人教版（2019）数学必修第二册6.3.2~6.3.3平面向量的正交分解及坐标表示和加、减运算的坐标表示课件(共36张PPT)

(共36张PPT)
6.3.2~6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示和加、减运算的坐标表示
高一
必修二
情境引入
光滑斜面上有一木块受到的重力为G，如图，三个力G、F1，F2方向是怎样的？三者有何关系？
F1
F2
G
本节目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．
2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则．
3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系．
课前预习
预习课本P27～30，思考并完成以下问题
(1)怎样分解一个向量才为正交分解？
(2)如何由a，b的坐标求a＋b，a－b的坐标？
课前小测
1．已知a＝(3, 5)，b＝(－3, 2)，则a＋b＝(　　)
A．(8, －1) B．(0, 7)
C．(7, 0) D．(－1, 8)
a＋b＝(3, 5)＋(－3, 2)＝(3－3, 5＋2)＝(0, 7)
B
2．已知向量a＝(1, 2)，b＝(3, 1)，则a－b等于(　　)
A．(－2, 1) B．(2, －1)
C．(2, 0) D．(4, 3)
a－b＝(1, 2)－(3, 1)
＝(1－3, 2－1)
＝(－2, 1)
A
3．已知点A(1,－2)，点B(4, 0)，则向量＝________.
＝ (4, 0)－(1,－2)
＝ (4－1, 0＋2)
＝ (3, 2)
(3, 2)
4．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________．
a＝2cos 45°i＋2sin 45°j
＝ i＋ j
＝(, )．
(, )
新知探究
1. 平面向量的正交分解的定义
把一个向量分解为两个_______的向量，叫做把向量作正交分解.
垂直
F1
F2
G
如图，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解
2．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个__________分别为i，j，取{i，j}作为基底. 对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝_______.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作_________. 此式叫做向量a的坐标表示.
定义
单位向量
xi+yj
a＝(x，y)
x
y
O
i
j
a
特殊向量的坐标
i＝(1,0)，
j＝(0,1)，
0＝(0,0).
x
y
O
i
j
a
a
A(x,y)
x
y
向量的坐标与点的坐标
知识点睛
以原点O为起点，作=a，
则点A的位置由向量a唯一确定.
设=xi+yi，则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标；
反过来，终点A的坐标(x,y)就是向量的坐标.
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
3．平面向量的坐标运算
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_____ a＋b＝___________________
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_____ a－b＝___________________
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的___________ λa＝____________
向量 坐标 公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_____的坐标减去_____的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝________________
和
差
(x1＋x2，y1＋y2)　
(x1－x2，y1－y2)　
相应坐标
(λx1，λy1)
终点
起点
(x2－x1，y2－y1)
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　平面向量的坐标表示
[例1]　如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量的坐标；
(3)求点B的坐标．
[例1]　如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
∴A(2，2)，故a＝(2，2)．
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，
作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，
AM＝OA·sin 45°＝4×＝2，
∴C(, )，∴ ＝ ＝(, ) ，
即b＝ (, ).
[例1]　如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．
(2)求向量的坐标；
＝(,)
[例1]　如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．
(3)求点B的坐标．
＝
＝(2，2)
＝(2，2)
所以点B的坐标(2，2).
方法总结
求向量坐标的三个步骤
平移
求角
求坐标
将向量的始点移至坐标原点
找出以x轴正向为始边，向量所在射线为终边的角
根据x=rcos, y=rcos(r为向量的模)求终点坐标，即为向量坐标
跟踪训练
1．已知向量a在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点O，又|a|＝ ，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，则向量a的坐标为(　　)
A．(1, 1) B．(－1, －1)
C．(, ) D．(－, －)
a＝(cos 45°)i＋(sin 45°)j＝i＋j＝(1, 1).
