人教版（2019）数学必修第二册8_6_3平面与平面垂直(1) 课件（共43张PPT）

(共43张PPT)
8.6.3 平面与平面垂直(1)
高一
必修二
本节目标
1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．
2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．
课前预习
预习课本P155～158，思考并完成以下问题
1．什么叫做二面角？什么叫做二面角的平面角？
2．两个平面互相垂直是怎样定义的？两个平面互相垂直的判定定理是什么？
课前小测
1.如图所示的二面角可记为(　　)
A．α-β- l B．M- l- N
C．l -M -N D．l -β -α
B
2．直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是(　　)
A．平行 B．可能重合
C．相交且垂直 D．相交不垂直
直线l⊥平面α
l 平面β
平面β ⊥平面α
C
3．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(　　)
A．有一个 B．有两个
C．有无数个 D．不存在
直线l⊥平面α
经过l的任一平面都和α垂直
C
4.在三棱锥P -ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如图所示，则在三棱锥P -ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．
平面PAC⊥平面PBC
平面PAB⊥平面PAC
平面PAB⊥平面PBC
3
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于______．
AB⊥BC
A1B⊥BC
∠ABA1 即为二面角A BC A1的平面角
AB＝AA1，且AB⊥AA1
∠ABA1＝45°
45°
新课导入
回顾：
空间几何中，异面直线所成角是怎样定义的？
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
范围:
α
a
b
O
a′
b′
新课导入
回顾：
空间几何中，直线和平面所成的角是怎样定义的？
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
范围:
空间几何中，平面和平面所成的角是怎样定义的？
新知探究
1. 二面角
A
B
l
Q
P
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
二面角的棱
二面角的面
记作：
二面角-AB-
二面角-l-
二面角P-AB-Q
二面角-l-
如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
思考
？
l
B
A
O
如图，在二面角-l-的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
思考：
∠AOB的大小与点O在l上的位置有关吗？为什么？
2. 二面角的平面角
l
B
A
O
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
二面角的平面角的取值范围是.
3. 直二面角
观察
教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数.
教室的墙面所在的平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角.
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
平面与垂直，记作⊥
画法：
画两个垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. 如图所示.
4. 两个平面互相垂直
观察
建筑工人在砌墙时，常用铅垂线来检测所砌的墙面与地面是否垂直.如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面.这种方法说明了什么道理？
墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.
5. 两个平面互相垂直的判定定理
定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
符号语言：
a
a
图形语言：
简记：线面垂直，则面面垂直
线线垂直
线面垂直
面面垂直
知识拓展
1．二面角与平面几何中的角的对比
平面几何中的角 二面角
图形
定义 从平面内一点出发的两条射线组成的图形 从一条直线出发的两个半平面组成的图形
表示法 由射线—点(顶点)—射线构成，即为∠AOB 由半平面—线(棱)—半平面构成，记为二面角α-l-β
意义 定量的反映两条直线的位置关系 定量的反映两个平面的位置关系
知识拓展
2．剖析平面与平面垂直
(1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况．例如正方体中任意相邻两个面都是互相垂直的．
(2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的．
3．详解平面与平面垂直的判定定理
(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直 面面垂直．
(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　对线面垂直定义及判断定理的理解
[例1]　如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A-PD-C平面角的度数；
(2)求二面角B-PA-C平面角的度数．
[例1]　如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A-PD-C平面角的度数；
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又四边形ABCD为正方形，
∴CD⊥AD. PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD. 又CD 平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A-PD-C平面角的度数为90°.
[例1]　如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(2)求二面角B-PA-C平面角的度数．
∵PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC＝45°.
即二面角B-PA-C平面角的度数为45°.
总结提升
(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．
(2)求二面角的大小的方法
一作：即先作出二面角的平面角；
二证：即说明所作角是二面角的平面角；
三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”．
解决二面角问题的策略
由已知PA⊥平面ABC，BC 平面ABC， ∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上， ∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC， ∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P-BC-A的棱，
∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角．
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P-BC-A的大小是45°.
