人教版（2019）数学必修第二册6_4_3余弦定理、正弦定理（2） 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
6.4.3 余弦定理、正弦定理(2)
高一
必修二
本节目标
1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形的
基本应用．
2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状.
课前预习
预习课本P45～48，思考并完成以下问题
(1)直角三角形中的边角之间有什么关系？
(2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？
课前小测
1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B
×
正弦定理适用于任意三角形
×
√
√
2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝(　　)
A. B.
C. D.
A
3．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于(　　)
A．1∶5∶6 B．6∶5∶1
C．6∶1∶5 D．不确定
a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C
a∶b∶c＝1∶5∶6
sin A∶sin B∶sin C ＝1∶5∶6
A
4．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有(　　)
A．一解 B．两解
C．无解 D．无法确定
∵b∴B<30°
故三角形有一解.
A
5．在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则＝________.
新知探究
1. 正弦定理
回顾旧知
根据锐角三角函数，在Rt△ABC中，有
A
B
C
a
b
c
sinA =
sinB =
= c
= c
= = c
sinC =sin90°=1
= =
思考 对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否仍然成立？
探究新知
1. 正弦定理
A
B
C
a
b
c
D
由正弦的定义知
AD=bsinC
△ABC的面积S= absinC
当∠C为锐角时，如图
当∠C为钝角时，如图
A
B
C
a
b
c
D
AD=bsinACD
=bsin(π-C)
=bsinC
△ABC的面积S= absinC
当∠C为直角时
sinC=1
△ABC的面积S= ab= absinC
若△ABC的面积为S，则
S= absinC
小结
= acsinB
= bcsinA
sinA>0
sinB>0
sinC>0
= =
正弦定理
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等.
正弦定理
(1)适用范围：正弦定理对____________________．
2. 正弦定理的特点
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中_________________．
任意的三角形都成立
(2)结构形式：分子为三角形的______，分母为__________________的连等式．
边长
相应边所对角的正弦
边角关系的互化
3. 正弦定理的常见变形
(1) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)．
(2) sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ (R为△ABC外接圆的半径)．
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(4) .
(5) asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B.
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　已知两角及一边解三角形
[例1] 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.
所以A＝45°，c＝4(＋1)．
A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
由= 得，
c＝ ＝ ＝ ＝4(＋1)．
方法总结
(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；
(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．　　
已知任意两角和一边，解三角形的步骤
跟踪训练
1．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
∵ = ，
∴a＝ ＝ ＝10.
B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
又∵ = ，
∴b＝ ＝ ＝20sin 75°
＝20× ＝5().
题型二　已知两边及一边的对角解三角形
[例2] 在△ABC中，已知a＝2，c＝ ，C＝ ，求A，B，b.
∵ = ，∴ ＝ ，
解得sin A＝ ，又∵a＜c，C＝ ，∴A＝ .
∴B＝π－A－C＝π－ － ＝ ，
sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝ ，
∴b＝ ＝ ＝ ＋1.
方法总结
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
已知三角形两边和一边的对角解三角形的方法
多维探究
变式1 在△ABC中，已知B＝ ，c＝ ，C＝ ，求A，a，b.
又由= ，得a＝ ＝ ＝ ＋1.
由三角形内角和定理知A＝π－ － ＝ .
又由正弦定理= ，得b＝ ＝ ＝2.
变式2 在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长．
由= ，得sin B＝ ＝ .
∵aA＝30°，
∴B为60°或120°.
①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.
此时，c＝ ＝ ＝2.
②当B＝120°时，
C＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c＝a＝1.
综上知c＝1或2.
题型三　判断三角形的形状
[例3] 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
根据正弦定理，得＝＝ ，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，
∴sin B＝.
∵0°＜B＜90°，∴B＝45°，C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
法一
题型三　判断三角形的形状
[例3] 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
法二
根据正弦定理，得＝＝ ，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．
∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0.
又－90°＜B－C＜90°，∴B－C＝0，∴B＝C，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法总结
(1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状．
判断三角形形状的方法及注意事项
(2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
跟踪训练
4．在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
由3b＝2asin B，得＝，根据正弦定理，得＝，
所以＝，即sin A＝.
又角A是锐角，所以A＝60°.
又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C.
故△ABC为等边三角形.
D
题型四　正、余弦定理的简单综合
[例4] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝ acos B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
[例4] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝ acos B.
(1)求角B的大小；
∵bsin A＝ acos B，
由正弦定理得sin Bsin A＝ sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，
即得tan B＝，
∴B＝ .
[例4] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝ acos B.
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
即9＝a2＋4a2－2a·2acos，
解得a＝，
∴c＝2a＝2.
方法总结
正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．
利用正、余弦定理解三角形的注意点
跟踪训练
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.
故cos B＝ ，因此B＝45°.
∵asin A＋csin C－asin C＝bsin B
∴正弦定理得a2＋c2－ac＝b2.
(1)
跟踪训练
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
(2)
sin A＝sin (＋)＝sincos＋cossin＝ .
故由正弦定理得a＝b·＝1＋.
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
c＝b· ＝2× ＝ .
随堂检测
1．在△ABC中，下列等式一定成立的是(　　)
A．asin A＝bsin B B．acos A＝bcos B
C．asin B＝bsin A D．acos B＝bcos A
由正弦定理＝，得asin B＝bsin A.
C
2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝________.
∵A＋C＋B＝180°，
∴2B＋B＝180°，
∴B＝60°，
由正弦定理得sin A＝ ·sin B＝ ·sin 60°＝ .
3．在△ABC中，已知2a＝b＋c，sin2A＝sin B·sin C，判断△ABC的形状．
∵sin2A＝sin B·sin C，
∴ ＝ · ，即a2＝bc，①
把2a＝b＋c代入①得b＝c，②
把②代入①得：a＝b，
∴△ABC是等边三角形．
本课小结
1．正弦定理实际上是三个等式：
＝，＝， ＝，
每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．
2．适用正弦定理的两种情形：
(1)已知三角形的任意两角与一边．
(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角．
通过本节课，你学会了什么？