人教版（2019）数学必修第二册6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示课件(共44张PPT)

(共44张PPT)
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
高一
必修二
本节目标
1.掌握向量数乘的坐标运算法则．
2.理解用坐标表示两向量共线的条件．
3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法．
课前预习
预习课本P31～33，思考并完成以下问题
如何由a的坐标求λa的坐标？
(2) 如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？
课前小测
1．已知向量＝(2, 4)， ＝(0,2)，则＝(　　)
A．(－2, －2) B．(2, 2)
C．(1, 1) D．(－1, －1)
＝
＝
＝
＝
D
2．下列各对向量中，共线的是(　　)
A．a＝(2, 3)，b＝(3, －2)
B．a＝(2, 3)，b＝(4, －6)
C．a＝(, －1)，b＝(1, )
D．a＝(1, )，b＝(, 2)
不共线
不共线
不共线
共线
b＝a
D
3．已知a＝(－3, 2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________.
y＝－4
－4
4．若A(3, －6)，B(－5, 2)，C(6, y)三点共线，则y＝_______.
∴－8(y＋6)－8×3＝0，解得y＝－9.
＝(－8, 8)， ＝(3，y＋6)，
∵A，B，C三点共线，即∥ ，
－9
新知探究
已知a＝(x，y)，则λa＝λ(x，y)＝__________．
1．数乘运算的坐标表示
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
(1)符号表示
(λx，λy)
(2)文字描述
(2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是______________.
2．平面向量共线的坐标表示
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
x1y2－x2y1＝0
两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成吗？

思考
提示：　不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　向量共线的判定与证明
[例1]　(1)下列各组向量中，共线的是(　　)
A．a＝(－2, 3)，b＝(4, 6)
B．a＝(2, 3)，b＝(3, 2)
C．a＝(1, －2)，b＝(7, 14)
D．a＝(－3, 2)，b＝(6, －4)
利用“纵横交错积相减”判断．
－2×6－3×4 ≠ 0
3×3－2×2 ≠ 0
1×14－(－2)×7≠0
(－3)×(－4)－2×6＝0
D
(2)已知A(－1,－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
∵ ＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，＝(2－1,7－5)＝(1,2)．
又2×2－4×1＝0，
∴ ∥ .
又＝(2,6)， ＝(2,4)，
∴2×4－2×6≠0，
∴A，B，C不共线，
∴AB与CD不重合，
∴AB∥CD.
方法总结
向量共线的判定方法
提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．
跟踪训练
1．已知A(1,－3)，B (8, ) ，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线．
＝(8－1, ＋3)＝ (7, ) ， ＝(9－1,1＋3)＝(8,4)，
∵7×4－ ×8＝0，
∴ ∥，且，有公共点A，
∴A，B，C三点共线.
题型二　已知平面向量共线求参数
[例2]　已知a＝(1, 2)，b＝(－3, 2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
法一：可利用b与非零向量a共线等价于b＝λa(λ>0，b与a同向；λ<0，b与a反向)求解；
法二：可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用b＝λa判定同向还是反向．
！
思路探究
[例2]　已知a＝(1, 2)，b＝(－3, 2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
ka＋b＝k(1, 2)＋(－3, 2)＝(k－3, 2k＋2)，
a－3b＝(1, 2)－3(－3, 2)＝(10, －4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3, 2k＋2)＝λ(10, －4)，
法一：(共线向量定理法)
所以
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
因为λ＝－<0，所以ka＋b与a－3b反向．
解得k＝λ＝－.
[例2]　已知a＝(1, 2)，b＝(－3, 2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
由题知ka＋b＝(k－3, 2k＋2)，a－3b＝(10,－4)，
因为ka＋b与a－3b平行，
所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，
解得k＝－.
这时ka＋b＝ (－－3, －＋2) ＝－ (a－3b)，
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
法二：(坐标法)
反思感悟
(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．
(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
利用向量平行的条件处理求值问题的思路
跟踪训练
2．已知向量a＝(1, 2)，b＝(2, －2)，c＝(1, λ)，若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
λ＝
2a＋b＝(4, 2)
c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)
4λ－2＝0
题型三　向量共线的综合应用
[例3]　(1)已知向量a＝(cosα, －2)，b＝(sinα, 1)，且a∥b，则2sinαcosα等于(　　)
A．3 B．－3
C．－ D.
所以2sinαcosα＝ ＝ ＝＝－.
因为a∥b，所以cos α×1－(－2)×sin α＝0，
即cosα＝－2sin α，tanα＝－ ，
C
(2)如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标．
由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4, 4λ)，
＝ －＝(－2, 6)．
由与共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝ ＝(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)．
法一：(定理法)
(2)如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标．
设P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以，即x＝y.
又＝(x－4，y)， ＝(－2,6)，
且与共线，则(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以P点的坐标为(3,3)．
法二：(坐标法)
方法总结
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
跟踪训练
3.如图所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝， ＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
因为＝ ＝ (0,5)＝(0, )，所以C (0, ).
因为＝ ＝ (4,3)＝ (2, ) ，所以D (2, ).
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝ (2－0, 5)＝ (2, ).
因为∥ ，所以－x－2(y－5)＝0，
即7x＋4y＝20.① 又＝ (x, y )， ＝ (4, ) ，
跟踪训练
3.如图所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝， ＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
因为∥，所以x－4(y )＝0，
即7x－16y＝－20.②
联立①②解得x＝，y＝2，
故点M的坐标为(, 2).
题型四　共线向量与线段分点坐标的计算
1．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐标？