跟踪训练
1. 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P-BC-A的大小．
题型二　面面垂直的判定
[例2]　如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求证：平面ABC⊥平面SBC.
[证明]　法一：(利用定义证明)
因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
取BC的中点D，如图所示，
D
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
题型二　面面垂直的判定
[例2]　如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求证：平面ABC⊥平面SBC.
D
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角．
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝ a，BD＝ ＝ a.
在Rt△ABD中，AD＝ a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
题型二　面面垂直的判定
[例2]　如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求证：平面ABC⊥平面SBC.
D
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角．
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝ a，BD＝ ＝ a.
在Rt△ABD中，AD＝ a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
题型二　面面垂直的判定
[例2]　如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求证：平面ABC⊥平面SBC.
D
法二：(利用判定定理)
因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
总结提升
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
证明面面垂直常用的方法
多维探究
1．[变条件，变结论]本例中，若SA＝SB＝SC＝2，其他条件不变，如何求三棱锥S-ABC的体积呢？
由例2法一或法二可得SD⊥AD.
又因为SD⊥BC，AD∩BC＝D，
所以SD⊥平面ABC，
即SD的长就是顶点S到底面ABC的距离．
因为S△ABC＝ ×BC×AD＝ ×2×＝2，SD＝，
所以VS-ABC＝ ×S△ABC×SD＝ .
D
2. [变条件，变结论]本例变为：如图，在四面体ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.
求证：平面ABD⊥平面BCD.
证明：取BD的中点E，连接AE，CE，
因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，
所以AE⊥BD，CE⊥BD，
即∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，
在△ABD中，AB＝a，BE＝ BD＝ a，
所以AE＝ ＝ a，同理，CE＝ a.
E
2. [变条件，变结论]本例变为：如图，在四面体ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.
求证：平面ABD⊥平面BCD.
E
在△AEC中，AE＝CE＝ a，AC＝a，
故AC2＝AE2＋CE2，
所以AE⊥CE，
即∠AEC＝90°，
所以二面角A BD C的平面角为90°，
所以平面ABD⊥平面BCD.
3．[变条件，变结论]将本例变为：在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面ACD；
证明：因为E，F分别是AB，BD 的中点，
所以EF是△ABD的中位线，
所以EF∥AD，
因为EF 平面ACD，AD 平面ACD，
所以直线EF∥平面ACD.
3．[变条件，变结论]将本例变为：在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点．
求证： (2)平面EFC⊥平面BCD.
因为AD⊥BD，EF∥AD，
所以EF⊥BD.
因为CB＝CD，F是BD的中点，
所以CF⊥BD.
又EF∩CF＝F，所以BD⊥平面EFC.
因为BD 平面BCD，
所以平面EFC⊥平面BCD.
随堂检测
1．下列命题中正确的是(　　)
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行
×
×
×
√
C
2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1－AB－C的大小为________．
∵AB⊥BC，AB⊥BC1，
∴∠C1BC为二面角C1－AB－C的平面角，大小为45°.
45°
3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，E为AB的中点．
求证：平面DD1E⊥平面CD1E.
证明：在矩形ABCD中，E为AB的中点，
AD＝2，AB＝4，所以DE＝CE＝2，
因为CD＝4，所以CE⊥DE，
因为D1D⊥平面ABCD，所以D1D⊥CE，
因为D1D∩DE＝D，所以CE⊥平面D1DE，
又CE 平面CED1，
所以平面DD1E⊥平面CD1E.
本课小结
一、平面与平面垂直的判定
1.定义：两个相交平面所成二面角为直二面角.
2.判定定理：在一个平面内找到另一个平面的垂线.
二、数学思想
线线垂直
线面垂直
面面垂直
通过本节课，你学会了什么？