人教版（2019）数学必修第二册6.4.3 正弦定理和余弦定理 课件（共47张PPT）

(共47张PPT)
6.4正弦定理和余弦定理
考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 1.利用正、余弦定理解三角形． 2.判断三角形的形状． 3.三角形的面积问题． 1.逻辑推理．
2.直观想象．
3.数学运算．
课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.(　　)
(3)在△ABC中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)
×
√
×
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若A＝60°，a2＝bc，则sin Bsin C＝(　　)
A. B. C. D.
sin Bsin C＝sin2A＝
D
a2＝bc
sin2A＝sin Bsin C
A＝60°
3．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，sin A＝ ，cos C＝ ，则下列结论正确的是(　　)
A．cos A＝± B．B＝
C．b＝ D．△ABC的面积为7
所以△ABC的面积为×4×× ＝7．
由sin A＝，得cos A＝±，由cos C＝，得sin C＝，
若cos A＝－，则sin B＝sin(A＋C)＝－＜0，与sin B＞0矛盾，
故cos A＝.
×
则sin(A＋C)＝ ，
由sin A＝，cos C＝，得A＞ ，C＞，所以A＋C＞，
所以A＋C＝，故B＝，
√
由正弦定理，得b＝，
√
×
BC
4．(易错题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________．
sin B＝ ＝ ＝
b＜c
B＝45°
A＝180°－B－C＝75°
75°
考点梳理
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccosA
b2＝c2＋a2－2cacosB
c2＝a2＋b2－2abcosC
变形 (1) a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC (2) a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC (3) asinB＝bsinA，bsinC＝csinB， asinC＝csinA cos A＝
cos B＝
cos C＝
2. △ABC的面积公式
(3) S△ABC＝ r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径).
(1) S△ABC＝ a·h(h表示边a上的高)．
(2) S△ABC＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A.
3．三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
注意
上表中A为锐角时，aA为钝角或直角时，a＝b，a常用结论
在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B a>b sin A>sin B cos A1
三角形中的三角函数关系
(1) sin(A＋B)＝sin C.
(2) cos(A＋B)＝－cos C.
(3) sin ＝cos .
(4) cos ＝sin .
2
三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acos B.
3
常见误区
1．在△ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理时，会出现解的不确定性，应注意根据“大边对大角”来取舍．
2．在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
!
典例剖析
考点
1
利用正、余弦定理解三角形
[例1] (高考天津卷节选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，b＝5，c＝.
(1)求角C的大小；
(2)求sin A的值．
[例1] (高考天津卷节选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，b＝5，c＝.
(1)求角C的大小；
a＝2，b＝5，c＝
cos C＝ ＝
余弦定理
C∈(0，π)
C＝
[例1] (高考天津卷节选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，b＝5，c＝.
(2)求sin A的值．
C＝，a＝2，c＝
sin A＝ ＝
正弦定理
方法总结
②已知三边求角．
1. 利用正弦定理可解决两类三角形问题
①已知两角和一角的对边，求其他边或角；
②已知两边和一边的对角，求其他边或角.
2. 利用余弦定理可解决两类三角形问题
①已知两边和它们的夹角，求其他边或角；
正、余弦定理的选用
由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
方法总结
已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；
三角形解的个数的判断
跟踪训练
1．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
由正弦定理得，
所以sin B＝ ＝ ＝ >1.
C
2．(广东省七校联考)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin 2A＝3asin B，且c＝2b，则＝(　　)
A. B. C. D.
B
2bsin 2A＝3asin B
4sin Bsin Acos A＝3sin Asin B
sin A≠0，sin B≠0
cos A＝
c＝2b
a2＝b2＋c2－2bccos A
＝b2＋4b2－2b×2b×
＝2b2
＝
正弦定理
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
3．(高考全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求C.
由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝ ＝ .
(1)
3．(高考全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求C.
(2)
由(1)知B＝120°－C，
由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，
即＋ cos C＋ sin C＝2sin C，
可得cos(C＋60°)＝－ .
由于0°＜C＜120°，所以C＋60°＝135°，
即C＝75°.
考点
2
判断三角形的形状
[例2] (1)(一题多解)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为________．
[例2] (1)(一题多解)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
因此△ABC是直角三角形．
法一
因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝ ＝a，
所以asin A＝a即sin A＝1，
故A＝，
A
[例2] (1)(一题多解)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
A
法二
因为bcos C＋ccos B＝asin A，
所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2 A，
即sin(B＋C)＝sin2 A，所以sin A＝sin2 A，
故sin A＝1，即A＝ ，
因此△ABC是直角三角形．
(2)在△ABC中，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为________________________．
故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
因为c－acos B＝(2a－b)cos A，
所以由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以sin(A＋B)－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
故cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin A＝sin B，
即A＝或A＝B，
等腰三角形或直角三角形
变式探究
法一
(变条件)若将本例(1)条件改为“2sin Acos B＝sin C”，试判断△ABC的形状．
2sin Acos B＝sin(A＋B)
2sin Acos B ＝sin Acos B＋cos Asin B
sin(A－B)＝0
－πA＝B
△ABC为等腰三角形
变式探究
(变条件)若将本例(1)条件改为“2sin Acos B＝sin C”，试判断△ABC的形状．
法二
2acos B＝c
正弦定理
余弦定理
2a· ＝c
a2＝b2
a＝b
△ABC为等腰三角形
方法总结
“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；
“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．
判定三角形形状的两种常用途径
注意　
1．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，那么△ABC是(　　)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．非钝角三角形
跟踪训练
所以C＝120°，
因为a∶b∶c＝3∶5∶7，
所以可设a＝3t，b＝5t，c＝7t，
由余弦定理可得cos C＝＝－，
B
△ABC是钝角三角形.
