人教版（2019）数学必修第二册6.3.5平面向量数量积的坐标表示 课件（共39张PPT）

(共39张PPT)
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
高一
必修二
本节目标
1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．
2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．
3.分清向量平行与垂直的坐标表示．
4.能用向量方法证明两角差的余弦公式．
课前预习
预习课本P34～35，思考并完成以下问题
(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？
(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？
课前小测
1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于(　　)
A．3 B．－3 C. D．－
a·b＝－x＋6＝3
x＝3
A
2．已知a＝(2，－1)，b＝(2，3)，则a·b＝________，|a＋b|＝________.
a·b＝2×2＋(－1)×3＝1，
a＋b＝(4, 2)，|a＋b|＝ ＝2.
1
2
3．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝______.
因为a⊥b，
所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，
解得m＝ .
4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________．
a·b＝3×5＋4×12＝63
|a|＝ ＝5
|b|＝ ＝13
a与b夹角的余弦值为＝ ＝
新知探究
1．平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积 a·b＝__________
向量垂直 a⊥b ____________
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2＝0
2. 向量模的公式
设a＝(x1，y1)，则|a|＝___________.
3. 两点间的距离公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝______________________.
4. 向量的夹角公式
设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 夹角为θ，则
cos θ＝ ＝ .
已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？

思考
[提示]　设与a共线的单位向量为a0，则a0＝ ＝ ，其中正号、负号分别表示与a同向和反向．
易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为，其中正、负号表示不同的方向．
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　平面向量数量积的坐标运算
[例1]　(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝ ，则的值是________．
可设F(x，2)，因为＝(，0)·(x，2)＝x＝，
所以x＝1，所以＝(，1)·(1－，2)＝.
x
y
以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，
则B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)．
(2)已知a与b同向，b＝(1, 2)，a·b＝10.
①求a的坐标；
②若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c.
①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，
则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，
∴a＝(2,4)．
②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a·(b·c)＝0·a＝0，
(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
方法总结
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
数量积运算的途径及注意点
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
跟踪训练
1．向量a＝(1, －1)，b＝(－1, 2)，则(2a＋b)·a＝(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
C
∵a＝(1, －1)，b＝(－1, 2)，
∴(2a＋b)·a＝(1, 0)·(1, －1)＝1.
2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形， ＝(1, －2)， ＝(2, 1)，则· ＝(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
由＝ ＋ ＝(1,－2)＋(2, 1)＝(3,－1)，得·＝(2,1)·(3,－1)＝5.
A
题型二　向量模的坐标表示
[例2]　(1)设平面向量a＝(1, 2)，b＝(－2, y)，若a∥b，则|2a－b|等于(　　)
A．4 B．5 C．3 D．4
由a∥b得y＋4＝0，
∴y＝－4，b＝(－2, －4)，
∴2a－b＝(4,8)，
∴|2a－b|＝4.
A
(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：
①向量a的模；
②与a平行的单位向量的坐标；
③与a垂直的单位向量的坐标．
①∵a＝ ＝(2, 1)－(－2, 4)＝(4, －3)，
∴|a|＝ ＝5.
②与a平行的单位向量是±＝± (4，－3)，
即坐标为(, － )或(, ).
(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：
③与a垂直的单位向量的坐标．
又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1.
解得或
∴e＝(, )或e＝ (, ).
设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，
∴ .
方法总结
(1)字母表示下的运算：
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
求向量的模的两种基本策略
跟踪训练
3．已知平面向量a＝(3, 5)，b＝(－2, 1)．
(1)求a－2b及其模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|.
(2) a·b＝(3, 5)·(－2, 1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，
∴c＝a－(a·b)·b＝(3, 5)＋(－2,1)＝(1,6)，
∴|c|＝ ＝.
(1) a－2b＝(3, 5)－2(－2, 1)＝(7, 3)，
|a－2b|＝ ＝ .
题型三　向量的夹角与垂直问题
1．设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？

探究问题
提示: cos θ＝ ＝
2．已知向量a＝(1, 2)，向量b＝(x,－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于多少？
提示：由已知得a－b＝(1－x, 4)．
∵a⊥(a－b)，
∴a·(a－b)＝0.
∵a＝(1, 2)，
∴1－x＋8＝0，
∴x＝9.

探究问题
[例3]　(1)已知向量a＝(2, 1)，b＝(1, k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞) B. ∪
C．(－∞，－2) D．(－2, 2)
当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，
所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．
由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠ ，
即实数k的取值范围是∪ .
B
(2)已知在△ABC中，A(2, －1)，B(3, 2)，C(－3, －1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
设点D的坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)， ＝(x－3，y－2)．
∵点D在直线BC上，即与共线，
∴存在实数λ，使＝λ ，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，
∴
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0. ①
又∵AD⊥BC，∴ ·＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y－3＝0. ②
由①②可得
即D点坐标为(1,1)， ＝(－1,2)，
∴| |＝，
综上，| |＝ ，D(1,1)．
(2)已知在△ABC中，A(2, －1)，B(3, 2)，C(－3, －1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
多维探究
变式1 已知向量a＝(－2, 1)，b＝(1, k)，且a与b的夹角为钝角，求实数k的取值范围.
当a与b共线时，－2k－1＝0，k＝－，此时a与b方向相反，夹角为180°，
所以要使a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，且a与b不反向．
由a·b＝－2＋k＜0得k＜2.
由a与b不反向得k≠－，
所以k的取值范围是.
变式2 已知向量a＝(2, 1)，b＝(1, k)，且a与b的夹角为，求实数k的值.
cos ＝ ＝ ，
即＝ ，整理得3k2－8k－3＝0，
解得k＝－或3.
方法总结
(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．
(2)求模．利用|a|＝ 计算两向量的模．
(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝ 求夹角余弦值．
(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．
利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．
随堂检测
1．判断正误
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)a⊥b x1x2＋y1y2＝0.(　　)
(2)a·b＜0 a与b的夹角为钝角．(　　)
(3)若a·b≠0，则a与b不垂直．(　　)
(4)||表示A，B两点之间的距离．(　　)
√
×
√
√
2．已知a＝(3,－1)，b＝(1,－2)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，
|a|＝ ＝，|b|＝ ＝ ，
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝ ＝ ＝ .
又0≤θ≤π，∴θ＝ .
B
3．设a＝(2, 4)，b＝(1, 1)，若b⊥(a＋mb)，则实数m＝________.
a＋mb＝(2＋m, 4＋m)，
∵b⊥(a＋mb)，
∴(2＋m)×1＋(4＋m)×1＝0，
得m＝－3.
－3
4．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
(1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，
解得x＝－1或x＝3.
4．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
a－b＝(2，－4)，|a－b|＝ ＝2.
综上，|a－b|＝2或2.
本课小结
1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
本课小结
3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2－x2y1＝0，a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.
通过本节课，你学会了什么？