人教版（2019）数学必修第二册6.2.2向量的减法运算 课件（共42张PPT）

(共42张PPT)
6.2.2 向量的减法运算
高一
必修二
本节目标
1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义．
2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．
3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．
课前预习
预习课本P11～12，思考并完成以下问题
(1) a的相反向量是什么？
(2)向量的减法运算及其几何意义是什么？
课前小测
1．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是(　　)
A．m＝n B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
A
2．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是(　　)
A. ＝
B. － ＝
C. － ＝
D. － ＝
－= (+ )
＝
≠
C
3．化简－ ＋ ＋ 的结果等于(　　)
A. B.
C. D.
－＋＋=()＋(＋)
=＋0
=
B
4．如图，在 ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，，则＝________， ＝________.
a
b
a＋b
b－a
新知探究
1．相反向量
(1)定义：与向量a长度______，方向______的向量，
叫做a的相反向量．
(2)性质：①－(－a)＝_____.
②对于相反向量有：a＋(－a)＝_____.
③若a，b互为相反向量，则a＝______，a＋b＝____.
相等
相反
a
0
－b
0
2．向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于
加上这个向量的__________．
(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a， ＝b，
则向量_____＝a－b，如图所示．
相反向量
O
A
B
a
b
a－b
在什么条件下，|a－b|＝|a|＋|b|？
思考：

提示：当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立．
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　向量减法的几何意义
[例1]　(1)如图所示，四边形ABCD中，若＝a， ＝b， ＝c，则＝(　　)
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
＝
＝
＝ a＋c－b
A
(2)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
则＝a＋b－c.
法一：几何意义法
在平面内任取一点O，作＝a， ＝b，
O
A
a
B
b
则＝a＋b，
再作＝c，
a＋b
C
c
a＋b－c
(2)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
再作＝－c，连接OC，则＝a＋b－c.
法二：定义法
在平面内任取一点O，
作＝a， ＝b，则＝a＋b，
O
A
a
B
b
a＋b
－c
C
a＋b－c
方法总结
可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
求作两个向量的差向量的两种思路
可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
跟踪训练
1．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c.
法一：先作a－b，再作a－b－c即可．
以A为起点分别作向量和，使＝a， ＝b.
连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，
A
B
a
C
b
a－b
D
c
a－b－c
跟踪训练
1．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
(2)作＝a，则＝a－b－c.
法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c).
A
B
－b
－c
C
a
O
a－b－c
(1)作＝－b和＝－c；
题型二　向量减法的运算及简单应用
②用b，c表示.
[例2]　(1)如图所示，
①用a，b表示；
＝ － ＝－－＝－a－b.
＝－＝－(＋ )＝－b－c.
② (－)－(－)；
(2)化简下列各向量的表达式：
① ＋－；
③ (＋＋)－(－－)．
＋－＝ －
＝
(－)－(－) ＝ (＋)－(＋)
＝－
＝
(＋ ＋)－(－－)
＝－
＝
＝ (＋) －(－)
② (－)－(－)；
一题多法
原式＝－－＋
＝(＋)－(＋)
＝ －
＝0
法一：加法法则
法二：减法法则(利用相反向量)
原式＝－－＋
＝( －)＋(－)
＝＋
＝0
② (－)－(－)；
一题多法
原式＝－－＋
＝(－)－(－)－(－) ＋(－)
＝－－＋－＋＋－
＝0
法三：减法法则(创造同一起点)
方法总结
向量减法运算的常用方法
常用方法
可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算
运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点
引入点O，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一
向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和．
(2)起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
首先要利用向量加减的运算法则、运算律，
其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算．
与图形相关的向量运算化简
跟踪训练
(1) － ＋ － ；
2．化简下列向量表达式：
(2) (－)＋(－ )．
－ ＋ － ＝ ＋ －
＝ －
＝
(－)＋(－ ) ＝ ＋ ＋ ＋
＝ ＋( ＋ ＋)
＝ ＋0
＝
题型三　向量减法几何意义的应用
1．以向量加法的平行四边形法则为基础，能否构造一个图形将a＋b和a－b放在这个图形中？
探究问题

提示：如图所示，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则a＋b＝，a－b＝ .
2．已知向量a，b，那么||a|－|b||与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？
探究问题

提示：它们之间的关系为||a|－|b|| ≤ |a±b| ≤ |a|＋|b|.
O
A
a
B
b
a＋b
(2)当a，b不共线时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图所示，根据三角形的性质，有||a|－|b|| <|a＋b|<|a|＋|b|.同理可证||a|－|b|| <|a－b|<|a|＋|b|.
(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立．
2．已知向量a，b，那么||a|－|b||与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？
探究问题

(3)当a，b非零且共线时，
②当向量a，b反向时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|.
①当向量a与b同向时，作法同上，如图所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.
O
A
a
B
b
a＋b
O
A
a
b
a＋b
综上所述，得不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
[例3]　(1)在四边形ABCD中，＝，若|－|＝|－|，则四边形ABCD是(　　)
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不确定
∵ ＝ ，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵| － |＝|－|，
∴||＝||.
∴四边形ABCD为矩形．
B
[例3]　(2)已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6，
∴3≤|－|≤15.
当与同向时，| － |＝3；
当与反向时，| － |＝15.
∴| － |的取值范围为[3,15]．
多维探究
变式1 将本例(2)的条件改为“||＝8，||＝5”，求||的取值范围．
因为＝ － ，||＝8，||＝5，
|||－|||≤|－ |≤||＋||，
所以3≤||≤13，
当与同向时，||＝3；
当与反向时，||＝13.
所以||的取值范围是[3,13]．
变式2 在本例(2)条件不变的条件下，求：|＋|的取值范围．
由|||－|||≤|＋|≤||＋||，
∵||＝6，||＝9，
∴3≤|＋|≤15.
当与同向时，| ＋ |＝15；
当与反向时，| ＋ |＝3.
变式3 本例(2)中条件“||＝9”改为“||＝9”，求||的取值范围．
＝ － ，又||＝||，
由|||－|||≤|－|≤||＋||，
∴3≤||≤15.
反思感悟
(2)化归为向量问题，进行向量运算．
1．用向量法解决平面几何问题的步骤
(1)将平面几何问题中的量抽象成向量．
(3)将向量问题还原为平面几何问题．
反思感悟
(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可．
2．用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键
(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．
随堂检测
1．判断正误
(1) 0－a＝－a；(　　)
(2) －(－a)＝a；(　　)
(3) a＋(－a)＝0；(　　)
(4) a＋0＝a；(　　)
(5) a－b＝a＋(－b)；(　　)
(6) a＋(－a)＝0.(　　)
√
√
√
√
√
×
2．化简－＋－＝________.
－＋－
＝ ( ＋)＋(－)
＝ ＋
＝
3．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
因为a，b为相反向量，
∴a＋b＝0，即|a＋b|＝0，
又a＝－b，
∴|a－b|＝|2a|＝2.
0
2
4．若a≠0，b≠0且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b所在直线的夹角．
所以△OAB是等边三角形，
所以∠BOA＝60°.
a
b
如图，设＝a， ＝b，
则a－b＝ ＝ ，
因为|a|＝|b|＝|a－b|，
所以| |＝| |＝||，
因为＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA.
所以a与a＋b所在直线的夹角为30°.
本课小结
3．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝ 就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
通过本节课，你学会了什么？