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
(1) ＋ ；
(2) ＋ ；
＋ =
= = =
＋ = + =
本课小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不能写成0.
通过本节课，你学会了什么？