2．(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列四个命题中正确的是(　　)
D．若a2＋b2－c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形
C．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形
B．若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
A．若＝ ＝ ，则△ABC一定是等边三角形
＝ ＝
tan A＝tan B＝tan C
A＝B＝C
√
sin Acos A＝sin Bcos B
sin 2A＝sin 2B
2A＝2B或2A＋2B＝π
△ABC是等腰三角形或直角三角形
×
sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B
sin(B＋C)＝sin B
sin A＝sin B
A＝B
√
cos C＝ ＞0
角C为锐角
角A，B不一定是锐角
×
AC
考点
3
与三角形面积有关的问题
角度一　计算三角形的面积
[例3] (1) (高考全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.若a＝c，b＝2，则△ABC的面积为________．
(2) (福建五校第二次联考)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsin B＝2sin C，则△ABC的面积为________．
△ABC的面积为×2×2×sin 150°＝.
[例3] (1) (高考全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.若a＝c，b＝2，则△ABC的面积为________．
由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°.
解得c＝－2(舍去)，c＝2，
从而a＝2.
(2) (福建五校第二次联考)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsin B＝2sin C，则△ABC的面积为________．
所以ab＝2.
因为a2＋b2－c2＝ab，
所以由余弦定理得cos C＝ ＝ ＝ ，
又0＜C＜π，所以C＝.
因为acsin B＝2sin C，结合正弦定理可得abc＝2c，
故S△ABC＝ absin C＝× 2sin ＝ .
方法总结
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；
(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积；
求三角形面积的方法
总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
角度二　已知三角形的面积解三角形
[例4] (广州市调研检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin －asin C＝0.
(1)求角A的值；
(2)若△ABC的面积为，周长为6，求a的值．
因为A∈(0，π)，所以A＝ .
[例4] (广州市调研检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin －asin C＝0.
(1)求角A的值；
因为csin－asin C＝0，
所以由正弦定理得sin C －sin A·sin C＝0.
因为sin C>0，
所以cos A－ sin A＝0，即tan A＝ ，
所以a＝2.
[例4] (广州市调研检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin －asin C＝0.
(2)若△ABC的面积为，周长为6，求a的值．
因为△ABC的面积为，所以bcsin A＝，得bc＝4.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－12，
因为△ABC的周长为6，即a＋b＋c＝6，
所以a2＝(6－a)2－12，
方法总结
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．　
(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；
已知三角形面积求边、角的方法
注意　
跟踪训练
综上，a＝.
1．(福州市质量检测)在钝角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知c＝，b＝1，若△ABC的面积为，则a的长为________．
因为△ABC的面积S＝bcsin A，所以＝ ×1×sin A，
所以sin A＝ ，
所以cos A＝±，
当cos A＝时，由a2＝b2＋c2－2bccosA得a＝，此时△ABC为直角三角形(舍去)；
当cos A＝－时，由a2＝b2＋c2－2bccos A得a＝ ，经检验，a＝ 符合题意．
2．(合肥第一次教学检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，acos C＋ccos A＋bcos B＝0.
(1)求B；
sin Acos C＋sin Ccos A＋sin Bcos B＝0
sin B·(1＋cos B)＝0
sin B≠0
cos B＝－
B＝
2．(合肥第一次教学检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，acos C＋ccos A＋bcos B＝0.
(2)若BC边的中线AM长为，求△ABC的面积．
在△ABM中，BM＝1，AM＝，B＝，AB＝c，
由余弦定理AM2＝c2＋BM2－2c·BM·cos B，得c2＋c－4＝0，
因为c＞0，所以c＝.
在△ABC中，a＝2，c＝，B＝，
所以△ABC的面积S＝ acsin B＝1.
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，a＝4，S△ABC＝2，则＝(　　)
A． B．2 C．2 D．2
随堂检测
由正弦定理可得＝ ＝ ＝2.
因为C＝，a＝4，S△ABC＝2，
所以S△ABC＝ absin＝ ×4×b× ＝2，解得b＝.
由余弦定理可得c2＝b2＋a2－2bacos ＝10，c＝ .
B
2．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为________．
sin B＝1
B＝90°
AB＝2
S△ABC＝ ×2×2＝2
2
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝4，c＝2，B＝60°，则b＝________，C＝________．
则b＝2.
因为a＝4，c＝2，B＝60°，
所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB
＝16＋4－2×4×2×
＝20－8
＝12
因为c＜b，故C为锐角，
由正弦定理，
可得sin C＝ ＝ ＝ ，
所以C＝30°.
2
30°
所以cos A＝ ＝ ＝－.
所以BD＝ .
4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，c＝2，且sin A＝3sin C．AC的中点为D，则BD＝________．
sin A＝3sin C．由正弦定理得，a＝3c，所以a＝6.
由余弦定理得，b2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，
所以b＝2.
因为D是AC的中点，所以AD＝.
所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A
＝22＋()2－2×2× ×(－)
＝13.
5．(高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2 ＋cos A＝ .
(1)求A；
由已知得sin2A＋cos A＝ ，
即cos2A－cos A＋ ＝0.
所以＝0, cos A＝ .
由于05．(高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2 ＋cos A＝ .
(2)若b－c＝ a，证明：△ABC是直角三角形．
由于0证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝ sin A.
由(1)知B＋C＝ ，
所以sin B－sin ＝ sin .
即sin B－ cos B＝，sin ＝ .
本课小结
本节内容以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度.