探究问题
提示：如图所示，∵P为P1P2的中点，
∴ ，
∴ － ＝ －，
∴ ＝ (＋ )＝ ，
∴线段P1P2的中点坐标是.

探究问题
2．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？
提示：点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：
①当＝ 时，
＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ (－ )＝ ＋ ＝ ；

探究问题
2．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？
②当＝ 时，
＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＋ (－ ) ＝ ＋
＝ .
3．当＝λ时，点P的坐标是什么？

探究问题
提示：∵ ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋λ(－ )＝ ＋λ －λ ，
∴ ＝ ＝ (x1，y1)＋ (x2，y2)
＝ (x1，y1)＋ (x2， y2)
＝ (，)
∴ P (，)
[例4]　已知点A(3, －4)与点B(－1, 2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．
∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x, 2－y)，
∴ 解得
∴P点坐标为(,0).
设P点坐标为(x，y)，||＝2||.
当P在线段AB上时， ＝2 ，
[例4]　已知点A(3, －4)与点B(－1, 2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．
∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，
∴ 解得
∴P点坐标为(－5,8)．
当P在线段AB延长线上时， ＝－2 ，
综上所述，点P的坐标为(,0)或(－5,8)．
多维探究
变式1 已知点A(3, －4)与点B(－1, 2)，点P在直线AB上，且＝3，求点P的坐标．
所以点P的坐标为(0, ).
因为＝3，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x, 2－y)，
所以 解得
变式2 若将本例条件改为“经过点P(－2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且||＝3||”，求点A，B的坐标．
由题设知，A，B，P三点共线，且||＝3||，设A(x,0)，B(0，y)，
①点P在A，B之间，则有＝3 ，
∴(－x，y)＝3(－2－x,3)，
解得x＝－3，y＝9，
点A，B的坐标分别为(－3,0)，(0,9)．
②点P不在A，B之间，则有＝－3 ，同理，
可求得点A，B的坐标分别为(,0)，(0,－9)．
综上，点A，B的坐标分别为(－3,0)，(0,9)或(,0) ，(0，－9)．
反思感悟
(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．若点P是P1P2的中点时，则P(x，y)为.
(2)求线段P1P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论．
求点的坐标时注意的问题
(3)若＝λ (λ≠0)，
①0＜λ＜1时，P在线段P1P2上；
②λ＝1时，P与P2重合；
③λ＞1时，点P在线段P1P2延长线上；
④λ＜0时，点P在线段P1P2反向延长线上．
随堂检测
1．判断正误
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则.(　　)
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2≠x2y1，则a与b不共线．(　　)
(3)若A，B，C三点共线，则向量， ， 都是共线向量．(　　)
×
√
√
2．已知两点A(2, －1)，B(3, 1)，则与平行且方向相反的向量a可以是(　　)
A．(1，－2) B．(9,3)
C．(－2,4) D．(－4，－8)
由题意，得＝(1, 2)，所以a＝λ ＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．
符合条件的只有D项.
D
3．已知平面向量a＝(1, 2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于____________．
∵a∥b，
∴1×m－(－2)×2＝0，
∴m＝－4，
∴a＝(1, 2)，b＝(－2,－4)，
∴2a＋3b＝2(1, 2)＋3(－2,－4)＝(－4,－8)．
(－4,－8)
4．设O是坐标原点， ＝(k,12)， ＝(4,5)， ＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
∵ ＝ － ＝(4－k，－7)，
＝ － ＝(10－k，k－12)，
又A，B，C三点共线，
∴由两向量平行，得(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，
解得k＝－2或k＝11.
即当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．
本课小结
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)当b≠0时，a＝λb.
(2) x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时， ，即两向量的相应坐标成比例．
1．两个向量共线条件的表示方法
本课小结
两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同．
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．
2．向量共线的坐标表示的应用
通过本节课，你学会了什么？