A
题型二　平面向量的坐标运算
[例2]　(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4, －3)，则向量＝(　　)
A．(－7,－4) B．(7, 4)
C．(－1, 4) D．(1, 4)
从而＝(－4, －2)－(3, 2)＝(－7, －4)．
法一
设C(x，y),
则＝(x, y－1)＝(－4, －3)，
所以 ,
A
题型二　平面向量的坐标运算
[例2]　(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4, －3)，则向量＝(　　)
A．(－7,－4) B．(7, 4)
C．(－1, 4) D．(1, 4)
法二
A
＝ －＝(－4, －3)－(3, 1)＝(－7, －4)．
＝(3, 2)－(0, 1)＝(3, 1)，
题型二　平面向量的坐标运算
[例2] (2)已知向量a，b的坐标分别是(－1, 2)，(3, －5)，求a＋b，a－b的坐标．
a － b＝(－1, 2)－(3, －5)
a ＋ b ＝(－1, 2)＋(3, －5)
＝(－1＋3, 2－5)
＝(2, －3)
＝(－1－3, 2＋5)
＝(－4, 7)
方法总结
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.
平面向量坐标(线性)运算的方法
跟踪训练
2．若A，B，C三点的坐标分别为(2,－4)，(0, 6)，(－8, 10)，求＋， －的坐标．
∴ ＋ ＝(－2,10)＋(－8,4)＝(－10,14)，
－＝(－8, 4)－(－10, 14)＝(2, －10).
∵ ＝(－2, 10)， ＝(－8, 4)， ＝(－10, 14)，
题型三　平面向量坐标运算的应用
[例3]　已知四边形ABCD的三个顶点A(0, 2)，B(－1,－2)，C(3, 1)，且＝ ，则顶点D的坐标为(　　)
A. B.
C．(4, 5) D．(1, 3)
设点D(m，n)，
＝
(4, 3)＝(m，n－2)
D(4,5)
C
方法总结
在平面几何问题中解决向量问题，可以借助平行四边形对边平行且相等，也可利用平行四边形法则求解．
跟踪训练
3．如果将＝绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是(　　)
A． B．
C．(－1, ) D．
D
因为＝所在直线的倾斜角为30°，绕原点O逆时针方向旋转120°得到所在直线的倾斜角为150°，所以A，B两点关于y轴对称，由此可知B点坐标为，故的坐标是.
随堂检测
1．判断正误
(1)相等向量的坐标相同．(　　)
(2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标．(　　)
(3)一个坐标对应于唯一的一个向量．(　　)
(4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．(　　)
√
√
×
√
2．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j， ＝3i＋4j，则＋的坐标是(　　)
A．(1，－2) B．(7,6)
C．(5,0) D．(11,8)
＋ ＝(4, 2)＋(3, 4)＝(7, 6)
B
＝4i＋2j
＝(4, 2)
＝3i＋4j
＝(3,4)
3．已知点A(－1,－2)，B(4, 3)，则的坐标为(　　)
A．(3, 1) B．(－5, －5)
C．(5, 5) D．(－5, 5)
＝(4, 3)－(－1,－2)＝(5, 5)
C
4．已知A(2,－3)， ＝(3,－2)，则点B的坐标为(　　)
A．(－5, 5) B．(5, －5)
C．(－1, 1) D．(1, 1)
＝＋＝(2,－3)＋(3,－2)＝(5,－5)．
B
A(2,－3)
＝ (2,－3)
＝(3,－2)
B(5,－5)
5．已知点O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a， ＝b， ＝c且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，求向量，的坐标.(以O为坐标原点， 所在直线为x轴建立平面直角坐标系)
建立如图所示的平面直角坐标系.
因为||＝1，∠AOB＝150°，
所以B(－cos30°，sin30°)，所以B(－，).
因为||＝3，∠BOC＝90°，
所以C(－3sin30°，－3cos30°)，即C(－，－).
所以＝(－，－)－(－，)＝(，－ )，
易知A(2,0)，所以＝(－， )－(2,0)＝(－ －2， ).
本课小结
1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．如图所示．
2．向量的坐标和其终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和其终点的坐标相同．
3．在进行向量坐标形式的运算时，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．
通过本节课，你学会了什么？