人教版（2019）数学必修第二册6_4_3余弦定理、正弦定理（3） 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
6.4.3 余弦定理、正弦定理(3)
高一
必修二
本节目标
1. 理解测量中的有关名词、术语的确切含义．
2．能够利用正弦定理和余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的问题．
3．探索利用数学工具解决实际问题的方法，体会数学在现实生活中的应用.
课前预习
预习课本P48～51，思考并完成以下问题
(1)方向角和方位角各是什么样的角？
(2)怎样测量物体的高度？
(3)怎样测量物体所在的角度？
课前小测
1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　)
A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北44°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南44°50′方向上
C
2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　)
A．α＞β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
B
3．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为(　　)
A. a km B. a km
C．a km D．2a km
C
北
南
西
东
A
30°
B
60°
a
a
a
A
4．已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，且∠ABC＝120°，则A，C两地相距(　　)
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 120°＝700，
∴AC＝10 km.
A
B
C
10 km
20 km
120°
D
5．一船以每小时15 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.
如图所示，AC＝15×4＝60.
∠BAC＝30°，∠B＝45°，
在△ABC中， ，
∴BC＝30.
30
新知探究
1．基线的概念与选择原则
在测量过程中，应根据实际需要选取合适的_________，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越_______．
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的_______叫做基线．
(1)定义
线段
(2)性质
基线长度
高
2．实际测量中的有关名称、术语
名称 定义 图示
仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线____方时与水平线的夹角
俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线____方时与水平线的夹角
方向角 从指定方向线到___________的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)
方位角 从正北的方向线按_____时针到目标方向线所转过的水平角
上
下
目标方向线
顺
3．运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤
分析
建模
求解
检验
理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；
根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；
利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；
检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解．
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　测量距离问题
[例1] (1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________m.
30°
75°
120

tan 30°＝ ，tan 75°＝ ，
又AD＋DB＝120，
∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，
∴AD＝60，
故CD＝60.
60
(2)如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是________．
40
60°
45°
60°
30°

在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，
∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，
∴BD＝CD＝40，BC＝ ＝40.
在△ACD中，∠ADC＝30°，
∠ACD＝60°＋45°＝105°，
∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得AC＝ ＝20.
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos ∠BCA＝(20)2＋(40)2－2×40×20cos 60°＝2400，
∴AB＝20，故A，B两点之间的距离为20m.
20m
方法总结
测量距离的基本类型及方案
类型 A，B两点间不可通或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达
图形
方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；
在△BCD中用正弦定理求BC；
在△ABC中用余弦定理求AB
跟踪训练
1．海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　)
A．10海里 B. 海里
C．5海里 D．5 海里
根据题意，在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，
∴C＝45°.由正弦定理可得，即，∴BC＝5(海里)．
D
2.在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离．
∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∠DCA＝60°，
∴∠DAC＝60°. ∴AD＝CD＝AC＝ a.
在△BCD中，∠DBC＝45°，
∵ ，∴BC＝ a.
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°＝a2＋a2－2× a× a×＝ a2.∴AB＝ a.
∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为a.
题型二　测量高度问题
[例2] 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
在△BCD中，∠CBD＝π－(α＋β)．
由正弦定理得.
∴BC＝ ＝ .
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝ .
α
β
s
θ
方法总结
(1) “空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
测量高度问题的解题策略
(2) “解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．　　　
跟踪训练
3．如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.
由，得AD＝ ＝
＝800(＋1)(m)．即山的高度为800(＋1)m.
由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可，
在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
题型三　测量角度问题
[例3] 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10 海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．
[例3] 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10 海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．
设所需时间为t小时，则AB＝10t，CB＝10t，
在△ABC中，根据余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°，
可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°，
整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－ (舍去)．
[例3] 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10 海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．
所以护航舰需要1小时靠近货船．
此时AB＝10，BC＝10，
在△ABC中，由正弦定理得，
所以sin∠CAB＝ ＝ ＝ ，
所以∠CAB＝30°，
所以护航舰航行的方位角为75°.
反思感悟
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
测量角度问题的基本思路
跟踪训练
4．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．
如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.
由题意AB＝20(＋1)，DC＝20 ，BC＝(＋1)·10.
在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，
所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
跟踪训练
4．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．
在△ABC中，由余弦定理得
cos∠BAC＝ ＝ .
所以∠BAC＝30°，又因为B位于A南偏东60°，
60°＋30°＋90°＝180°，又D位于A的正北方向，
又因为∠ADC＝45°，
所以台风移动的方向为北偏西45°.
随堂检测
1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)
A．北偏东15° B．北偏西15°
C．北偏东10° D．北偏西10°
如图所示，∠ACB＝90°，
又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，
而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°.
∴点A在点B的北偏西15°.
B
2．我舰在岛A南偏西50°相距12 n mile的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为________ n mile/h.
如图所示，设我舰在C处追上敌舰，速度为v n mile/h，
则在△ABC中，AC＝10×2＝20(n mile)，AB＝12 n mile，∠BAC＝120°，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝784，
所以BC＝28 n mile，则速度v＝ ＝14(n mile/h)．
14
3．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为________米．
如图所示，山的高度MN＝200米，塔高为AB，CN＝MB＝ ，AC＝ ＝ ＝ .
所以塔高AB＝200－ ＝ 米．
本课小结
分析
建模
求解
检验
正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤
通过本节课，你学会了什么？